二次函数经典难题(含精解)
(专题精选)初中数学二次函数难题汇编含答案
（专题精选）初中数学二次函数难题汇编含答案一、选择题1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：()52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．所以答案为：D ．【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.3．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．3B 3C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．4．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x，故本选项正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．5．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．由图象可知，a＜0，c=1，对称轴：x=b1 2a-=-，∴b=2a，①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；③abc=2a2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；⑤c−a=1−a＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．6．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )A．1 B．12C．43D．45【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面积＝12A B•OC＝12AB•k，△ABD的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k＝14(4﹣k)，解得：k＝45．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．7．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ．【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝2211a +＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a； ∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．10．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2b a -＜0， ∴b ＜0，故B 错误；C.由对称轴可知：x ＝2b a-＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵x ＝1时，y ＝0，∴a +b +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误；故选D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．11．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系13．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③13＜a ＜23；④b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误． 【详解】①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0， ∴4a+2b+c ＜0， 故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1∵-12ba ， ∴b=-2a ，∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a，∴-2＜-3a＜-1，∴13＜a＜23；故③正确④∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a，∵a＞0，∴b-c＞0，即b＞c；故④正确；故选B．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==2122APQSt t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQSt t =⋅⋅=，函数图象为一次函数；故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．17．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2ba＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ．18．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限． 故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确，综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】 解：抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴12bx a=-=， 0b ∴>，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴有两个交点， 240b ac ∴->，故②正确；对称轴12bx a=-=， 2a b ∴=-，20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。
人教版初中数学二次函数难题汇编含答案解析
人教版初中数学二次函数难题汇编含答案解析一、选择题1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题可知22b a-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c =，故可得4,0a b c -==①因为0c =，故①正确；②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.4．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a - =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选:C ．【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．5．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②3a +b ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．【详解】①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，∴当x ＝﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意；③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a＝n ， ∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意；④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．6．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a-＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，故③正确；④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）：∴y1＝y2，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．7．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．8．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．9．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当12n <时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误【答案】A【解析】【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．【详解】解：①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12n < ∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=12的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭Q 3122n n ∴-<- ∵a ＞0，∴当x ＞12时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确； ②把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-< ⎪⎝⎭ ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系AB=，AC、BD交于点O，点P、Q分别是AB、BD 11．如图，四边形ABCD是正方形，8→，点Q的运动路径是BD，两点的运动速度相同并上的动点，点P的运动路径是AB BC△的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）且同时结束.若点P的行程为x，PBQA ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形，分别求出y 关于x 的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.【详解】解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-+，此段抛物线的开口向下；当点P 在BC 边上，即882x <≤2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-，此段抛物线的开口向上. 故选A.【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.12．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．13．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意. 综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D.【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.14．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．15．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧，故符合题意，D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．16．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b a＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．故选C ．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．18．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝2ax +（a+c ）x+c 与一次函数y ＝ax+c 的大致图象．正确的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax 2+（a+c ）x+c=ax+c ，解得，x 1=0，x 2=-c a，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．在函数2yx=，3y x=+，2y x=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数2yx=符合条件．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．20．平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A．向左平移1个单位B．向上平移3个单位C．向右平移3个单位D．向下平移3个单位【答案】B【解析】【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y＝﹣（x﹣1）（x+3）=-（x+1）2+4A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.。
二次函数高难度压轴题目
二次函数拔高难题说明：以下题目难度比较大，有的题目是考试真题，有的题目是极客杰少瞎编的，主要是为了拓展思维.1.抛物线y=ax2+bx+c经过A(2+m，m)，B(2-m，m)，C(0，-3)三点，且当4≤x<5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是．2.若m，n(m<n)是关于x的方程2022-(x-a)(x-b)=0的两个根，且a<b，则a，b，m，n的大小关系是.3.在直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，若抛物线y=x2-2x+n-1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为．4.二次函数f(x)的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC=150°，则x≠0时，f(x)|x|的最小值是．5.已知二次函数y=-2x2+(b-a)x+c与直线y=1只有一个交点，且点A2m-n+3,n-8和点B2m+n+5,n-8在该函数图象上，则n的值是.6.抛物线y=m-1m x2+2m x-m-3m在平面直角坐标系中恒过两个定点，这两个定点之间的距离为.7.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，若△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为.8.抛物线y=x2+bx+c与y=2022交于A、B两点，若C是抛物线上一点，且△ABC为直角三角形，则C点的纵坐标为.9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，过A、B、C三点的圆交y 轴于点D，则D点的坐标为.10.抛物线y=1a3x2+1b2x+1c上有三个点A(3a+b,c+d),B(2a+b,c+e),C(a+b,c+f)，其中a、b、c、d、e、f为非零实数，则△ABC的面积为.11.已知P、A、B是抛物线y=12x2+2x+m上三点，P点坐标为(1,2),且△APC始终为直角三角形，则点C(4,-3）到直线AB的最大距离为.12.已知直线y=kx-x+2k-4与抛物线y=12x2+3x交于A、B两点，在抛物线上存在这样的定点C，使ABC始终为直角三角形，则C点的坐标为.13.二次函数y=ax2+bx+c与直线y=kx+b交于A(3，m)，B(m+1，m+4)两点,且在抛物线上有且仅有3个点Q使得△ABQ的面积为S，横坐标在A，B之间的抛物线上的点Q的坐标为(m，n)，则S的值是.14.已知抛物线y=ax2+bx+33与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点与y轴交于点C，过点C 的直线交抛物线于另一点E，若∠ACE=60°，则点E的坐标为．15.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，C是抛物线上一点，且∠ACB=45°，则C点的坐标为.16.抛物线y=2x2+3bx+4c与直线y=kx+b交于不同的A、B两点，C是抛物线上任意点，过点C作y轴的平行线，交直线y=kx+b于点D，过A、B作CD的垂线，垂足分别为M、N，则AM∙ANCD=.17.已知二次函数y=2x2+bx+c的图象上任意点P到对称轴上一点F，与到平行于x轴的直线l的距离始终相等，过点F的直线与二次函数的图象交于A、B两点，则1AF+1BF=.18.设函数y=|x2-ax-b|，x的范围是0≤x≤1，其中a，b都是实数，记函数y的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为．19.若函数y=2x2-(x-a)|x-a|-2与x轴至多有一个交点，则a的取值范围是______ ____.20.当0≤x≤4时，函数y=|x2-4x+9-2m|+2m的最大值是9，则m的取值范围是___ _______.21.已知a>0, 当-1≤x≤1时，函数y=|x2+|x-a|-3|的最大值是2，则a的取值范围是__________.22.知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则k的值为.23.已知m、n为正整数，且二次函数y=4x2-2mx+n=0与x轴有两个交点，两交点到原点的距离都小于1，则m=；n=.24.若函数f x =-12x2+132在a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，则a=，b=.25.已知函数f x =-2x2+2ax-4a-a2在0≤x≤1时，f(x)的最大值是-5,则a=.26.已知二次函数y=x2-3x+4的图像与y=x交于A、B两点，C是抛物线上一点，有且仅有三个满足条件的C点使得△ABC的面积为k，则k的值为，由三个满足条件的C点组成的三角形的面积为.27.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点分别为A、B，当1≤x≤5时，|y|≤2a恒成立，并且在二次函数图象上有且仅有一个点P使得△ABP为直角三角形，则该二次函数的解析式为.。
《二次函数》经典50题含解析
《二次函数》50题一．选择题（共50小题）1．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（）A．（﹣2，8）B．（﹣2，10）C．（﹣2，12）D．（﹣2，14）2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，对称轴为直线x＝﹣2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣c＞0；③ac+b ＝1；④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（）A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤26．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2+4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y28．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y1＜y2＜y3D．y1＞y3＞y29．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 10．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1 D．11．抛物线y＝ax2+4x+c（a＞0）经过点（x0，y0），且x0满足关于x的方程ax+2＝0，则下列选项正确的是（）A．对于任意实数x都有y≥y0B．对于任意实数x都有y≤y0C．对于任意实数x都有y＞y0D．对于任意实数x都有y＜y012．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b＝0；③b＜a+c；④4c＝4+a，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△P AB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（）A．①B．②C．③D．④14．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）A．﹣12 B．0 C．4 D．1615．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2），关于这两个交点的说法正确的为（）A．点A在第三象限，点B在第四象限B．点A在第四象限，点B在第三象限C．都在第三象限D．都在第四象限17．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．418．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4 B．最小值为4C．最大值为3.5 D．最小值为3.519．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（）A．﹣B．﹣C．1 D．﹣或﹣20．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．21．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣2（x+2）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣522．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（）A．0≤t＜8或t＝﹣1 B．t≥0C．0＜t＜8 D．0≤t＜823．抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），将抛物线M绕点B 旋转180°，得到新的抛物线M'，则M'的表达式为（）A．y＝x2+8x﹣12 B．y＝x2+8x+12 C．y＝x2﹣8x﹣12 D．y＝x2﹣8x+12 24．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3 C．2D．2+25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个26．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．427．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣228．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（）A．0 B．﹣4 C．4 D．229．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧30．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大D．当x＝2时，函数有最小值为531．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为（）A．10 B．17 C．5 D．232．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．1133．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（）A．0＜k＜3 B．﹣3＜k＜0 C．﹣3＜k＜﹣1 D．1＜k＜334．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＝235．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．5a+3b＜1 B．4a+3b＜2 C．2a+b＜0 D．a+2b＜036．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．37．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个38．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．39．向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数，小甬相隔2秒依次抛出两个小球，假设两个小球出手时离地面高度相同，在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度．