第九章 梁的弯曲(第6节)(于英1405)

1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载
但通常用于校核。 特殊的：
1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；
2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；
3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。
需进行切应力强度计算。
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件： 2.剪（切）应力强度条件：
max
Mmax Wz
Izd
max
Vmax Sz* max Izd
( Iz
Vmax Sz* max ) d
对于工字钢， I z
S* z max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax Wz
[ ]
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
（1）强度校核，即已知 M max,[ ],Wz , 检验梁是否安全；
（2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该 处的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上， 该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存 在正应力、剪应力。这些点的强度计算，应按强度理 论进行计算。
第九章 梁的弯曲
§9-1 平面弯曲的概念 §9-2 梁的弯曲内力——剪力和弯矩 §9-3 用内力方程绘制梁的剪力图和弯矩图 §9-4 用微分关系绘制梁的和弯矩图 §9-5 用叠加法绘制梁的弯矩图 §9-6 梁弯曲时的应力及强度计算 §9-7 梁的变形及刚度条件 §9-8 梁的应力状态
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
纯弯曲
F
横力
弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
C
D
时，横截面上只有弯矩
Fa
a
l
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(+)
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形
V图
F
时，横截面上既有弯矩又
有剪力（M 0,V 0）。
(+)
Fa M图 Fa
一、梁横截面上的正应力
实验现象
1 c a
1
M M
1
1
c c a
a
1 1
2 d
（2）设计截面，即已知 截面的尺寸；
M max,[
],可由
Wz
M max
[ ]
确定
（3）求许可载荷，即已知 WZ ,[ ], 可由 M max Wz[ ]
确定。
2.弯曲剪（切）应力强度条件：
max
V S* max zmax Izb
[ ]
与正应力强度条件相似，也可以进行有关强度方面的 三类计算：
Iz
(x) EIz
注意：
（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪 个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截 面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点 的正应力，并确定该点到中性轴的距离。
（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性 分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处 正应力最大。
一、梁横截面上的正应力 二、梁横截面上的剪（切）应 力 三、梁的强度条件 四、提高弯曲强度的一些措施(了解)
§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
梁的内力：
V M
梁的应力：
V M
M
V
正应力 ——弯曲正应力
梁弯曲时横截面上的应力 剪（切）应力 ——弯曲剪（切）应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力 的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状 态来确定。
（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致；
（2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。
（3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
2．矩形截面梁的剪（切）应力计算公式
yc
h
c
y z
z
max
b
y
矩形截面梁横截面上 的最大剪（切）应力
VSz*
Izb
max
3V 2bh
1.5 V A
3．工字形截面梁的剪应力
b
d
翼缘
yz
腹板
max
y
V
Sz*
b 2
2 2 d d
bb 2 2
M M
假设
①
②
平
单
截
向
面
受
假
力
设
假
设
1．正应力分布规律
M 上边缩短
下边伸长
M
长度保持 不变的纵 向纤维
（1）平截面假设 各横向线代表横截面， 变形前后都是直线，表 明横截面变形后仍保持 平面，且仍垂直于弯曲 后的梁轴线。
（2）单向受力假设 将梁看成由无数纤维组 成，各纤维只受到轴向 拉伸或压缩，不存在相 互挤压。
M
z
x
max
y
3.横截面上最大正应力
梁的上下边缘处，有最大弯曲正应力，值为：
M
max
M ymax Iz
M Iz / ymax
M Wz
|
|max
(
Iz
M / ymax
)抗弯截面模量
4.典型截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面模量
1.矩形截面
2.实心圆截面 3.截面为外径D、内
M
M
max
6.公式适用范围
min max
My
Iz
①线弹性范围—正应力小于比例极限p；
②精确适用于纯弯曲梁； 1 M EIz
EI z ——抗弯刚度。
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比 l / h >5)
，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截
面上的弯矩，即为截面位置的函数。
M (x) y ， 1 M (x)
结论: 纯弯曲梁段横 截面上只有正应力无 剪应力
中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层：既不伸长也不缩短 的一层纤维层。
1．正应力分布规律
M
中性轴通过截面形心
min max
梁弯曲时横截 面上的正应力 沿截面高度呈 线性分布规律 变化
2．正应力计算公式
距中性层为 y 处的正应力:
My
Iz
min
M
径d(a=d/D)的空心圆:
z h
b
Iz
bh3 12
Wz
Iz h/ 2
bh2 6
d z
d4
Iz 64
Wz
Iz d/
2
d3
32
D
dz
(a d ) D
Iz
D4
64
(1a4
)
Wz
Iz D/
2
D3
32
(1a4
)
型钢的Iz ,Wz 由附录查型钢表(P319-331)中查得。
5.横截面上正应力的画法
min
[ ]
max
V S* max zmax Izb
[ ]
在梁的强度计算中，必须同时满足正应力 和剪（切）应力两个强度条件。通常先按正 应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪 （切）应力强度条件进行校核。
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是 主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于校粗的 短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较 小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。