第四章 差异量数[24页]

五、合成总标准差
由于方差具有可加性，在已经知道了 部分数据的标准差和方差的情况下，可以 求出全部数据的方差和标准差。比如，先 了解各班小学生的心理健康状况，再了解 全校小学生总的心理健康状况。
由各部分的标准差计算总的标准差的公式如下：
σt=∑Ni（σ2i＋d2i）Nt di=i-t
六、方差与标准差的性质和意义
二、百分等级
反过来，利用百分位数的计算公式也 可以计算出任意分数在整个分数分布中所 处的百分位置，称为该分数的百分等级 （percentile rank,即PR）。 PR=100N×Fb+f(X-Lb)i
第五节 四分位差
四分位差是指在一个次数分布中，中 间50％次数的全距的一半，即25％位数与75 ％位数之间全距的一半，即为这组数据的 四分位差。
Q=Q3-Q12
第六节 标准分数
标准分数是以标准差为单位表示一个原始 分数在团体中所处位置的相对位置量数。 它说明了原始数据距离平均数有多少个标 准差，符号为z。
z=X-s=xs 其中，X代表原始数据；为一组数据的平均
数；s为标准差。
本章要点
1.差异量是表示数据之间差异程度的量。 2.差异量主要有全距、百分位距、四分位差、
2.请证明：对于任意的样本x1， x2， x3，…，xn， 当且仅当a=x1+x2+x3+…+xnn时的∑（xi-a）2 取值 最小。
3.下述度量是某一长度测量的样本：n=10 000,=20.0cm，σ2=0.25cm2，利用切比雪夫定理， 求该样本落入区间19.0cm~21.0cm内的观测值至少有 多少个。
10.求表4—7数据的四分位差。
练习与思考
11. 90名学生的语文成绩如表4—8，请分别求其平 均数、中位数、标准差和四分位差。
12.我们想知道12名学员经过一个阶段的学习后成 绩的情况。假设12名学员的考核成绩分别是：
98，93，62，65，66，90， 87，78，86，81，85，83 怎样比较每位考生的成绩？
样本的标准差为： S=∑（X-）2n-1=∑x2n-1
四、分组数据的标准差和方差
在需要手工计算大量数据的时候，通 常的策略是先对数据进行分组。上一章中 已经提及分组数据的平均数、中位数的计 算方法，那么分组数据的标准差和方差又 是如何计算的呢？公式如下：σ=∑f（Xc-） 2N或σ=∑fX2cN-（∑fXcN）2
1.方差的性质 2.标准差的性质 3.方差和标准差的意义
第三节 差异系数
差异系数又称相对标准差，即标准差与 平均数之比，用符号表示为CV，公式为： CV=σ×100%
标准差反映了使用同一种测量工具对同一 个特质进行测量时数据的离散程度，但是 如果两个及以上的样本因为使用的观察工 具不同、特质不同，或虽然单位相同但平 均数相差较大时，就需要使用差异系数来 表示各组数据的离散程度。
第四章Biblioteka Baidu差异量数
第一节 全距 第二节 平均离差、方差和标准差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数：百分位差和百分等级 第五节 四分位差 第六节 标准分数
学习目标
1.掌握各种差异量数的概念、性质。 2.掌握各种差异量数的计算方法和运用。
第一节 全距
全距又称两极差，用符号R表示。把一组数 据按从小到大的顺序排列，用最大值减去 最小值所得的数值，就是全距。
平均差和标准差、差异系数等。 3.全距、百分位距和四分位差都是利用数据中
的某些百分位数计算得到。 4.平均差和标准差需要每个数据参与运算，结
果可信，比较常用。 5.差异系数用于比较不同变量的差异程度，或
同一变量在不同群体之间的差异程序。
练习与思考
1.某年级四个班学生人数分别为50人，52人，48人， 51人。期末数学考试各班的平均成绩分别是90分， 85分，88分，92分，标准差分别为6分，5.5分，7 分，8.2分。求年级成绩的标准差。
6.假定数据服从正态分布，求总体中小于-2σ的 百分比以及大于+3σ的百分比。
练习与思考
7.有些统计书中将数据集的异常值定义为距离其 均值三个标准差的测量值，其根据是什么？
8.假设某数据集近似服从正态分布，那么其全距 与标准差之间的关系如何？
9.某班期末考试，语文平均成绩为82分，标准差 为6.5分；数学平均成绩为75分，标准差为5.9分； 外语平均成绩为66分，标准差为8分。问哪一科成 绩的离散程度大？
练习与思考
4.某工厂制造一种手电筒电池，该工厂声称其制 造的电池中，至少有96％的电池寿命为95~105小 时，该厂随机抽取1 000节电池进行测试，测得平 均寿命为100小时，若该厂的声明是正确的，那么 样本标准差的最大可能值是多少？
5.已知某组数据近似正态分布，平均数是50，标 准差是5。那么，有多少人的成绩在平均数上下 一个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 两个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 三个标准差之内？
R=Xmax-Xmin
第二节 平均离差、方差和标准差
一、平均离差
平均离差（average mean deviation）是所有原始 数据与平均数离差的平均值。一般用符号 AMD表示。
AMD=∑(X-)n=∑xn
二、方差
为了避免负数的出现，最好的办法是 取离均差的平方，然后相加起来，就得到 了离均差的平方和，即∑（X-）2 ，用这 个平方和再除以总个数，得到的值就是方 差。
总体的方差为： σ2=∑(X-μ)2N=∑x2N
样本方差为： S2=∑(X-X)n=∑x2n
三、标准差
由于使用了平方，所以导致方差的单 位和原始数据的单位不同。为了解决这个 问题，我们取方差的平方根，得到的值称 为标准差。这样，标准差的单位和原始数 据的单位就一样了。
总体的标准差为： σ=∑（X-μ）2N=∑x2N
第四节 相对地位量数：百分位差和 百分等级
一、百分位数 百分位数（percentile），又叫百分位点，
是指量尺上的一点，在此点以下的数据分 布中数据个数占总体个数的百分比。第P个 百分位数（P percentile）就是指在其值为P 的数据以下，包括分布中全部数据的百分 之P，其符号为Pp。 Pp=Lb+p100×N-Fbf×i