若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同，则t＝（）A．2.2 B．2.5 C．2.6 D．2.740．对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（）①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④41．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：①4a+2b﹣c＞0；②a﹣b﹣c＜0；③c＝3a；④5a+b﹣2c＞0．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④43．已知抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n），其中m＜n，若a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0的两根，且a＜b，则当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn的值（）A．小于零B．等于零C．大于零D．与零的大小关系无法确定44．若二次函数y＝﹣x2+px+q的图象经过A（1+m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1 45．设抛物线y＝ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为M，与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S．下面哪个选项的抛物线满足S＝1．（）A．y＝﹣3（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣0.5）（x+1.5）C．y＝x+1D．y＝（a2+1）x2﹣4x+2（a为任意常数）46．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个47．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a+c＝1；②b2﹣4ac≥0；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x＝﹣．其中结论正确的个数有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个48．若二次函数y＝|m|x2+nx+c的图象经过A（a，b）、B（0，y1）、C（5﹣a，b）、D（，y2）、E（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2 49．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1 B．2 C．D．50．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点M是对称轴上的一个动点．连接AM，BM，当|AM﹣BM|最大时，点M的坐标是（）A．（1，4）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（1，﹣6）参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（）A．（﹣2，8）B．（﹣2，10）C．（﹣2，12）D．（﹣2，14）【解答】解：∵抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，∴（﹣+）＝﹣1，∴m+n＝﹣5，∴抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，y），∴2m﹣4＝4+2（3m+n）+n，∴4m+3n＝﹣8，解得m＝7，∴y＝2m﹣4＝10，∴在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，10），故选：B．2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝＝﹣1．∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，对称轴为直线x＝﹣2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣c＞0；③ac+b ＝1；④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴b＝4a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵点B到直线x＝﹣2的距离大于2，∴点A到直线x＝﹣2的距离大于2，即点A在（﹣4，0）的左侧，∴当x＝﹣4时，y＞0，即16a﹣4b+c＞0，∴a﹣b+c＞0，所以②正确；∵C（0，c），OB＝OC，∴B（c，0），∴ac2+bc+c＝0，即ac+b+1＝0，所以③错误；∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴A（﹣4﹣c，0），∴﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．故选：C．4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①正确；②∵对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，所以②正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，所以④正确；故选：D．5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（）A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，1），∴当y＝1时，x＝1，当y＝2时，x2﹣2x+2＝2，x＝0或2，∵当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1，∴1≤a≤2，故选：D．6．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴﹣＝1，∴b＝2；故选：D．7．已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2+4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+4x+c的对称轴为直线x＝1，且抛物线的开口向下，∴离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小，∵点（4，y3）离对称轴的距离最远，点（，y2）离对称轴的距离最近，∴y2＞y1＞y3，故选：C．8．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y1＜y2＜y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+m，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，∵点（﹣4，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，∴y1＜y2＜y3．故选：C．9．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．故选：D．10．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴x＝＝1，∴m＝﹣；将点（﹣，n）代入函数解析式，可得n＝2（﹣﹣1）2＝；故选：A．11．抛物线y＝ax2+4x+c（a＞0）经过点（x0，y0），且x0满足关于x的方程ax+2＝0，则下列选项正确的是（）A．对于任意实数x都有y≥y0B．对于任意实数x都有y≤y0C．对于任意实数x都有y＞y0D．对于任意实数x都有y＜y0【解答】解：∵x0满足关于x的方程ax+2＝0，∴x0＝﹣，∴点（x0，y0）是二次函数y＝ax2+4x+c的顶点坐标．∵a＞0，∴对于任意实数x都有y≥y0．故选：A．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b＝0；③b＜a+c；④4c＝4+a，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a，即a+b＝0，所以②正确；∵抛物线与x轴的负半轴的交点到原点的距离小于1，∴x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即b＞a+c，所以③错误；∵抛物线的顶点的纵坐标为1，∴＝1，把b＝﹣a代入得4c﹣a＝4，所以④正确．故选：C．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△P AB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；若a+c＝b+3，即a﹣b+c＝3，则该抛物线一定经过点（﹣1，3），所以②错误；当P（m，n）为抛物线的顶点时，方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；若P（m，n）不为抛物线的顶点，则方程ax2+bx+c＝n有两个不相等的实数解，所以③错误；当P点为顶点时，△P AB的面积最大．此时x＝﹣＝m，∵x1、x2为方程ax2+bx+c＝0的两不相等的实数解，∴x1+x2＝﹣，∴m＝，所以④正确．故选：D．14．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）A．﹣12 B．0 C．4 D．16【解答】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．故选：A．15．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∴当x＝﹣3时，y＞0，即9a﹣3b+c＞0，所以②错误；∵抛物线开口向下，点（﹣2，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（，）到直线x＝﹣1的距离小，∴y1＞y2，所以③错误；∵x＝2，y＝0，∴4a+2b+c＝0，把b＝2a代入得4a+4a+c＝0，解得c＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，所以④正确．故选：B．16．直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2），关于这两个交点的说法正确的为（）A．点A在第三象限，点B在第四象限B．点A在第四象限，点B在第三象限C．都在第三象限D．都在第四象限【解答】解：由抛物线y＝﹣x2+3x﹣1可知抛物线开口向下，与y轴的交点为（0，﹣1），对称轴为直线x＝﹣＞0，∴抛物线对称轴在y轴的右侧，∴直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2）都在第四象限，故选：D．17．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜＜，故②的结论正确；∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；故选：B．18．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4 B．最小值为4C．最大值为3.5 D．最小值为3.5【解答】解：根据题意得＝3，﹣＝5，解得a＝﹣，b＝2或b＝﹣2，∴抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式为y＝﹣x2+2x或y＝﹣x2﹣2x，∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+4）2+4，∴二次函数y＝ax2+bx有最大值4．故选：A．19．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（）A．﹣B．﹣C．1 D．﹣或﹣【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣2m﹣4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6，∴4m+8＝±6，当4m+8＝6时，m＝﹣，当4m+8＝﹣6时，m＝﹣，∴m的值是﹣或﹣．故选：D．20．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D正确；故选：D．21．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣2（x+2）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣5【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，∴平移后解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3+1．即y＝﹣2（x﹣2）2﹣2；故选：B．22．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（）A．0≤t＜8或t＝﹣1 B．t≥0C．0＜t＜8 D．0≤t＜8【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做y＝x2﹣4x+3与函数y＝t只有一个交点，∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，当x＝1时，y＝0；当x＝5时，y＝8；当x＝2时，y＝﹣1；∴t的取值范围是0≤t＜8或t＝﹣1．故选：A．23．抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），将抛物线M绕点B 旋转180°，得到新的抛物线M'，则M'的表达式为（）A．y＝x2+8x﹣12 B．y＝x2+8x+12 C．y＝x2﹣8x﹣12 D．y＝x2﹣8x+12 【解答】解：∵抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），∴点A（﹣2，0），点B（2，0），该抛物线的顶点坐标为（0，4），∵将抛物线M绕点B旋转180°，得到新的抛物线M'，∴新的抛物线M'的顶点坐标为（4，﹣4），点A关于点B的对称点为（6，0），∴新的抛物线M'的解析式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12，故选：D．24．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3 C．2D．2+【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），∴令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣3或1，∴B（1，0），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为x＝﹣1，∵CD∥AB，∴C、D两点关于x＝﹣1对称，∴D（﹣2，﹣3），设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，∴，∴BD的解析式为y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，解得，x＝﹣1，∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），∴FG＝（﹣1+）﹣（﹣1﹣）＝2，故选：C．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故本说法错误；（2）方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故本说法正确；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大，故本说法错误；（4）由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，﹣＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，一定不过第二象限，故本说法正确；故选：B．26．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时，a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：C．27．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵k＜0，∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x＝﹣的左侧，y随x的增大而增大．∵当x＜m时，y随着x的增大而增大∴m≤﹣，而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，所以m≤﹣2，故选：D．28．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（）A．0 B．﹣4 C．4 D．2【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，即﹣＝0，∴b＝0，∴25a+c＝0，∵a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx，a（x﹣2）2+c＝0，∴a（x﹣2）2＝25a，∴（x﹣2）2＝25，解得x1＝7，x2＝﹣3，即关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解为x1＝7，x2＝﹣3．∴x1+x2＝4．故选：C．29．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），∴当a＝时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；该函数的对称轴为直线x＝﹣＝1﹣＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；∵该函数的对称轴为x＝1﹣＜1，∴当a＝时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；故选：D．30．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大D．当x＝2时，函数有最小值为5【解答】解：A、y＝2（x﹣2）2+5＝2x2﹣8x+13，则图象与y轴的交点坐标为（0，13），原题说法正确，故此选项不合题意；B、对称轴为x＝2，图象的在y轴的右侧，原题说法正确，故此选项不合题意；C、a＝2，开口向上，对称轴为x＝2，则当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，原题说法错误，故此选项符合题意；D、顶点坐标为（2，5），开口向上，则当x＝2时，函数有最小值为5，原题说法正确，故此选项不合题意；故选：C．31．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为（）A．10 B．17 C．5 D．2【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0），∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∵当x≥3时，y随x的增大而增大，∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，∵当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．，∴当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，∴a＝1或a＝﹣9（舍去），∴抛物线为y＝x2﹣2x+2，∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，∴函数y＝（x+1）2+1，∴抛物线y＝（x+1）2+1在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17，故选：B．32．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．11【解答】解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），∴点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，故选：C．33．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（）A．0＜k＜3 B．﹣3＜k＜0 C．﹣3＜k＜﹣1 D．1＜k＜3【解答】解：设y＝ax2+b|x|+c，则函数y＝ax2+b|x|+c的图象，如右图所示，∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，∴ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根时，k满足﹣3＜k＜﹣1，故选：C．34．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＝2【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b），则斜边上的高为h，故h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴CD＝，∴＝，方程两边平方得b﹣a2＝（a2﹣b）2，即h＝（﹣h）2，因为h＞0，所以h＝1，是个定值．故选：B．35．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．5a+3b＜1 B．4a+3b＜2 C．2a+b＜0 D．a+2b＜0 【解答】解：由图象可知，函数函数y＝ax2+bx图象的对称轴为直线x＝﹣＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，故C正确；∵当x＝2时，函数y＝ax2+bx中y＜0，即4a+2b＜0，当x＝1时，y＜1，即a+b＜1∴5a+3b＜1，故A正确；∵a+b＜1，∴2a+2b＜2∵2a+b＜0，∴4a+3b＜2故B正确；∵﹣＞，a＜0，∴b＞﹣a，∴2b＞﹣2a，∴a+2b＞﹣a，∴a+2b＞0，故D错误；故选：D．36．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．37．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）如图，抛物线开口方向向下，则a＜0，故结论正确；（2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，故b＞0，故结论正确；（3）如图，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故结论错误；（4）由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝﹣＞0．结合a＜0知，2a+b＜0，故结论正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．38．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、二、三象限，二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的右侧，函数图象开口向上，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b 交点在x轴上，故选项C正确；当a＜0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第二、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，函数图象开口向下，故选项D错误；故选：C．39．向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数，小甬相隔2秒依次抛出两个小球，假设两个小球出手时离地面高度相同，在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度．若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同，则t＝（）A．2.2 B．2.5 C．2.6 D．2.7【解答】解：设各自抛出后1.2秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y＝a（t﹣1.2）2+h，由题意a（t﹣1.2）2+h＝a（t﹣2﹣1.2）2+h，解得t＝2.2．