第四章 差异量

三组平均数均为8 A组最大值与最小值相差2 差异量越大，集中量的代表性越差； B组最大值与最小值相差8 C组最大值与最小值相差14 差异量越小，集中量的代表性越好。 哪一组的平均数代表性最好？
4
第一节 全距、四分位距、百分位距
集中量相同
差异量不同
集中量不同
差异量相同 集中量不同 差异量不同
5
第一节 全距、四分位距、百分位距
二、四分位距
1、概念 用依一定顺序排列的一组数据中间部位50%个频数距离的一 半作为差异量指标，即四分位距。
Q3 - Q1 QD 2
8
第一节 全距、四分位距、百分位距
二、四分位距
若将从小到大排列的一组数据分成频数相等的四段， 第一段与第二段的分界点称第一个四分位数， 第三段与第四段的分界点称第三个四分位数。 四分位数就是第三个四分位数（第25百分位数）与第一个四 分位数（第75百分位数）差的一半。
3 i Q3 LQ3 ( n n2 ) 4 fQ3 1 i Q1 LQ1 ( n n1 ) 4 fQ1
Q3 - Q1 QD 2
10
第一节 全距、四分位距、百分位距
二、四分位距
3、应用及优缺点 优点——简单易懂、计算简便、较少受两极端数值的影响， 比全距可靠。 缺点——但忽略了左右共50%数据的差异，又不适合代数运 算。 应用—— 适用于有特大或特小两极端数值， 有个别数值不确切、不清楚， 以及用等级表示的数据等情况。 当一组数据用中位数表示集中量时，就用四分位距表示差异 量，因为它们同属于百分体系。
2
fX n

2
X
fX
n
2
fX n

2
X——各组组中值；f——各组频数。
29
课堂练习 6、计算下列资料的方差及标准差 2 2 解： 2 fX fX
X
n 2 52.52 4 57.52 6 62.52 11 67.52 24 72.52 4 97.52 128 n
32
课堂练习
7、已知标准差9.6和频数36，求离差的平方和 2 解： ( X X ) 由， X 2

n
得离差平方和即
(X X )
2
n 36 9.6 3317 .76
2 X 2
33
第三节 方差和标准差
四、各种差异量的数值关系 当总频数相当大，且频数分布呈正态时， 全距、四分位距、平均差、标准差的数值存在如下关系： 全距大致等于6个标准差的距离，7.5个平均差的距离，9个 四分位距的距离。
11
第一节 全距、四分位距、百分位距
课堂练习
1、求下列原始数据的全距和四分位距。 23、36、20、25、33、31、27、29
解：由小到大排序：20、23、25、27、29、31、33、36
全距： R=36-20=16
Q3 - Q1 32 24 4 四分位距： QD 2 2
12
第一节 全距、四分位距、百分位距
2 2 2
X
X
X
n
2
X n
2
2
41 39 37 35 38 5 4
2
28
第三节 方差和标准差
二、计算方法
2、频数分布表计算法 若原始数据已归入频数分布表，且无原始数据，可以用组中 值近似计算。
X
2
fX n
虽然平均数相同，但离散程度不同。
平均数是76 平均数是76
甲组比较分散、参差不齐，变异性较大； 乙组比较集中、整齐、变异性较小。
3
第一节 全距、四分位距、百分位距
反映各变量值——远离其中心值的程度
下列三组数据分布是否相同？ A：7、7、8、8、8、9、9 B：4、5、7、8、9、11、12 C：1、4、7、8、9、12、15
25%
Q1
25%
25%
QM
25%
Q3
9
第一节 全距、四分位距、百分位距
二、四分位距 2、计算方法 （1）原始数据计算法 先将原始数据从小到大排列，然后根据求中位数的方法求出 第一个四分位数Q1和第三个四分位数Q3，带入公式求解。 （2）频数分布表计算法 先用内插法求出第一个四分位数Q1及第四个四分位数Q3，然 后带入公式即可。
31
第三节 方差和标准差
三、方差和标准差的应用及其优缺点 缺点—— 1不太容易理解； 2易受两极端数值的影响； 3有个别数值模糊不清时，无法计算。 应用—— 1与其他差异量相比，方差和标准差应用最为广泛。 2最直接用途是描述一组数据的离散程度，当一组数据的集 中量用算术平均数表示时，差异量要用标准差表示。 3在计算其他统计量时，如差异系数、相关系数、标准分数 等，也都要用到标准差。而方差在统计推断中常常用到。
一、全距 2、频数分布表——全距为最大一组与最小一组组中值之差， 或者是最大一组的上限与最小一组的下限之差。
优点——概念清楚、意义明确、计算简单。 缺点——易受两极端数值影响。不考虑中间数值的影响，反 应不灵敏。 应用——作为差异量的粗略指标，在编制频数分布表时决定 全距范围之用。
7
第一节 全距、四分位距、百分位距
三、百分位距 ——百分位距是指两个百分位数之差。 常用的有两种： 一为第90与第10百分位数之差，用P90-P10； 一为第93与第7百分位数之差，用P93-P7表示。 优点——用几个百分位距能较好反映一组数据的差异程度。
应用——在计算频数分布峰态量时，要用到百分位距。
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第一节 全距、四分位距、百分位距
三、方差和标准差的应用及其优缺点 优点—— 1反应灵敏，随任何一个数据的变化而变化； 2严密确定，一组数据的方差及标准差有确定的值； 3计算简单； 4适合代数计算，不仅求方差和标准差的过程可以进行代数 运算，而且可以将几个方差和标准差综合成一个总的方差和 标准差； 5用样本数据推断总体差异量时，方差和标准差是最好的估 计量。 在避免极端值影响方面，优于全距； 在考虑全部离差方面，优于四分位距； 在避免绝对值方面，优于平均差。
X Md
n ( 12 17 14 17 17 17 19 17 21 17 ) 5 2.8
19
第二节 平均差
二、平均差的计算方法
2、频数分布表计算法
频数分布表上各组组中值计算平均差的公式为
f X Md MD n
f—各组的频数；Md—中位数；X—各组的组中值；n—总频 数。
X
2
X n
2
X n