故第一个小球抛出后2.2秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故选：A．40．对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（）①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【解答】解：∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x ﹣3），∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，故①正确；对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②正确；∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝＝2+，∴若k＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，故③正确；∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），∴当y＝0时，x1＝+1，x2＝3，∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，故④错误；故选：A．41．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：①4a+2b﹣c＞0；②a﹣b﹣c＜0；③c＝3a；④5a+b﹣2c＞0．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵（3，0）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b﹣c＝0，故②错误；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a∴a+2a﹣c＝0，∴c＝3a，故③正确；∵b＝﹣2a，c＝3a，a＜0，∴4a+2b﹣c＝4a﹣4a﹣3a＝﹣3a＞0，即4a+2b﹣c＞0，故①正确；∵4a+2b﹣c＞0，a﹣b﹣c＝0，两式相加：5a+b﹣2c＞0，故④正确，故选：C．42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，∵对称轴为直线x＝，∴x＝0与x＝3所对应的函数值相同，∵当x＝0时y＜0，∴x＝3时y＜0，∴x＞3时，y＜0，∴①正确；∵x＝＝﹣，∴b＝﹣3a，∴4a+b＝4a﹣3a＝a＜0，∴②正确；∵抛物线经过点A（，0），∴a+b+c＝0，∴c＝a，∵B在（0，0）和（0，﹣1）之间，∴﹣1＜c＜0，∴﹣1＜a＜0，∴﹣＜a＜0，∴③正确；4ac+b2﹣4a＝4a×a+（﹣3a）2﹣4a＝5a2+9a2﹣4a＝14a2﹣4a＝2a（7a﹣2），∵a＜0，∴2a（7a﹣2）＞0，∴4ac+b2﹣4a＞0，∴④不正确；故选：B．43．已知抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n），其中m＜n，若a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0的两根，且a＜b，则当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn的值（）A．小于零B．等于零C．大于零D．与零的大小关系无法确定【解答】解：y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），由（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0，则y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b），如图1：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，∴a＜m＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合；如图2：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，此时m＜a＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＞0，∴mn＜0；如图3：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时，此时m＜a＜b＜n，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合题意；综上所述：当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn＜0，。
二次函数测试卷高难度含详细答案
组卷二次函数难题61-90一、选择题（共12小题）1．（2011•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴x=﹣1，在下列结论中，错误的是（）3．（2010•钦州）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对6．（2010•十堰）方程x2+2x﹣1=0的根可看出是函数y=x+2与y=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+xD．C．8．（2010•台州）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（）9．（2010•东营）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx﹣ac与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）．C D．10．（2010•广安）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）y=小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）组卷二次函数难题61-90．CD ．13．（2009•黄石）若抛物线y=ax 2+bx+3与y=﹣x 2+3x+2的两交点关于原点对称，则a 、b分别为 _________ 、 _________ ． 14．（2010•成都）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm ，BC=24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过 _________ 秒，四边形APQC 的面积最小．15．（2009•金华）如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x轴于点H ．在抛物线y=x 2（x ＞0）上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A的坐标是 _________ ．16．（2009•江津区）锐角△ABC 中，BC=6，S △ABC =12，两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y （y ＞0），当x= _________ ，公共部分面积y 最大，y 最大值= _________ ．17．（2008•庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y （元/平方米）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为 _________ 元/平方米．18．（2009•浙江）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc_________0（填“＞”或“＜”）；（2）a的取值范围是_________．19．（2009•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是_________个．20．（2010•兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米．21．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_________．22．（2009•包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_________cm2．组卷二次函数难题61-9023．（2008•长春）将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=﹣2x2﹣4x+5，则原抛物线的顶点坐标是_________．24．（2009•兰州）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2008在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，请计算△A0B1A1的边长=_________；△A1B2A2的边长=_________；△A2007B2008A2008的边长=_________．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）25．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx ﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：_________；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．26．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．28．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．组卷二次函数难题61-9029．（2013•宜宾）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．30．（2013•宜宾）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【章节训练】第2章二次函数-3参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）组卷二次函数难题61-90 难度 5 级61．（2011•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与xt=﹣﹣，=15组卷二次函数难题61-90 难度 4 级组卷二次函数难题61-9062．（2011•玉溪）如图，函数y=﹣x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=﹣1，在下列结论中，错误的是（），组卷二次函数难题61-90 难度 4 级63．（2010•钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）组卷二次函数难题61-90 难度4.5级2①抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y 轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对x=组卷二次函数难题61-90组卷二次函数难题61-90 难度4.5 级65．（2010•自贡）y=x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，≥组卷二次函数难题61-90 难度 4 级66．（2010•十堰）方程x2+2x﹣1=0的根可看出是函数y=x+2与y=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+xD的图象交点的横坐标，再根据四个选项中y==1时，，=2所在范围为组卷二次函数难题61-90 难度 4 级 ． C ．，移项得，，方程无实根；得，，移项得，得，，移项得，得，，方程有两个实根．故选组卷二次函数难题61-90 难度4.5级68．（2010•台州）如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动（抛物线随顶点一起平移），与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标最大值为（ ）组卷二次函数难题61-90 难度4.5级69．（2010•东营）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx ﹣ac 与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）．CD ．﹣的图象在一、三象限，可排除组卷二次函数难题61-90 难度4.5级70．（2010•广安）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）=1﹣=1组卷二次函数难题61-90 难度 5 级71．（2010•丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）y=，×x组卷二次函数难题61-90 难度4.5级72．（2011•兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）． C D ．x=二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）组卷二次函数难题61-90 难度5级73．（2009•黄石）若抛物线y=ax 2+bx+3与y=﹣x 2+3x+2的两交点关于原点对称，则a 、b 分别为 、 3 ．则两根之和为：﹣，两根之积为＜=，，±组卷二次函数难题61-90 难度4.5级74．（2010•成都）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm ，BC=24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过 3 秒，四边形APQC 的面积最小．组卷二次函数难题61-90 难度5级75．（2009•金华）如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x轴于点H ．在抛物线y=x 2（x ＞0）上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 （3，），（，），（2，2），（，） ．倍，若设的坐标为（的横坐标是纵坐标的的坐标为（t个，为，，），），（组卷二次函数难题61-90 难度 4 级76．（2009•江津区）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=3，公共部分面积y最大，y最大值=6．，根据=﹣x﹣＜=3组卷二次函数难题61-90 难度4 级77．（2008•庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为2080元/平方米．组卷二次函数难题61-90 难度5级78．（2009•浙江）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点A 在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则： （1）abc ＜ 0（填“＞”或“＜”）； （2）a 的取值范围是≤a ≤．＞，解得﹣；，解得﹣；≤．组卷二次函数难题61-90 难度5.5级79．（2009•包头）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点（﹣2，0）、（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a ﹣2b+c=0；②a ＜b ＜0；③2a+c ＞0；④2a ﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是 4 个．，即﹣，结合，而∴﹣的值的情况来判断；判断的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系组卷二次函数难题61-90 难度 4 级 80．（2010•兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．组卷二次函数难题61-90 难度4.5级81．（2008•黄石）若实数a ，b 满足a+b 2=1，则2a 2+7b 2的最小值是 2 ．+=2），++），组卷二次函数难题61-90 难度 4 级82．（2009•包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是12.5cm2．×，则边长分别为，x（（组卷二次函数难题61-90 难度 4.5级83．（2008•长春）将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=﹣2x2﹣4x+5，则原抛物线的顶点坐标是（3，10）．组卷二次函数难题61-90 难度4.5级84．（2009•兰州）二次函数y=x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A 2008在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B 2008在二次函数y=x 2第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2007B 2008A 2008都为等边三角形，请计算△A 0B 1A 1的边长= 1 ；△A 1B 2A 2的边长= 2 ；△A 2007B 2008A 2008的边长= 2008 ．a ×，于是等边×b 点坐标为（）代入解析式得（﹣c 点坐标为（）代入解析式得（，的边长为三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）组卷二次函数难题61-90 难度5级85．（2013•徐州）如图，二次函数y=x 2+bx ﹣的图象与x 轴交于点A （﹣3，0）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E ． （1）请直接写出点D 的坐标： （﹣3，4） ；（2）当点P 在线段AO （点P 不与A 、O 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点P ，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED 与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．﹣=（）t=有最大值；=组卷二次函数难题61-90组卷二次函数难题61-90 难度4.5级86．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．）由题意可知：，+EF组卷二次函数难题61-90 难度 5 级87．（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．组卷二次函数难题61-90根据它的对应边成比例得到=y=x+）t t﹣t的坐标为（﹣，x+1==BE=．=，x+．y=，==ttDN PD=（t=t﹣=CM=×t t=tCD=（1=+++．组卷二次函数难题61-90 难度 5级 88．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．，，，时，点，﹣=，的坐标为（，﹣），，的距离为×，=3××，﹣）组卷二次函数难题61-90组卷二次函数难题61-90 难度5级89．（2013•宜宾）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．，CE=CBD=t=，）x+解方程组的坐标为（，组卷二次函数难题61-90 难度5 级90．（2013•宜宾）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？。
初中数学二次函数难题汇编含答案解析
初中数学二次函数难题汇编含答案解析一、选择题1．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．-12＜t ≤3B ．-12＜t ＜4C ．-12＜t ≤4D ．-12＜t ＜3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1，∴b ＝−2，∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．4．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==gg g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.5．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0，∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限，反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限，故选D．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．6．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D ．当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小 【答案】D【解析】 分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]；A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确； C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．7．若二次函数y ＝x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m 的值为（ ）A +B ．1C．1 D．5,15--【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【详解】∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当m＞1时，可知当自变量x满足m≤x≤m+1时，y随x的增大而增大，∴当x＝m时，y有最小值，∴m2﹣2m+2＝6，解得m＝1+5或m＝1﹣5（舍去），当m+1＜1时，可知当自变量x满足m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+1时，y有最小值，∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m＝5（舍去）或m＝﹣5，综上可知m的值为1+5或﹣5．故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，用m表示出其最小值是解题的关键．8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误，∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确，∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B ．9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．10．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+=故选：B．【点睛】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．13．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∴3b ，2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确；即正确的有3个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞﹣3b ；（3）7a ﹣3b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】 根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-2b a=2，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确； 由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（2）正确；因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+2c ＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 2，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜x 2，故（5）正确．正确的共有3个.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ；∵当x=0时y=c=-2∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确；∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >．∴3204a->，∴a83>；∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．16．抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法错误的是A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当x=-2时，y=0，∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=12，故C错误；当x＜12时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．17．若A（－4，1y），B（－3，2y），C（1，3y）为二次函数y=x2+4x－m的图象上的三点，则1y，2y，3y的大小关系是（）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C【解析】【分析】 分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．18．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D【解析】【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴(或某直线)有交点．19．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．①②③D．②③【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2-4ac＞0，①正确；②由点M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c=y0，∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确；故选B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．20．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )A．1 B．12C．43D．45【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面积＝12AB•OC＝12AB•k，△ABD的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k＝14(4﹣k)，解得：k＝45．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．。
二次函数经典例题及解答
定义
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的函数称为二次函 数。
图像特征
二次函数的图像是一条抛物线， 开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
对称轴与顶点坐标求解
对称轴
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 直线$x = -frac{b}{2a}$。
05
当$-2 leq x < 1$时，由$a geq frac{x^2 + 3}{x - 1}$恒 成立，得$a geq (frac{x^2 + 3}{x - 1})_{max}$。
03
当$x = 1$时，不等式恒成立，$a in R$；
06
综合以上情况，可求得$a$的取值范围。
转化思想在恒成立问题中运用
对称轴和顶点坐标公式记忆错误。避免策略
通过多做练习加深记忆，同时理解公式的推导过程。
判别式 $Delta$ 使用不当，导致…
正确理解判别式的含义和使用方法，结合二次函数的图像进行分析。
忽略二次函数图像与性质的综合运用。避免策略
在解题时注重数形结合，充分利用二次函数的图像和性质进行分析和 求解。
拓展延伸：高阶导数在二次函数研究中的应用
第四步
求极限。根据单调性，求出开 区间上的极限值，即为最值。
含参数最值问题处理方法
第一步
确定参数范围。根据题目条件，确定参数的取 值范围。
01
第三步
求导数。对新函数进行求导，得到导 函数。
03
第五步
判断单调性。根据二次函数的开口方向和临 界点的位置，判断新函数在参数范围内的单
一道二次函数经典题的50种问法答案
一道二次函数经典题的50种问法已知：如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．(1)求此抛物线的解析式；答案：y＝x2＋2x－3(2)判断△ACD的形状，并说明理由；答案：直角三角形(3)求四边形ABCD的面积；答案：D(－1，－4)，S四边形ABCD＝9(4)在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出点P的坐标及△BPC的周长．答案：l AC ：y ＝－x －3，P (－1，－2)，△BPC 的最小周长＝PC ＋PB ＋BC ＝(5)在直线AC 下方的抛物线有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 于点M ，当点N 的坐标是多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？答案：l AC ：y ＝－x －3，设N (n ，n 2＋2n －3)，M (n ，－n －3)，MN ＝－n －3－(n 2＋2n －3)＝－n 2－3n ＝－(n ＋32)2＋94≤94当n ＝－32取“＝”号， ∴当N (－32，－154)时，线段MN 的长度最大，最大值是94(6)在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？答案：设N (n ，n 2＋2n －3)，S △CAN ＝S △NCM ＋S △ANM ＝12NM ·AC ＝32NM ，由(5)可知，当n ＝－32时NM 最大，此时S △CAN ＝278(7)在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 的面积最大？最大面积是多少？答案：S 四边形ABCN ＝S △ABC ＋S △CAN ，S △ABC ＝6为定值，所以求S △CAN 的最大值即可，由(6)可知，当n ＝－32时NM 最大，此时S △CAN ＝278，此时S 四边形ABCN ＝938(8)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在，E (0, 32)或(0，－1)或(0，－3)或(0，－72)(9)在y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在．AD ＝2，F (0，2)或(0，±4或(0，－1)(10)在抛物线上是否存在一点N ，使S △ABN ＝S △ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在：S △ABC ＝6，AB ＝4，N (－2，－3)或(－1，3)(11)在抛物线上是否存在一点H ，使S △BCH ＝S △ABC ，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在．过点A 作AH ∥BC 交抛物线于点H ，易求A (－3，0)，B (1，0)，C (0，－3)y BC ＝3x －3，设y AH ＝3x ＋b ，则b ＝9，⎩⎨⎧-+=+=32932x x y x y ，⎩⎨⎧=-=0311y x ，⎩⎨⎧==21422y x ， ∴H (4，21)(12)在抛物线上是否存在一点Q ，使S △AOQ ＝S △COQ ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．yxDC B A O答案：存在．作∠AOC 的平分线交抛物线于点Q 1、Q 2,易求直线Q 1Q 2解析式为y ＝x ,联立抛物线得x 2＋2x －3＝x ，易求Q 1(213-1-213-1-，)，Q 2(2131-2131-++，)(13)在抛物线上是否存在一点E ，使BE 平分△ABC 的面积，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在．取AC 的中点M ，连BM 并延长BM 交抛物线于点E ，∵A (－3,0)，C (0,－3)，∴M (23-23-，)，易求y BM ＝53x －53，联立抛物线得x 2＋2x －3＝53x －53,∴E (－512，－2521)(14)在抛物线上找一点F ，作FM ⊥x 轴，交AC 于点H ，使AC 平分△AFM 的面积？答案：当点H 为MF 的中点时，AC 平分△AFM 的面积，设M (m ,0)，F (m ,m 2＋2m －3) H (m ,23212-+m m )，y AC ＝－x －3,∴23213--2-+=m m m m ＝－3(舍)，m ＝－1， ∴F (－1，－4)(15)在抛物线的对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A 、B 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求出K 、L 两点的坐标．xDC B A O yxDC B A O yxDC B A O答案：①以AB 为边作平行四边形ABKL ，∴KL 1＝KL 2＝AB ＝4，K (－1，12)，L 1(－5，12)，L 2(3，12)，②以AB 为对角线作平行四边形AKBL 易得k (－1，4)，L 3(－1，－4)(16)作垂直于x 轴的直线x ＝－1，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ，若以A 、M 、N 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标．答案：由(1)得：y ＝x 2＋2x －3 ∵A (－3，0)，C (0，－3) ∴l AC ：y ＝－x －3∴M (－1，－2)，N (－1，－4) ① AM ∥EN ，∴E (－3，－1) ② AM ∥NE ，∴E (1，－6) ③ AN ∥EM ，∴E (－3，2)∴综上所述E 的坐标为(－3，－1)或(1，－6)或(－3，2)(17)在抛物线上是否存在一点P ，使∠POC ＝∠PCO ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：存在，∵∠POC ＝∠PCO ，即P 在CO 的垂直平分线上y ＝3-，∴ x 2＋2x －3＝3-，解得x 11，x 2＝1-∴P 1，32-)或(1-，32-)(18)在线段AC 上是否存在一点M ，使△AOM 与△ABC 相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．xDC B A O答案：①△AOM ∽△ABC ，∴34AM AO AC AB ==，∴AMM (34-，94-) ②△AMO ∽△ABC，∴AO AM AC AB = ，∴AM＝M (－1，－2) 综上所述M (34-，94-)或M (－1，－2)(19)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，作PH ⊥x 轴于H ，是否存在这样的点P ，使△PAH 与△OBC 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：H (－1，0)∴①△PAH ∽△BCO ，∴PH ＝6，∴P (－1，6)或P (－1，－6)②△APH ∽△BCO ,∴PH ＝23，∴P (－1，23)或P (－1，23-)综上所述P (－1，6)或P (－1，－6)或P (－1，23)或P (－1，23-)(20)若点P 从点A 出发向点B 运动，同时点Q 从点O 以相同的速度出发向点C 运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为T 秒，△OPQ 的面积为S ，求S 与T 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．答案：S △POQ ＝12·PO ·OQ ＝21322T T -+(0≤T ≤3) ∴S ＝2139228T⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即当T ＝32时，S max ＝98(21)点E 在y 轴上的一个动点，点F 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E 和点F ,使点A 、D 、E 、F 构成菱形,若存在，求出点E 、F 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：可由题意知A(－3，0)，D(－1，－4)，设F点坐标为(0，y)，由四边形ADFE为菱形，可知AD＝AE，可得32＋y2＝22＋42，可求yE1(0，E2(0，由平移可求F1(2，－4＋，F2(2，－4还有一种情况，当AD的垂直平分线交y轴于E3，可列方程为32＋y2＝12＋(y＋4)2，解得y＝－1，∴E3(0，－1)，由平移可求F3(－4，－3)(22)点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点,是否存在这样的点E和点F,使点A、D、E、F构成矩形，若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由．答案：(1)当AE⊥AD时，可证△ADM∽△EAO，可求OE＝1．5，∴E(0，1．5)，由平移可得F(2，－2．5) 当DE⊥AD时，可证△DME∽△AND，可求EM＝12，∴E(0，－3．5)，由平移可得F(－2，0．5) (2)设E(0，y)，以AD为直径作圆⊙P交y轴于E，PE＝12AD，可列方程22＋(y＋2)2＝5，解得y ＝－1或－3，∴E(0，－1)或(0，－3)，由平移得F(－4，－3)或(－4，－1)(23)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样一个动点P,使|P A－PC|的值最大，若存在,求出点P的坐标，并求出|P A－PC|的最大值，若不存在，请说明理由．答案：A关于对称轴对称点为B，作直线BC交对称轴于P，P即为所求，可先求直线BC解析式y＝3x－3，交对称轴于点P(－1，－6)(24)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P,使点P到直线AC的距离最大,若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案：可先求直线AC 解析式为y ＝－x －3，过P 作PQ ∥AC ，∴设PQ 解析式y ＝－x ＋a ，与联立二次函数解析式可得判别式为0，可求a ＝－214，再可求P (－32，－154)(25)在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点P ,使点P 到直线AC 的距离为2,若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：过P 作PQ ∥y 轴，交AC 于Q ，过P 作PR ⊥AC ，可证△PQR 为等腰直角三角形，当PR ＝2时，PQ ＝22，设P 坐标为(t ，t 2＋2t －3)，则Q 为(t ，－t －3)，可列方程－t －3－t 2－2t ＋3＝22， ＜0，∴不存在在AC 下方P 到AC 距离为2．(26)在直线AD 上,是否存在一点P , 使BP ＋CP 最小，若存在,求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：:26AD l y x ,点C 关于直线AD l 对称点1217(,)55M ,连接BM 交AD 于P ，此时BP ＋CP 最小，:1BD l y x ,58(,)33P ．(27)在直线AC 上,是否存在－点P ,使BP ＋12AP 最小，若存在，求出点P 的坐标，并求出最小值，若不存在，请说明理由．y xAB CDO yxPQA BC DO yxAB CDO yxQ R P DA BCO yxDC B A O答案：以AC 为边作∠CAN ＝30°，过点P 作PM ⊥AN ，当B 、P 、M 三点共线时BP ＋21AP 最小BM ⊥AM ，∠ABM ＝15°AB ＝4则BM ＝6232-+(28)点E 是线段A C ．上的一个动点,点P 是线段AB 上的一个动点，PE ∥BC ,是否在这样的动点P ,使△PEC 的面积最大，若存在,求出点P 的坐标，并求出△PEC 的面积的最大值，若不存在，请说明理由．答案：:3,:33AC BC l yx l y x设43(,3),:343,(,0)3EP t E t t l y x t P ，即643tPA216416423273(3)()2323348PEC PAC PAE t t S S S t t ， 当34t 时，△PEC 的面积最大，max 327(,0),=48PEC P S(29)点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PE 垂直x 轴交AC 于点E , PF ⊥AC 于点F ,是否存在这样的点P ,使△PEF 的周长最大,若存在，求出．点P 的坐标，并求出△PEC 的周长的最大值，若不存在，请说明理由．答案：△PEF 是等腰Rt 三角形，(21)PEFCPE设2(,23),(,3)P t t t E t t ，∴22393()24PEt t t ∴当32t 时，max 9=4PE ，此时max 3159(21)(,),244PEF P C(30)抛物线上是否存在不同的两点关于AC 对称，若在求出点这两点的坐标，若不存在，请说明理由．yxDC B A O yxDC B A O yxDC B A O答案：假设存在，设为P 、Q 两点(P 在Q 的左下方)，l PQ ：y ＝x ＋m ，由x 2＋2x －3＝x ＋m ，得 x 2＋x －3－m ＝0，∴x P ＋x Q ＝－1，取PQ 中点M ，则x M ＝－12，又M 在AC 上，∴M (－12，－52)， ∴l PQ ：y ＝x －2，∴P()、Q()(31)点E 是坐标轴上的一个动点，是否存在这样的点E ，使△ACE 是等腰直角三角形，若存在求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：∵OA ＝OC ＝3，∴点E 坐标为(0,0)；点E 在x 轴时，点E 坐标为(3,0)；点E 在y 轴时，点E 坐标为(0,3)．(32)【正方形存在性问题】点E 是坐标轴上的一个动点，点P 在坐标平面内，是否存在这样的点P ，使点P 、E 、A 、C 四点构成的四边形是正方形，若存在求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：由(31)中点E 的三种位置易知满足条件的点P 坐标为(3,0)或(0,3)或(－3,－3)．(33)已知对称轴交x 轴于点E ，以E为半径作⊙E ，试判断直线BC 与⊙E 的位置关系，并说明理由．yxDC B AO yxDC B A O答案：直线BC 与⊙E 相切．理由如下：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，连接EC ，BE ＝2，OC ＝3，BC＝EHE 的半径．(34)【平行四边形之横平行】已知M 为直线AC 上一个动点，P 为抛物线上一个动点，且PM ∥AB ，是否存在这样的点P ，使点P 、M 、A 、B 构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：∵PM ∥AB ，点P 、M 、A 、B 构成的四边形是平行四边形，∴PM ＝AB ＝4，直线AC 解析式为y ＝－x －3，不妨设点P (t ，－t －3)，则点M (t ＋4，－t －3)．∵点M 在抛物线上，∴(t ＋4)2＋2(t ＋4)－3＝－t －3，解得：t 1＝－8，t 2＝－3(舍去)，则点P 坐标为(－8,5)．(35)【平行四边形之纵平行】已知对称轴交x 轴于点E ，M 为x 轴上一个动点，P 为抛物线上一个动点，且PM ∥ED ，是否存在这样的点P ，使点P 、M 、E 、D 构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：∵ED ＝4，点P 、M 、E 、D 构成的四边形是平行四边形，∴PM ＝ED ＝4，∴y P ＝4，又点P 在抛物线上，∴x 2＋2x －3＝4，解得：x 1＝－1＋，x 2＝－1－P 坐标为(－1＋4)或(－1－，4)．(36)【平行四边形之斜平行】已知M 为x 轴上一个动点，P 为抛物线上一个动点，且PM ∥AC ，是否存在这样的点P ，使点P 、M 、A 、C 构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：设()2,23,(,0)P x x x M m +-，且(3,0),(0,3)A C --，PM //AC①若以AP 为对角线，则230233x m x x -+=+⎧⎨+-=-⎩，∴(2,3)P -- y xD CB A O y xD CB AO②若以AM 为对角线，则232330m x x x -+=⎧⎨+--=⎩，∴(1P -+或(1P -(37)已知F (－1，－154)和直线l ：y ＝－174，点P 为抛物线上任意一个动点，过点P 作PD ⊥l 于D ．求证：PD ＝PF ．答案：由题意得，222215(1)234PF x x x ⎛⎫=--++-+ ⎪⎝⎭，22217234PD x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 2222212340PF PD x x x x ∴-=++--+-=PF PD ∴=．(38)【等边三角形存在性问题】F (－1，－154)和直线l ：y ＝－174，点P 为抛物线上任意一个动点，过点P 作PD ⊥l 于D ，是否存在这样的点P ，使△PFD 是等边三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：由题意得，222217234PD PF x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭22215(1)234x x x ⎛⎫=--++-+ ⎪⎝⎭,221(1)4DF x =+-- 令PD PF DF ==，则1x =-，或1x =-∴13(1)4P --或13(1)4P --(39)已知F (－1，－154)和E (12，2)以及直线l ：y ＝－174，点P 为抛物线上任意一个动点，过点P 作PD ⊥l 于D ．求PD ＋PE 的最小值．答案：由题意的，当P ,E ,D 在同一直线上时，PD ＋PE 的最小值． 此时，17117,,,2424P D ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴PD ＋PE 最小值＝DE ＝2＋1725.44=(40)已知F 为平面内一定点，点P 为抛物线上一动点，且点P 到直线l ：y ＝－174的距离与点P 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．答案：设()2(,),23F m n P x x x +-，则()2222()23PF x m x x n =-++--，22217234PD x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 不妨设223x x k +-=，化简得，222151192(2417)6=0216n x m n x m n n ⎛⎫⎛⎫--+---++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵PD ＝PF 恒成立 ∴221520224170,1196.16n m n m n n ⎧--=⎪⎪---=⎨⎪⎪+++⎩，1154m n =-⎧⎪∴⎨=-⎪⎩． 当()14P --，时，14PD PE ==，151,4F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．(41)已知F (－1，－154),直线l 为平面内一定直线，点P 为抛物线上一动点，且点P 到直线l 的距离与点P 到点F 的距离总是相等，求定直线l 的解析式．答案：由题知D 为(－1，－4)，设P (m ，m 2＋2m －3)，过P 作PM ⊥l 于M ，过P 作PR ∥y 轴交l 于R ，设l 的直线解析式为y ＝kx ＋bF (－1，－154)，PF 2＝[(m ＋1)2＋14]2 PF ＝PM ＝(m ＋1)2＋14，R (m ，km ＋b )， PR ＝m 2＋(2－k )m －3－b通过相似易证2||||1b PM k b PR k k-=-+ 2221||(1)4(2)3||1b m k bm k m b k k-++=+----+ [(m ＋1)2＋14](1)＋km －b －174＝0 ∴101704km b =⎨--=⎪⎩ ∴k ＝0，b ＝－174直线l 为y ＝－174(42)已知F (－1，－154)，过点F 的任意直线与抛物线交于P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)两点，弦PQ 中点为M ，直线l ：y ＝－174．