2
X
X
n
2
X n

2
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课堂练习 5、分别用定义公式及原始数据计算5名男童体重（千克）41、 39、37、35、38的方差及标准差。 解：（1）定义公式 41 39 37 35 38 X 38 5 2 ( X X ) X2
1 i 5 Q1 LQ1 ( n n1 ) 67.5 (28 23) 70.28 4 fQ1 9
Q3 - Q1 81.03 70.28 QD 5.38 2 2
15
第一节 全距、四分位距、百分位距
解： （3）P90与P10的百分位距
90 i 90 5 P90 L90 ( n n1 ) 82.5 ( 112 94) 84.93 100 f90 100 14
2
2 52.5 4 57.5 6 62.5 11 67.5 24 72.5 4 97.5 128 87.48
X
fX
n
2
fX n
87.48 9.35
2
30
第三节 方差和标准差
标准差大好还是小好，要看具体问题。 如：某班某科的考试成绩标准差； 选拔性考试中，某考题的标准差。
25
第三节 方差和标准差
二、计算方法 定义式中需要计算平均数，相对麻烦，且平均数常有小数出 现，离差也会含小数，平方后小数位更多，不方便、不够精 确。因此常用以下方法。 1、原始数据计算法 ——直接用原始数据计算
10 i 10 5 P n n2 ) 57.5 ( 112 5) 61.375 10 L 10 ( 100 f10 100 8
P .93 61.375 23.555 23.56 90 P 10 84
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第二节 平均差
一、概念 上述差异量不能说明全部数据的变动情况，而平均差可避免 这一缺点。
《教育统计学》
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@126.com
1
第四章
差异量
第一节 全距、四分位距、百分位距 第二节 平均差 第三节 方差和标准差
第四节 相对差异量
第五节 偏态量及峰态量
2
第一节 全距、四分位距、百分位距
甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84
f
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第二节 平均差
三、平均差的优缺点 优点—— 意义明确、计算容易； 每个数据都参加了运算，考虑到全部的离差，反应灵敏。 缺点—— 计算要用绝对值，不适合代数运算，应用受限制，因此在统 计分析中较少应用。
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第三节 方差和标准差
一、概念 方差——是指离差平方的算术平均数。 就是一组数据中每个数据与该组平均数之差，平方之，求其 和，再除以数据的个数。定义式如下：
一、全距 1、原始数据 ——是一组数据中最大值与最小值之差，又称极差。用R表示。
甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84
甲组的全距 乙组的全距 R=99-54=45 R=84-67=17
平均数是76 平均数是76
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第一节 全距、四分位距、百分位距
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第二节 平均差
课堂练习 4、求频数分布表数据（Md=64）的平均差 解： MD
X Md n ( 15 64 1 45 64 3 55 64 4 65 64 5 75 64 4 85 64 2 95 64 1) 20 13.2
n (41 38) 2 (39 38) 2 (37 38) 2 (35 38) 2 (38 38) 2 5 4
2 ( X X ) X 4 2 n
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课堂练习 解：（2）原始数据
X X n n 412 392 372 352 382 5
X
2
(X X ) n
2
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第三节 方差和标准差
一、概念
标准差——方差的平方根。
X
2 ( X X )
n
方差和标准差都是非常重要的差异量指标。 将离差平方后，都变成正数，但数据的单位也被平方了， 经开平方后的标准差的单位与原始数据相一致。
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第三节 方差和标准差
一、概念
——标准差的值越大，数据的离散程度越大， 即数据参差不齐，分布范围也就越广； ——标准差的值越小，数据的离散程度越小， 即数据越集中、整齐，分布范围越小。
平均差——是每一个数据与该组数据的中位数（或算术平均 数）离差的绝对值的算术平均数。通常用MD表示。
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第二节 平均差
二、平均差的计算方法 1、原始数值计算方法
X Md MD n
X—原始数据；Md—中位数；n—总频数。
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第二节 平均差
课堂练习 3、求下列原始数据12、14、17、19、21的平均差。 解： MD
R≈6σX≈7.5MD≈9QD
34
类 别 标 准 差 方 差 全 距
优
点
缺 方差和标准差 点 第三节
应
用
1.感应灵敏 2.严密确定 3.适合代数法处 理 4.受抽样变动影 响小 1.意义简明 2.计算简单
课堂练习 2、求下列112名学生测验分数的全距、四分位距及P90与P10 的百分位距。
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第一节 全距、四分位距、百分位距
解： （1）全距： R=97.5-52.5=45（上下限）或R=95-55=40（组中值） （2）四分位距：
3 i 5 Q3 LQ3 ( n n2 ) 77.5 (84 60) 81.03 4 fQ3 34