求证：以PQ 为直径的⊙M 与直线l 相切． 答案：过M 作MQ ⊥l 于Q ，设过F 的直线为y ＝kx ＋k －154联立抛物线与直线PQ 并消y 得 x 2＋(2－k )x ＋34－k ＝0 ∴x 1＋x 2＝k －2，x 1x 2＝34－k ∴y 1＋y 2＝k 2－152∴M 为(22k -，21522k -) ∴MQ ＝21522k -－(－174)＝212k + 过P 作PR ∥x 轴，过Q 作QR∥y 轴，PR 与RQ 交于R 点通过相似导边易求PQ x 1－x 2|k 2＋1∴r ＝212k +＝MQ ∴以PQ 为直径的⊙M 与直线l 相切(43)已知F (－1，－154)，过点F 的任意直线与抛物线交于P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)两点，弦PQ 的中点为M ，直线l ：y ＝－174．若MN ⊥l 于N ．求证：NF ⊥PQ ．答案：过M 作MR ⊥DF 于R ，记对称轴与l 交于S ，设直线PQ 为y ＝kx ＋k －154联立直线PQ 与抛物线并消y 得：x 2＋(2－k )x ＋34－k ＝0 ∴x 1＋x 2＝k －2 ∴y 1＋y 2＝k 2－152∴M 为(22k -，21522k -) ∴MR ＝2k ，RF ＝22k ，FS ＝12，NS ＝2k ∴MR RF FS NS = ∴△RMF ∽△SFN∴导角易求∠MFN ＝90°(44)D 是抛物线的顶点,任意直线T H 与抛物线交于T 、H 两点,若DT ⊥DH ．直线T H 是否过某一定点，若过某一定点，求出定点坐标；若不过某一定点，请说明理由．答案：设T (m ，m 2＋2m －3)，H (n ，n 2＋2n －3)易求D (－1，－4)则直线T H为：y＝(m＋n＋2)x－mn－3过D作直线p∥x，过T作T R⊥p于R，过H作HS⊥p于S，易证TR DR DS HS=(m＋1)(n＋1)＋(m＋1)2(n＋1)2＝0∴(m＋1)(n＋1)＋1＝0∴m＋n＋2＝－mn∴直线T H为：y＝－mnx－mn－3＝－mn(x＋1)－3∴直线T H过定点(－1，－3)(45)若直线PQ是过点E(－1，－3)的与抛物线有两个交点的任意直线，并与抛物线交于P、Q两点，连接DP、DQ．求证：△DPQ是直角三角形．【注：实际上就是证明：DP⊥DQ．】解：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－3，联立y＝x2＋2x－3，y＝－3，得P、Q坐标，易得PE＝ED＝EQ，∴为直角△；⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－3，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝－k，过P，Q作x轴的垂线交过点D垂直于y轴的直线于M，N，计算PM⋅QN＝DM⋅DN＝1∵Rt∠，∴△PDM∽△DQN，∴∠PDQ＝90°．综上，△DPQ是直角三角形．(46)已知F(－1，－154)，过点F的任意直线与抛物线交于P(x1，y1)和Q(x2，y2)两点，直线l：y＝－17 4．分别过点P、Q作PH⊥l于H，Q T⊥l于T．求证：PHQQTP＋是定值．答案：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－154，联立y＝x2＋2x－3，y＝－154，得P、Q坐标，易得PH＝Q T＝1 2，PQ＝1，∴PH QTPQ＋＝1；⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－154，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝34－k，PH＋Q T＝y1＋174＋y2＋174＝y1＋y2＋172＝k(x1＋x2)＋2k＋1＝k2＋1．PQ＝k2＋1．∴PH QTPQ＋＝1．综上，PH QTPQ＋＝1．(47)已知F(－1，－154)(即焦点)的任意直线与抛物线交于P(x1，y1)和Q(x2，y2)两点．求证：1FP＋1FQ为定值．答案：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－154，联立y＝x2＋2x－3，y＝－154，得P、Q坐标，易得PF＝FQ＝1 2，∴1FP＋1FQ＝4；⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－154，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝34－k，PF＝FQ＝1FP＋1FQ＝⋅(111x--＋211x+)＝4．综上，1FP＋1FQ＝4．(48)过点N(－1，－72)的任意直线与抛物线交于P、Q两点．求：21NP＋21NQ为定值．答案：⑴k＝0时，直线PQ：y＝－72，联立y＝x2＋2x－3，y＝－72，得P、Q坐标，易得PN＝NQ＝，∴21NP＋21NQ＝4；⑵k≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：y＝kx＋k－72，联立得x1＋x2＝k－2，x1⋅x2＝12－k，NP2＝(x1＋1)2＋(y1＋72)2，NQ2＝(x2＋1)2＋(y2＋72)2，21NP＋21NQ＝4．综上，21NP＋21NQ＝4．(49)已知点T 是对称轴上的任意一个点，过点T 的任意直线与抛物线交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 的中点，过点M 向x 轴作垂线，交抛物线于点N ，抛物线在点N 处的切线是HK ．求证：HK ∥PQ ．答案：⑴k ＝0时，直线PQ 与x 轴平行，T 即为中点M ，顶点D 即为点N ，此时过顶点的切线与x 轴平行，∴HK ∥PQ ；⑵k ≠0时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，直线PQ ：y ＝mx ＋n ，联立ax 2＋(b －m )x ＋c －n ＝0，∴x 1＋x 2＝m b a -，x 1⋅x 2＝c －n ，PQ 中点M (2m b a-，y M ); 设线段PQ 上的点M ’，过M ’作垂线交抛物线于N ’，M ’N ’＝mx ＋n －(ax 2＋bx ＋c )＝－a (x ＋2b m a -)2＋2()444b m c n a -+-，即当x ＝2m b a-时，M ’N ’最大，与MN 重合，此时S △PQN ’最大； 而过N ’与PQ 平行的直线中，当与抛物线只有一个交点(在N 点)时S △PQN ’最大；∴HK ∥PQ ．。
(专题精选)初中数学二次函数难题汇编含解析
（专题精选）初中数学二次函数难题汇编含解析一、选择题1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得 1201b b c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ．【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t 等于0时，∵2(1)4y x =--，∴顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，3y =-，∴(0,3)A -，当4x =时，5y =，∴(4,5)C ，∴当0m =时， (4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-；如图2所示，当1m =时，此时最小值为4-，最大值为1．综上所述：01m ≤≤，故选：C．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．3．已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（）A．-1 B．1 C．-3 D．-4【答案】A【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值．【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，其顶点坐标为(0，a2)，而a2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，a2=3，而当y=0时，x2=−a，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a2+b=0，所以a=−1；若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a2+b=0①；令x=−2，y=0，则4a−2b+a2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.【详解】 由题可知22b a-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c =，故可得4,0a b c -==①因为0c =，故①正确；②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上， 0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =， 即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．所以答案为：D ．【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.7．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0，∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限，反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限，故选D．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．8．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4，∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，∴﹣4≤t＜5；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．9．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+---2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．10．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．11．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【答案】C【解析】【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】 由图象可得， a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确， 当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0， 由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确，∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：y=a （x 2-2x-3） =a （x-3）（x+1） 令y=0， ∴x=3或x=-1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立； ∴抛物线的对称轴为：x=1， 令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ， ∴y=a-2a-3a=-4a ，∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立； 由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系14．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣12，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-2ba=2，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（2）正确；因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+2c ＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 2，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜x 2，故（5）正确． 正确的共有3个. 故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确； ∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >．∴3204a ->，∴a 83>； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-4203>；故③错误 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．17．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a *b ＝ab ﹣a +b ，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）A ．不等式（﹣2）*（3﹣x ）＜2的解集是x ＜3B ．函数y ＝（x +2）*x 的图象与x 轴有两个交点C ．在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数D ．方程（x ﹣2）*3＝5的解是x ＝5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A ；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B ；根据题目中所给的运算法则可得a *（a +1）＝a （a +1）﹣a +（a +1）＝a 2+a +1＝（a +12）2+34＞0，由此即可判定选项C ；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D. 【详解】 ∵a *b ＝ab ﹣a +b ，∴（﹣2）*（3﹣x ）＝（﹣2）×（3﹣x ）﹣（﹣2）+（3﹣x ）＝x ﹣1， ∵（﹣2）*（3﹣x ）＜2，∴x ﹣1＜2，解得x ＜3，故选项A 正确；∵y ＝（x +2）*x ＝（x +2）x ﹣（x +2）+x ＝x 2+2x ﹣2，∴当y ＝0时，x 2+2x ﹣2＝0，解得，x 1＝﹣x 2＝﹣1B 正确； ∵a *（a +1）＝a （a +1）﹣a +（a +1）＝a 2+a +1＝（a +12）2+34＞0， ∴在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数，故选项C 正确； ∵（x ﹣2）*3＝5，∴（x ﹣2）×3﹣（x ﹣2）+3＝5， 解得，x ＝3，故选项D 错误； 故选D ． 【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.18．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y ＜3y B ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C 【解析】 【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可． 【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -， y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --， y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -， ∵-3m -＜m -＜5m -， ∴y 2＜y 1＜y 3． 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．19．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s）之间的关系如下表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B．20．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝2ax+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-ca，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。
二次函数经典题型(含答案)
二次函数经典题型（启东教育）1.看图，解答下列问题．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．2.已知函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x >0时，求使y ≥2的x 的取值范围．3.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2．（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值．4.如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．（1）若二次函数y ＝－x 2－25kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．5.已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值．（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 的面积．6.已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．7.已知抛物线c bx ax y ++=2与y轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 y=-x+2 并且线段CM 的长为22（1） 求抛物线的解析式。
二次函数图像问题及答案(难题)
二次函数图像性质1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，OA ＝OC ，①abc ＜0；②24b ac <；③1-=-b ac ；④02<+b a；⑤ac OB OA -=⋅； ⑥024<+-c b a 。
其中正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c;（C ）bc+1=a; （D ）以上都不是3，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)5．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）47.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点（-2，0）（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在（0，2）下方。
二次函数重难题型归类 (解析版)
二次函数重难题型归类【考向速览】【考向突破】考向1 二次函数含参问题1．若函数()221f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,16⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】讨论a 的取值，可知a =0符合题意，当0a ≠ 时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得a 的范围,综合可得答案.【详解】当a =0时，函数()21f x x =-在R 上单调递增， 所以()f x 在(,6)-∞上单调递增，则a ＝0符合题意；当0a ≠ 时，函数()f x 是二次函数，又()f x 在(,6)-∞上单调递增， 由二次函数的性质知，160aa ⎧-≥⎪⎨⎪<⎩ ，解得106a -≤<. 综上，实数a 的取值范围是1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故选:A.2．若函数()221f x x ax a =-+-在[]0,2上的最小值为-1，则=a （ ）A ．2或65B ．1或65C ．2D ．1【答案】D【分析】先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间[]0,2的关系，求出其最小值，列方程可求出a 的值【详解】函数2()21f x x ax a =-+-图象的对称轴为x a =，图象开口向上，（1）当0a ≤时，函数()f x 在[]0,2上单调递增．则()(0)1min f x f a ==-，由11a -=-，得2a =，不符合0a ≤； （2）当02a <<时．则222()()211min f x f a a a a a a ==-+-=--+，由211a a --+=-，得2a =-或1a =，又02a <<，1a 符合；（3）当2a ≥时，函数2()21f x x ax a =-+-在[]0,2上单调递减，()()244155min f x f a a a ∴==-+-=-，由551a -=-，得65a =， 又2a ≥，∴65a =不符合， 综上可得1a =． 故选：D3．()224f x x x =--定义域为[]0,m ，值域为[]5,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．{}1B ．[)1,+∞C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】C【分析】由二次函数的性质知()f x 开口向上且顶点为(1,5)-，且(0)(2)4f f ==-，结合闭区间对应值域即可确定m 的范围.【详解】由2()(1)5f x x =--，其开口向上且顶点为(1,5)-， 当()4f x =-时，可得0x =或2x =，因为()f x 定义域为[]0,m 对应值域为[]5,4--， 所以12m ≤≤. 故选：C.4．已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在[0,3]上的最大值为3，最小值为1-． (1)求()f x 的解析式；(2)若(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()243f x x x =-+(2)234m >-【分析】（1）根据()f x 的最值列方程组，解方程组求得,a b ，进而求得()f x . （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得m 的取值范围. （1）()f x 的开口向上，对称轴为2x =，所以在区间[]0,3上有：()()()()min max 2,0f x f f x f ==，即481133a a b a b b -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以()243f x x x =-+.（2）依题意(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，即2343,4x x mx m x x-+<>+-， 由于1x >，33424234x x x x+-≥⋅-=-， 当且仅当33x x x=⇒=时等号成立. 所以234m >-.5．已知函数()2442f x x mx m =-++．(1)若()f x 的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标分别为1x ，2x ，求2212x x +的取值范围；(2)若()2442f x x mx m =-++在(],1-∞上是减函数，且对任意的1x ，[]22,1x m ∈-+，总有()()1264f x f x -≤成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）0∆>求得m 的范围，利用韦达定理代入()2221212122x x x x x x +=+-，然后配方求得答案； （2）()f x 在(],1-∞上是减函数求得m 的范围，转化为()()max min 64f x f x -≤，求出()max f x 、()min f x ，然后解不等式可得答案．(1)由题意可知方程24420x mx m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ， 由韦达定理得12x x m +=，1224m x x +=， 所以()()244420m m ∆=--⨯+>，解得2m >或1m <-，()22222121212211722416m x x x x x x m m +⎛⎫+=+-=-=-- ⎪⎝⎭，令()2117416m g m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，则当2m >时，()211722416g m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭>，当1m <-时，()2117114162g m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭>，所以()12g m >，所以221212x x +>，即2212x x +的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． (2)函数()2442f x x mx m =-++图象的对称轴为直线2mx =，()f x 在(],1-∞上是减函数， 所以有12m≥，即2m ≥， 又因为对任意的1x ，[]22,1x m ∈-+，总有()()()()12max min f x f x f x f x -≤-， 要使()()1264f x f x -≤成立，则必有()()max min 64f x f x -≤，在区间[]2,1m -+上，()f x 在2,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12m m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()1222m m m +-<--，所以()()max 2918f x f m =-=+，()2min 22m f x f m m ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭，所以有()2918264m m m +--++≤，即28480m m +-≤，解得124m -≤≤，综上，实数m 的取值范围是．考向2 二次函数与幂函数的复合问题1．函数322()(6)f x x x =--的单调递减区间为（ ） A ．1[,2]2-B ．1[3,]2--C ．1[,)2-+∞D ．1(,]2-∞-【答案】A 【分析】()32()6f x x x =--，由260x x --≥结合函数26y x x =--的递减区间可得结果.【详解】()()33222()66f x x x x x =--=--，由260x x --≥得32x -≤≤，又22125624x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的单调递减区间为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A ．2．（多选）关于函数()241y x =-+ ） A ．在区间[]1,0-上单调递减 B ．单调递增区间为[]3,1-- C ．最大值为2 D ．没有最小值【答案】ABC【分析】先求出函数定义域，令()241t x =-+，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出结果.【详解】由()2410x -+≥得31x -≤≤，即函数()241y x =-+的定义域为[]3,1-，令()241t x =-+，则()241t x =-+的图象是开口向下，对称轴为x ＝－1的抛物线， 所以函数()241t x =-+在[]3,1--上单调递增，在[]1,1-上单调递减，又y t =单调递增，所以()241y x =-+在[]3,1--上单调递增，在[]1,1-上单调递减，故A ，B 正确；()2max 4112y =--+=，当x ＝－3时，()24310y =--+=，当x ＝1时，()24110y =-+=，则min 0y =，故C 正确，D 错误. 故选：ABC.3．若函数241y ax x =++[)0,∞+，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()4,+∞C ．[]0,4D ．[)4,+∞【答案】C【分析】当0a =时易知满足题意；当0a ≠时，根据()f x 的值域包含[)0,∞+，结合二次函数性质可得结果.【详解】当0a =时，410y x =+≥，即值域为[)0,∞+，满足题意；若0a ≠，设()241f x ax x =++，则需()f x 的值域包含[)0,∞+，0Δ1640a a >⎧∴⎨=-≥⎩，解得：04a <≤； 综上所述：a 的取值范围为[]0,4. 故选：C.4．已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-[0，+∞），则实数m 的取值范围是__． 【答案】2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】将m 分为000m m m =><，， 三种情况讨论：当0m =时，()210f x x =-≥ 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+-=-，值域是[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴232333m -≤≤，又0m > ，所以2303m <≤ 综上，2303m ≤≤， ∴实数m 的取值范围是：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故答案为：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.5．已知幂函数()()22317m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()2243g x f x x =-+在[]1,2-上的值域．【答案】(1)()4f x x =(2)11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m 的值即可；(2)由(1)求出函数()g x 的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. (1)因为()()22317m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-． 又()f x 的图像关于y 轴对称，所以6m =，故()4f x x =．(2)由（1）可知，()()2242222111164316431684g x x x xx x ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为[]1,2x ∈-，所以[]20,4x ∈，又函数21111684y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在1(,)8-∞上单调递减，在1(,)8+∞上单调递增，所以221111116,243844x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故()g x 在[]1,2-上的值域为11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦．考向3 二次函数与指数函数的复合问题1．函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．【答案】(]0,4【分析】先求得22x -的取值范围，再利用指数函数的性质即得.【详解】由于222x -≥-，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以222110422x --⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,4.故答案为：(]0,4.2．若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ） A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】A【分析】根据()f x 有最大值及指数复合函数的单调性，可得223u ax x =-+在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可.【详解】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-， 所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A3．已知函数()11124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()314f =，当[]3,2x ∈-时，函数()y f x m =+存在零点，则实数m的取值范围为（ ） A ．[]57,1-- B ．357,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．157,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．157,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】先根据条件算出参数a ，函数存在零点等价于方程有解，即()f x m =-有解，故只需要求()f x 在[]3,2-上的值域即可.【详解】由题意得，()1311244a f =++=，则1a =-，()11124x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为[]3,2x ∈-，所以1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 可转化为()21h t t t =-+，1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其对称轴为12t =，()min 1324h t h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()max 857h t h ==，所以()f x 在[]3,2-上的值域为3,574⎡⎤⎢⎥⎣⎦．函数()y f x m =+存在零点，等价于方程()f x m =-有解，所以实数m 的取值范围是357,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：B4．已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】()4,+∞【分析】设()20,x t =∈+∞，可转化为()2210t a t +-+=有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点，即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.5．要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______. 【答案】3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】利用分离参数法得到124x x a +>-在(],1x ∈-∞时恒成立，令()124xx f x +=-，求出()f x 的值域，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0， 所以124xx a +>-在(],1x ∈-∞时恒成立.令()124xx f x +=-，则()221412111142222x xx x x f x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦+⎢⎣.因为(],1x ∈-∞，所以11,2 2x⎛⎫⎡⎫∈+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.令21111,(), ,2242xt g t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎫==-++∈+∞ ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭.因为()g t 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为减函数，所以21111()()()222443g t g ≤=-++=-，即3(),4g t ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦因为()a g t >恒成立,所以3,4a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数()423x xf x a =+⋅+，a R ∈．(1)当4a =-，且[]0,2x ∈时，求函数()f x 的值域； (2)若函数()f x 在[]0,2的最小值为1，求实数a 的值； 【答案】(1)[]1,3- (2)22a =-【分析】（1）令[]21,4xt =∈，结合二次函数的性质可求得最值，由此可得()f x 值域；（2）令[]21,4x t =∈，可得()()23f x g t t at ==++，分别在12a -≤、142a <-<和42a-≥的情况下，根据二次函数单调性确定最小值点，由最小值可构造方程求得结果. (1)当4a =-时，()4423x xf x =-⋅+；令2x t =，则当[]0,2x ∈时，[]1,4t ∈，243y t t =-+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，()min 44231f x ∴=-⨯+=-，()max 161633f x =-+=，()f x ∴的值域为[]1,3-.(2)令2x t =，则当[]0,2x ∈时，[]1,4t ∈，()()23f x g t t at ==++，对称轴为2a t =-；当12a-≤，即2a ≥-时，()g t 在[]1,4上单调递增，()()min 141g t g a ∴==+=， 解得：3a =-（舍）； 当142a <-<，即82a -<<-时，()g t 在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,42a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，()2min3124a a g t g ⎛⎫∴=-=-+= ⎪⎝⎭，解得：22a =（舍）或22a =-；当42a-≥，即8a ≤-时，()g t 在[]1,4上单调递减，()()min 41941g t g a ∴==+=， 解得：92a =-（舍）；综上所述：22a =-.7．已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值. 【答案】(1)()5,-+∞ (2)12a =或2a =【分析】（1）利用换元法，设x t a =，则20,45t y t t >=+-，然后利用二次函数的性质可求得函数的值域， （2）分01a <<和1a >两种情况求解即可 (1)设x t a =，则220,45(2)9t y t t t >=+-=+-. 因为0t >，所以22t +>，所以2(2)4t +>， 所以495y >-=-， 即()f x 的值域为()5,-+∞. (2)函数245y t t =+-图象的对称轴为直线2t =-. 当01a <<时，21a t a -，所以245y t t =+-在21,a a -⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()211457a a --+-=，解得12a -=或16a -=-（舍去）所以12a =； 当1a >时，12a t a -，所以245y t t =+-在12,a a -⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()222457a a +-=，解得22a =或26a =-（舍去）， 因为1a >，所以2a =. 综上，12a =或2a =. 8．已知函数()33x x af x b+=+.(1)当5a =，3b =-时，求满足()3xf x =的x 的值；(2)当1b =时，若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()g x 满足()()(31)3x x g x f x -=++ ①求()f x 及()g x 的表达式；②若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式()()210g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1)3log 5x =(2)①()3131-=+x x f x ，()331x xg x -=+-；②422+【分析】（1）代入5a =，3b =-得到()234350x x -⋅-=，再因式分解求解即可；（2）①由定义在R 上的奇函数满足()00f =可得1a =-，进而得到()f x 及()g x ；②化简可得()()233333110x x x x m --+-≥+--，令33x x t -=+，再参变分离根据基本不等式求解范围即可(1)因为5a =，3b =-时，()3533x x f x +=-，又因为()3xf x =，所以()234350x x -⋅-=（1x ≠）所以()()35310x x-+=，所以35x =，即3log 5x =；(2)①因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 10a ∴+=，1a =-，所以()3131-=+x x f x所以()331x xg x -=+-，②由①可得()()2222331333x x x x g x --=+-=+-，因为()()210g x m g x ≥⋅-对任意0x ≠恒成立，所以()()233333110x x x x m --+-≥+--对任意0x ≠恒成立，令33xxt -=+（()2,t ∈+∞），所以271t m t +≥-， 又因为()()()2212187812111t t t t t t t -+-++==-++--- 由对勾函数8y x x=+（1x >）的单调性可知，22x =时y 有最小值42， 所以)27422,1t t +⎡∈++∞⎣-，所以(,422m ⎤∈-∞+⎦，所以m 的最大值为422+. 9．已知函数()2x xa tf x a +=（0a >，1a ≠）是奇函数.(1)若()10f <，对任意[]0,1x ∈有()212f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 的取值范围； (2)设()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦（0m >，1m ≠），若()312f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)32k >； (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据定义域为R 及奇函数性质(0)0f =求参数t ，可得()f x 的解析式并判断出单调性，根据1(1)f a a -=-，将不等式转化为2211x k x +<+在[0,1]x ∈恒成立，即可求k 范围；（2）先用()f x 表示函数()g x ，根据3(1)2f =求得()f x 的解析式，根据单调性利用换元法求得()f x 的值域，结合对数的定义域求m 的范围，根据对数型复合函数的单调性判断在m 的取值范围内能否取到最大值0. (1)由题设，(0)10f t =+=，解得1t =-，故21()x x x xa f x a a a--==-， 而1(1)0f a a=-<(0)a >，解得01a <<， 所以()x x f x a a -=-在R 上单调递减且1(1)f a a-=-，所以21(2)f x kx k a a-->-等价于()2(2)1f x kx k f -->-，即221x kx k --<-， 所以2211x k x +<+在[0,1]x ∈恒成立，整理可得()322121x k x ⎛⎫⎪++-< ⎪+⎪⎝⎭， 由对勾函数的性质知：()332212[2(62),]12x x ⎛⎫⎪++-∈- ⎪+⎪⎝⎭，所以32k >.(2)不存在实数m ，理由如下：22()log ()x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦2log ()()2m f x mf x ⎡⎤=-+⎣⎦，因为3(1)2f =(0)a >，代入得132a a -=，解得2a =或12a =-(舍)， 所以()22x xf x -=-，易知()f x 在R 上为单调递增函数，令()22x x t f x -==-，当[]21,log 3x ∈时()131222f -=-=，()22log 3log 328log 3223f -=-=， 所以38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对于()g t ，220t mt -+>在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 令()2h t t t =+，38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以min 33417()2236h x h ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，即176m <，又0,1m m >≠，所以()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭，对于二次函数()22d t t mt =-+：开口向上且对称轴为2m t =11170,,2212⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以对称轴位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，即()d t 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，所以()min 3317224d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，()max 8882339d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，假设存在满足条件的实数m 且max ()0g x =，则当()0,1m ∈时，()g t 为减函数，()()2min min 21d t t mt =-+=，即33171224d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得()130,16m =∉舍去，当171,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g t 为增函数，()()2max max 21d t t mt =-+=，即88821339d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得73171,246m ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭舍去，综上，不存在实数m 满足条件成立. 【点睛】关键点点睛：（1）由奇函数性质求出参数t ，再由()2(2)1f x kx k f -->-，将问题转化为2211x k x +<+在[0,1]x ∈恒成立； （2）根据已知条件求出()f x 解析式并求出值域，结合对数函数的性质：在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭求m的范围，最后讨论m 的范围，利用二次函数、对数复合函数的单调性判断m 的存在性.10．已知函数()2226f x x mx m =-++，()2xg x =.(1)求()()g f m 的值；(2)若方程()()128g f x =在区间[]1,2-上有唯一的实数解，求实数m 的取值范围；(3)对任意m R ∈，若关于x 的不等式()()()()()()f g x f g x t g x g x +-≥+-⎡⎤⎣⎦在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)64 (2)[)(]2,01,3-(3)(,25-∞⎤⎦【分析】（1）根据题意得()f m 的值，代入求解即可； （2）根据题意得222762=2xmx m -++，所以()()110x m x m ---+=，根据零点位置和区间端点位置判断即可求解； （3）根据题意得22222222+212220xxxx x xm m t ，化简得22(2)(2)22222x x x x t --++≤+，构造()22(2)(2)2222x x x xx ϕ--++=+求解即可.(1) 因为222266f m m m m ，所以()()()66264g f m g ===(2)由()()128g f x =，得222762=2x mx m -++，即22267x mx m -++=，即22210x mx m -+-=，因式分解得()()110x m x m ---+=， 解得1x m =+或1x m =-，因为方程()()128g f x =在区间[]1,2-上有唯一的实数解， 注意到11m m +>-，所以11212m m -≤-≤⎧⎨+>⎩或11112m m -<-⎧⎨-≤+≤⎩解得13m <≤，或20m -≤<.所以m 的取值范围是[)(]2,01,3-.(3)由()()()()()()f g x f g x t g x g x +-≥+-⎡⎤⎣⎦， 所以2222222+6+222+622xx x xx xm m m m t ，整理得22222222+212220xxxx x xm m t ①因为①式对任意m R ∈恒成立， 所以222222422+212220x xx x x xt 恒成立，所以()()()()2222222+212220x xxx x x t ---⎡⎤+-⨯+-+≤⎢⎥⎣⎦，整理得222222+222xxx x t ，即22(2)(2)22222x x x xt --++≤+ ② 记()22(2)(2)2222x x x xx ϕ--++=+， 因为②式在x ∈R 上恒成立，所以()2min t x ϕ≤恒成立， 令22x x u -=+，因为1122222222x x x xx x-+=+≥⨯=， 当且仅当0x =时，等号成立，所以2u ≥ 则()()22020+45u x h u u u uϕ+===≥， 当且仅当[)252,u =∈+∞时，等号成立，所以()45min x ϕ=. 所以245t ≤，即25t ≤，所以实数t 的取值范围是(,25-∞⎤⎦.11．已知函数()()2log 41xf x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x xg x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.【详解】因为函数()()2log 41xf x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=，其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x xxx x x x xx ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅，所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41xf x x =+-，所以()()2log 414122222x x xf x x x x +--+===+，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-，等价于()222223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或2222324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52m =-．故A ，C ，D 错误. 故选：B ．12．已知函数()()41log 412x f x x =+-，x ∈R .(1)证明：()f x 为偶函数；(2)若函数()()2421xf x xg x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在m ，使()g x 最小值为0.若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)1m =-【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；（2）首先得到()2(2)2x xg x m =+⋅，令2x t =，则2y t mt =+，[]1,3t ∈，根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得； (1) 证明：41()log (41)2x f x x =+-定义域为R ，()()f x f x ∴--4411log (41)log (41)22x x x x -=++-++ 444111log log (41)422x x x x x +=+-++()44411log 41log 4log (41)22x x x x x =+-+-++ 44log (41)log (41)0x x x x =+--++=，即为()()f x f x -=， 则()f x 为偶函数； (2)解：4l ()(41)o 2g ()421421xxf x x xg x m m ++=+⋅-=+⋅-2(2)2x x m =+⋅，当[]20,log 3x ∈时，[]21,3x∈，令2x t =，则2y t mt =+，[]1,3t ∈， 当12m-≤时，即2m ≥-，2y t mt =+在[]1,3上单调递增， 所以1t =时，min 10y m =+=，解得1m =-，当132m <-<时即62m -<<-，2m t =-时，2min 04m y =-=， 解得：0m =不成立； 当32m-≥时，即6m -，2y t mt =+在[]1,3上单调递减，所以3t =时，min 390y m =+=， 解得3m =-不成立． 故存在满足条件的1m =-．考向4 二次函数与对数函数的复合问题1．（1）若函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________；（2）若函数()()22log 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】 [)0,4 [4,)+∞【分析】（1）由题可得210ax ax ++>恒成立，分类讨论结合二次函数的性质即得； （2）由题可得210ax ax ++>的解包含所有的正数，分类讨论结合二次函数的性质即得. 【详解】（1）当0a =时，0f x符合题意；当0a ≠时，欲使210ax ax ++>在R 上恒成立，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩, 解得04a <<，综上，实数a 的取值范围是[)0,4； （2）当0a =时，0f x，不符合题意；当0a ≠时，欲使21ax ax ++取遍所有正数，只须使2040a a a >⎧⎨∆=-≥⎩， 解得4a ≥，综上，实数a 的取值范围是[4,)+∞. 故答案为：[)0,4；[4,)+∞.2．函数213log (68)y x x =-+的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【答案】D【分析】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数， 其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”. 【详解】先考虑定义域：2680x x -+>，解得4x >或2x <， 268u x x =-+是开口向上的抛物线，对称轴为x =3，在(),3-∞上单调递增，在()3,+∞上单调递减，函数()()213log 68f x x x =-+是由 13log y u=和268u x x =-+复合而成的，13log y u=是减函数，根据复合函数同增异减的原理，当(),2x ∈-∞ 时()f x 是增函数， 故选：D.3．（多选）若函数()()2ln 1=-+f x x ax 在区间[)2,+∞上单调递增，则下列实数可以作为a 值的是（ ）A ．4B ．52C ．2D ．0【答案】CD【分析】设()21g x x ax =-+，由复合函数单调性可确定()g x 单调性和()0g x >在[)2,+∞上恒成立，结合二次函数性质可构造不等式组求得a 的范围，结合选项可得结果.【详解】设()21g x x ax =-+，要使()()2ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，则需()g x 在[)2,+∞上单调递增，且()0g x >在[)2,+∞上恒成立， ()222520ag a ⎧≤⎪∴⎨⎪=->⎩，解得：52a <，则选项中可以作为a 的值的是2和0.故选：CD.4．若函数212()log f x ax x =-在(2,3)单调递增，则实数a 的取值范围为________．【答案】[]3,4【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0. 【详解】令2t ax x =-，则12log y t=，因为12log y t=为减函数，所以()f x 在2,3（）上单调递增等价于2t ax x =-在2,3（）上单调递减，且20ax x ->，即22390aa ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得34a ≤≤.故答案为：[]3,45．已知函数()()2log 24a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围______.【答案】[)21,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【分析】分01a <<、1a >两种情况讨论即可.【详解】函数()()2log 24a f x ax x =-+是由log a y t =和224t ax x =-+复合而成，当1a >时log a y t =单调递增，若函数()()2log 24a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则224t ax x =-+在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且2240t ax x =-+>在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，224t ax x =-+的对称轴为1x a=所以11121404a a a⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-+≥⎪⎩解得：2a ≥， 当01a <<时log a y t =单调递减，若函数()()2log 24a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则224t ax x =-+在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2240t ax x =-+>在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，224t ax x =-+的对称轴为1x a=所以01139640a a a <<⎧⎪⎪≥⎨⎪-+≥⎪⎩解得：2193a ≤≤， 综上所述：a 的取值范围是[)21,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦，故答案为：[)21,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦6．若函数()212log 2f x ax x =++的最大值为0，则实数a 的值为___________.【答案】14【分析】因为()f x 的最大值为0，所以()22h x ax x =++应有最小值1，利用二次函数的性质列式即可求解.【详解】因为()f x 的最大值为0，所以()22h x ax x =++应有最小值1，因此应有0811,4a a a>⎧⎪-⎨=⎪⎩解得14a =.故答案为：14. 7．函数()()()22log 2log 4f x x x =⋅的最小值为（ ） A ．1 B ．13C ．12-D ．14-【答案】D【分析】根据对数的运算法则，化简可得2231()log 24f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，分析即可得答案.【详解】由题意得()()()()222222231log 1log 2log 3log 2log 24f x x x x x x ⎛⎫=++=++=+- ⎪⎝⎭，当23log 2x =-时，()f x 的最小值为14-.故选：D8．已知函数33()log log 327x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为（ ）．A ．34B ．32C ．2D ．23【答案】D【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得1281x x ⋅=，利用均值不等式求最值即可. 【详解】()2333333log log (log 1)(log 3)log 4log 3327x x f x x x x x =⋅=--=-+, 由()()12f x f x =， 3132log log 4x x ∴+=，即1281x x ⋅=，1212199122233x x x x ∴+≥=⨯=，当且仅当1219x x =，即123,27x x ==时等号成立，故选：D.9．已知函数()22()log 2log 8a xf x x =(常数R a ∈)． (1)当1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为−1，求a 的值；(2)当1a =时，设1m ，若对任意[)2,x ∞∈+，不等式()()()22441x x x xf m f ---<+-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)－1； (2)241(1,)60.【分析】(1)依题意，令2log t x =，原函数转化为2()(3)3g t t a t a =+--，其对称轴方程为3322a at --=-=，根据[2t ∈-，3]，与对称轴的位置关系分类讨论，可求得a 的值；(2)当1a =时，22()(1log )(log 3)f x x x =+-，令2log t x =，由21x t ⇒，运用换元法，参数分离m ，得44122x x x xm --+-<-，再利用二次函数和对勾函数的单调性，可求得实数m 的范围． (1)()()()()()222222log 2log log log 8log log 3a f x x x x a x --＝＋＝＋，可令2log t x =，当1[4x ∈，8]时，[2t ∈-，3]，则2()()(3)(3)3y g t t a t t a t a ==+-=+--，其对称轴方程为32at -=， ①当322a --，即7a 时，()g t 在[2-，3]上递增，min ()(2)42(3)35101g t g a a a =-=---=-+=-，解得115a =，不符合题意； ②当332a-，即3a -时，()g t 在[2-，3]上递减，min ()g t g =(3)(3)(33)01a =+-=≠-，不符合题意；③当3232a --<<，即37a -<<时，min 333()()()(3)1222a a ag t g a ---==+-=-，解得1a =-． 综上，a ＝－1； (2)当1a =时，22()(log 1)(log 3)f x x x =+-， 令2log t x =，∵2x ，则1t ， ∵223y t t =--的对称轴为1t =，∴223y t t =--在[1，)∞+递增，即()f x 在[2，)∞+递增， ∵22x x y -=-和441x x y -=+-在2x 时均为增函数， ∴152224x x-->，4412x x -+->， ∵1m ，∴(22)2x x m -->，∵((22))(441)xxxxf m f ---<+-，∴(22)441xxxxm ---<+-，即44122x x x xm --+-<-，∵2441(22)1x x x x --+-=-+，∴12222x xx xm --<-+-，∵15224x x--，1y x x=+在x ＞1时为增函数， ∴根据复合函数的单调性知12222x x x xy --=-+-在x ≥2时为增函数，∴1154241222241560x x xx---++=-，故24160m <， ∵1m ，∴m 的取值范围是241(1,)60． 10．已知函数2()log 1f x x =-的定义域为[1，16]，函数()22()[()]2g x f x af x =++，a ∈R .(1)求函数g （x ）的定义域；(2)求函数g （x ）的最小值M （a ）的表达式. 【答案】(1)[1，4](2)()23,?12,1133,? 1a a M a a a a a a -≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）列不等式组，即可求出定义域；（2）求出()g x 的解析式，利用换元法令2log t x =，得到2()(22)3F t t a t a =+--+，[0,2]t ∈.对a 分类讨论，分别利用单调性求出最小值，即可得到M （a ）的表达式. （1）因为2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以14x ≤≤， 所以函数g （x ）的定义域为[1，4]. （2）2()log 1f x x =-，[1,16]x ∈，则()()22222()[()]2log (22)log 3g x f x af x x a x a =++=+--+，[1,4]x ∈.令2log t x =，222()(22)3[(1)]2F t t a t a t a a a =+--+=---++，[0,2]t ∈. 当1a ≥时，F （t ）在[0，2]上是增函数，所以当t =0时，min ()3F t a =-；当-1<a <1时，F （t ）在[0，1-a ]上单调递减，在[1-a ，2]上单调递增，所以当t =1-a 时，2min ()2F t a a =-++；当1a ≤-时，F （t ）在[0，2]上是减函数，所以当t =2时，min ()33F t a =+.综上，()()2min3,?12,1133,? 1a a M a g x a a a a a -≥⎧⎪==-++-<<⎨⎪+≤-⎩11．已知函数()232log f x x =-，()2log g x x =．(1)求函数()()22y f x fx g x =⋅+在[]1,4上的零点；(2)若函数()()()1h x f x g x k =+⋅-⎡⎤⎣⎦在[]1,4上有零点，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)2x = (2)[]0,2．【分析】(1)通过换元法将复合函数转化为以t 为自变量的二次函数，整理之后求出令函数为0的t 值，求出对应x 值即为其零点；(2)求出()0h x =时k 的表达式，通过换元法用t 表示k ，根据t 的取值范围判断k 的取值范围即可. （1）由()()()220f x fx g x ⋅+=，得()()22234log3log 2log 0x x x --+=．令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]0,2t ∈，则原式可转化为()()34320t t t --+=，化简为241390t t -+=， 解得1t =或94t =（舍去），所以2log 1x =，所以2x =， 即函数()()()22y f x fx g x =⋅+在[]1,4上的零点为2x =．（2）()()()222242log log 2log 12h x x x k x k =-⋅-=--+-，令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]0,2t ∈， 令()0h x =，得()2212k t =--+，因为[]0,2t ∈，所以()[]22120,2t --+∈，即实数k 的取值范围为[]0,2．12．已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．【答案】(1)27log ,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）换元法，结合复合函数单调性求解函数值域；（2）换元后，结合二次函数对称轴得到()f x 单调递增，从而得到方程组()()22log 21log 21a bh a h b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，从而得到2,2a b可看作方程()21102k t k t k ⋅-+++=的两个根，利用二次函数根的分布得到不等式组，求出实数k 的取值范围. (1)当2k =时，25()log 2422x xf x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，[0,)x ∈+∞令[)21,xt ∞=∈+，则22225119()log 2log 2248g t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，根据复合函数单调性可知，22119()log 248g t t ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦在[)1,t ∈+∞上单调递增，故()27()1log 2g t g ≥=，所以函数()f x 在[0,)+∞的值域为27log ,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)因为函数()f x 的定义域为[],a b ，令2x t =，则22,2x a bt ⎡⎤=∈⎣⎦，则()()2112h t kt k t k =--++因为01k <<，所以对称轴102k t k-=<， 故()()2112h t kt k t k =--++在2,2a b ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()f x 单调递增， 因为()f x 的值域为[1,1]a b ++，所以()()22log 21log 21a b h a h b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即()()2121121222121222a a a b b b k k k k k k ++⎧⋅--++=⎪⎪⎨⎪⋅--++=⎪⎩，故2,2a b 可看作方程()21102k t k t k ⋅-+++=的两个根， 由于,a b 为正数，所以21,21a b >>，则要满足()Δ010h >⎧⎨>⎩，解得：1323k <<，故实数k 的取值范围是13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。
(完整版)二次函数解答题(含答案)
一、简答题1、已知抛物线y = ax2－x + c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B 两点，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．2、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．⑴求该抛物线的解析式；⑵若点C(m，)在抛物线上，求m的值．3、如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．(3) 若抛物线的顶点为D，在轴上是否存在一点P，使得⊿PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？5、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．（1）求三点的坐标；（2）证明为直角三角形；（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．6、已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）。
①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积.7、如图，抛物线=与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.(1) 求抛物线的解析式. (2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.注：二次函数（≠0）的对称轴是直线= -8、已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）若把图象沿轴向下平移5个单位，求该二次函数的图象的顶点坐标.9、如图，二次函数的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足≥的的取值范围.10、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）。
（专题精选）初中数学二次函数难题汇编及答案解析
【解析】
【分析】
原抛物线顶点坐标为（ 0， 0），平移后抛物线顶点坐标为（ -1， 2），由此确定平移办法．
【详解】 y=x2+2x+3=（ x+1） 2+2，该抛物线的顶点坐标是（
-1， 2），抛物线 y=x2 的顶点坐标是（ 0，
0）， 则平移的方法可以是：将抛物线
y=x2 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度．
故选： A．
【点睛】
此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，
寻找平移方法．
4．方程
2
x
3x
1
0 的根可视为函数
y = x+ 3的图象与函数 y
标，则方程 x 3 2x 1 0 的实根 x0 所在的范围是（ ）
1 的图象交点的横坐
x
1 A． 0<x 0 <
4
1
1
B． <x 0 <
对称轴 x=﹣ ＝ 1，故 b＜ 0， bc＜ 0，即可判断一次函数 y＝ x+bc 的图象 .
【详解】 ① 由 x＝ 2 时， y＝ 4a+2b+c，由图象知： y＝ 4a+2b+c＜ 0，故正确； ② 方程 ax2+bx+c＝0 两根分别为 1， 3，都大于 0，故正确； ③ 当 x＜ 2 时，由图象知： y 随 x 的增大而减小，故错误；
3
2
故选 C．
【点睛】
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析
其中的 “关键点 ”，还要善于分析各图象的变化趋势．
5．将抛物线 y x2 4x 3平移，使它平移后图象的顶点为
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二次函数经典难题（含精解）一．选择题（共1小题）1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是_________．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为_________．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_________．5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为_________．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________．7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是_________．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=_________；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是_________．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=_________．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是_________．11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是_________．12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是_________．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为_________．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标_________；（2）阴影部分的面积S=_________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式_________，伴随直线的解析式_________；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是_________；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．21．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．22．已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．24．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．25．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A 在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．26．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状．29．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．（1）已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线b：y=x2﹣2x+2，c：y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：y=x2﹣2x+1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．30．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据题目意思，求出A和B的坐标，再求三角形的面积则可．解答：解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1．故选A．点评：本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力，难度较大．二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是y=﹣2（x﹣1）2+2．考点：二次函数图象与几何变换．专题：应用题．分析：根据题意易得抛物线C的顶点，进而可得到抛物线B的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式．解答：解：根据题意易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故答案为y=﹣2（x﹣1）2+2．点评：本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．解答：解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，∴抛物线y=﹣x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y=﹣（﹣x）2+（﹣x）+2，即y=x2+x﹣2．故答案为：y=x2+x﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．解答：解：根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．点评：考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为5﹣5．考点：二次函数综合题．分析：首先建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，进而得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用FG+MG=10，进而求出即可．解答：解：如图建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，设抛物线解析式为：y=ax2，∵正方形ABCD边长为10，∴B点坐标为：（5，﹣10），将B点代入y=ax2，则﹣10=25a，解得：a=﹣，设G点坐标为：（a，﹣a2），则GF=2a，∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a，整理的：a2+5a﹣25=0，解得：a1=，a2=（不合题意舍去），∴正方形EFGH的边长FG=2a=5﹣5．故答案为：5﹣5．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为．考点：列表法与树状图法；抛物线与x轴的交点．分析：由系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，可得系数a、b、c为：0，1，﹣1；然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，∴系数a、b、c为：0，1，﹣1；画树状图得：∵共有18种等可能的结果，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：（1，0，﹣1），（﹣1，0，1），∴该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是﹣＜a＜0或0＜a ＜．考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出△ACO和△CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x﹣4），整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可．解答：解：∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，易得△ACO∽△CBO，∴=，即=，解得OC=2，∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），∴对称轴为直线x==，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，则BQ=4﹣=2.5，tan∠ABC==，即=，解得PQ=，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），则y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣a，当点C在y轴正半轴时，0＜﹣a＜，解得﹣＜a＜0，当点C在y轴负半轴时，﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜，所以，a的取值范围是﹣＜a＜0或0＜a＜．故答案为：﹣＜a＜0或0＜a＜．点评：本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=9；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是a＜9．考点：抛物线与x轴的交点．分析：顶点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点，则判别式等于0，若抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，据此即可求解．解答：解：△=36﹣4a，则定点在x轴上，则36﹣4a=0，解得：a=9；抛物线与x轴有两个交点，则36﹣4a＞0，解得：a＜9．故答案是：9；a＜9．点评：本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=2．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题．分析：根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）所以=2解得：a1=2，a2=﹣1又因为要有意义则a≥0所以a=2．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a≥0．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是4．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线顶点的横坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，），所以﹣=2，解得：a1=4，a2=﹣4，又因为要有意义，则a≥0，所以a=4．故答案为4．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a≥0．11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是2．考点：二次函数的性质；二次函数的定义．专题：计算题．分析：先列出关于m的等式，再根据抛物线的顶点在x轴上方，求得m，所以只需令顶点纵坐标大于0即可．解答：解：∵是抛物线，∴m2﹣2=2，解得m=±2，∵抛物线的顶点在x轴上方．∴0﹣8（m+2）＜0，∴m＞﹣2，∴m=2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的定义和性质，将函数与一元二次方程结合起来，有一定的综合性．12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是﹣2．考点：二次函数的性质；正方形的性质．分析：抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（﹣，），代入抛物线即可解答．解答：解：∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，∴C点坐标为（﹣，），将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．故答案为：﹣2点评：本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为10．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：整体思想．分析：把点（2，5）代入抛物线求出2a+b的值，然后整体代入进行计算即可得解．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），∴4a+2b﹣1=5，∴2a+b=3，∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．故答案为：10．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．解答：解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即﹣y=2x2﹣4x+5，因此所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．点评：利用轴对称变换的特点可以解答．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．解答：解：∵y=（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6），∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6，∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2，解得t1=3，t2=﹣5，∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣7）2+6或y=﹣（x+9）2+6．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C2的顶点坐标是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标（1，2）；（2）阴影部分的面积S=2；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接应用二次函数的知识解决问题．解答：解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称．所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1，所以y3=（x+1）2﹣2．（10分）点评：考查二次函数的相关知识，考查学生基础知识的同时还考查了识图能力．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式y=﹣2x2+1，伴随直线的解析式y=﹣2x+1；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；新定义．分析：（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．根据M，P两点的坐标即可求出直线PM 的解析式；（2）由题意可知：伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标，伴随抛物线与伴随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式；（3）方法同（1）；（4）本题要考虑的a、b、c满足的条件有：抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此△＞0，①由于抛物线L中，x2＞x1＞0，因此抛物线的对称轴x＞0，两根的积大于0．②根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件．解答：解：（1）y=﹣2x2+1，y=﹣2x+1；（2）将y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3组成方程组得，，解得，或．则原抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．设原函数解析式为y=n（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得，﹣3=n （0﹣1）2﹣4，解得，n=1，则原函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），∵设它的解析式为y=m（x﹣0）2+c（m≠0），∵此抛物线过P（﹣，），∴=m•（﹣）2+c，解得m=﹣a，∴伴随抛物线解析式为y=﹣ax2+c；设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），P（﹣，）在此直线上，∴，∴k=，∴伴随直线解析式为y=x+c；（4）∵抛物线L与x轴有两交点，∴△1=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac；∵x2＞x1＞0，∴x2+x1=﹣＞0，x1•x2=＞0，∴ab＜0，ac＞0．对于伴随抛物线有y=﹣ax2+c，有△2=0﹣（﹣4ac）=4ac＞0，由﹣ax2+c=0，得x=±．∴C（﹣，0），D（，0），CD=2，又AB=x2﹣x1====，∵AB=CD，则有：2=，即b2=8ac，综合b2=8ac，b2﹣4ac＞0，ab＜0，ac＞0可得a、b、c需满足的条件为：b2=8ac且ab＜0（或b2=8ac且bc＜0）．点本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系．评：18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据抛物线与x轴的交点的距离公式得到=2，解得m=3b﹣3a2，则平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）先确定y=x2+2ax+b的顶点坐标为（﹣a，b﹣a2），由于通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点，则可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2），然后把（﹣a，b﹣a2）代入可求出t=．解答：解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据题意得=2，解得m=3b﹣3a2，所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）y=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2，其顶点坐标为（﹣a，b﹣a2），∵新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b﹣3a2与x轴两交点，∴可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2），把（﹣a，b﹣a2）代入得b﹣a2=t（a2﹣2a2+4b﹣3a2），解得t=，所以新抛物线的表达式过抛物线y=x2+ax+b﹣a2．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P 的坐标．考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）先连接AB，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，再根据∠AOB=60°，得出△ABO是等边三角形，再过A作AE⊥x轴于E，在Rt△OAE 中，求出OD、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；（2）先过A作AE⊥OB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c （a＜0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C′关于原点对称，从而得出抛物线C′的解析式；（3）先作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由（2）知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2），得出A′B的中点M的坐标，再作MH⊥x轴于H，得出△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，求出N点的坐标，再根据直线l过点M（1，﹣1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA'，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，得出P3，P4的坐标，即可求出答案．解答：解：（1）连接AB．∵A点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B，∴AO=AB，又∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，∴OD=2，AD=，∴顶点A的坐标为（2，）设抛物线C的解析式为（a≠0），将O（0，0）的坐标代入，求得：a=，∴抛物线C的解析式为．（2）过A作AE⊥OB于E，∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0），顶点为A，∴OE=OB=2，又∵直线OA的解析式为y=x，∴AE=OE=2，∴点A的坐标为（2，2），将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，∴a=，∴抛物线C的解析式为，又∵抛物线C、C′关于原点对称，∴抛物线C′的解析式为；（3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由前可知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2），故A′B的中点M的坐标为（1，﹣1）．作MH⊥x轴于H，∴△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，即12=（1﹣n）（4﹣1），∴，即N点的坐标为（，0）．∵直线l过点M（1，﹣1）、N（，0），∴直线l的解析式为y=﹣3x+2，，解得．∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P1（，），P2（，）；解得，．∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P3（﹣5+，17﹣3），P4（﹣5﹣，17+3）．∴点P的坐标是：P1（，），P2（，），P3（﹣5+，17﹣3），P4（﹣5﹣，17+3）．。