3蛮力法

0 2 2 2 0 1 0 2 0 3 1 1 0 3 3 1 0 4 0 3 0 4 4 4 0
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构造趣味矩阵：经常用二维数组来解决
根据趣味矩阵中的数据规律，设计算法把要输出的数据 存储到一个二维数组中，最后按行输出该数组中的元素。 基本常识： 1）当对二维表按行进行操作时，应该“外层循环控制行； 内层循环控制列”；反之若要对二维表按列进行操作时，应 该“外层循环控制列；内层循环控制行”。 2）二维表和二维数组的显示输出，只能按行从上到下连续 进行，每行各列则只能从左到右连续输出。所以，只能用“ 外层循环控制行；内层循环控制列”。
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【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
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算法如下： main( ) {int i,j,a[100][100],n; input(n); for(i=1;i<=n;i=i+1) for(j=1;j<=n;j=j+1) {if (i=j or i+j=n+1) a [i][j]=0; if (i+j<n+1 and i<j) a [i][j]=1; if (i+j<n+1 and i>j) a [i][j]=2; if (i+j>n+1 and i>j) a [i][j]=3; if (i+j>n+1 and i<j) a [i][j]=4;} for(i=1;i<=n;i=i+1) { print( “换行符”); for( j=1;j<=n;j=j+1) print(a[i][j]); } }
B D
C D
A
×
D D
B A D D
算法设计1：按乘法枚举 A=1,2时积不 1)枚举范围为： 会得到六位 A：3——9,B：0——9,C：0——9 数 六位数表示:A*10000+B*1000+C*100+A*10+B,尝试800次。 2)约束条件为： 每次尝试，先求六位数与A的积，再测试积的各位是否相 同，若相同则找到了问题的解。 测试积的各位是否相同比较简单的方法是，从低位开始， 每次都取数据的个位，然后整除10，使高位的数字不断变 成个位，并逐一比较。
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i1表示 字 符串str1 由低位 到高位 的位数
main( ) { long b,c,d; int i,i1,i2,j,k,n,n1,n2,a[256]; char s1[256],s2[256]; 循环变量j、k input(s1); input(s2); 分 for (i=0;i<255;i++) a[i]=0; 别是两个乘数 字 n1=strlen(s1); n2=strlen(s2); d=0; 符串的下标。 for (i1=0,k=n1-1;i1<n1;i1++,k--) { for (i2=0,j=n2-1;i2<n2;i2++,j--) i表示乘法 { i=i1+i2; b= a[i]+(s1[k]-48)*(s2[j]-48)+d; 正在运算的 a[i]= b mod 10; d=b/10;} 位，也是计 while (d>0) 算结果存储 { i=i+1; a[i]= a[i]+d mod 10; d=d/10;} 的位置。 n=i; } for (i=n;i>=0;i--) print(a[i]); }
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只考虑正整数的乘法，算法细节设计如下： 1)对于大整数比较方便的输入方法是，按字符型处理，存 储在字符数组s1、s2中，计算结果存储在整型数组a中。 2)通过字符的ASCII码，数字字符可以直接参与运算，k位 数字与j位数字相乘的表达式为：(s1[k]-48)*(s2[j]-48)（这 是C语言的处理方法）。 3)每一次数字相乘的结果位数是不固定的，而结果数组中 每个元素只存储一位数字，所以用变量b暂存结果，若超过 1位数则进位，用变量d存储。 每次计算的表达式为：b= a[i]+(s1[k]-48)*(s2[j]-48)+d
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main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
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3）用i代表行下标，以j代表列下标（除特别声明以后都 遵守此约定），则对n*n矩阵有以下常识： 主对角线元素：i=j； 副对角线元素：下标下界为1时i+j=n+1； 下标下界为0时i+j=n-1； 主上三角◥元素： i <=j； 主下三角◣元素： i >=j； 次上三角◤元素：下标下界为1时i+j<=n+1， 下标下界为0时i+j<=n-1； 次下三角◢元素：下标下界为1时i+j>=n+1， 下标下界为0时i+j>=n-1；
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算法设计1： 1）用n个空间的一维数组a[n],每个元素记录一个锁的状 态，1为被锁上，0为被打开。 2）用数学运算方便模拟开关锁的技巧，对i号锁的一次开 关锁可以转化为算术运算：a[i]=1-a[i]。 3）第一次转动的是1，2，3，„„n号牢房； 第二次转动的是2，4，6，„„号牢房； 第三次转动的是3，6，9，„„号牢房； „„ 第i次转动的是i，2i，3i，4i，„„号牢房，是起点 为i，公差为i的等差数列。 4）不做其它的优化，用蛮力法通过循环模拟狱吏的开关 锁过程，最后当第i号牢房对应的数组元素a[i]为0 时，该牢房的囚犯得到大赦。
蛮力法
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蛮力法
蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性，在解决问题 时采取的一种“懒惰” 策略。这种策略不经过（或者说经过 很少）思考，把问题所有情况或所有过程交给计算机去一 一尝试，从中找出问题的解。
蛮力策略应用：选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序 查找、朴素的字符串匹配等。比较常用还有枚举法、盲目 搜索算法等。
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2 其它范例
蛮力法的表现形式非常多，如例2.6等。本节将通过
蛮力策略，用算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状 态，来找出问题的解，并与经过数学建模后的算法进行效 率上的比较。
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【例3.3】编程打印有如下规律的n×n方阵。

例如下图：使左对角线和右对角线上的元素为0，它们 上方的元素为1，左方的元素为2，下方元素为3，右方 元素为4，下图是一个符合条件的5阶矩阵。
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算法设计2：将算式变形为除法：DDDDDD/A=ABCAB。 此时只需枚举A：3——9 D：1——9，共尝试7*9=63
次。每次尝试，测试商的万位、十位与除数是否相
同，千位与个位是否相同，都相同时为解。
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main（） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
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【例3.4】大整数乘法问题
在某些情况下，需要处理很大的整数，它无法在计算机硬
件能直接允许的范围内进行表示和处理。若用浮点数来存 储它，只能近似地参与计算，计算结果的有效数字会受到 限制。若要精确地表示大整数，并在计算结果中要求精确 地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大 整数的算术运算。请设计一个有效的算法，可以进行两个n 位大整数的乘法运算。 数据结构设计：首先用数组存储大整数数据，再将两个乘 数和积都按由低位到高位逐位存储到数组元素中。 算法设计：存储好两个高精度数据后，模拟竖式乘法，让 两个高精度数据按位交叉相乘，并逐步累加即可得到精确 的结果，用二重循环就可实现。
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算法1如下： 算法分析：此算 法需要枚举尝试 main( ) 20*34*100=68000 { int x,y,z; 次。算法的效率 for(x=1;x<=20;x=x+1) 显然太低。 for(y=1;y<=34;y=y+1) for(z=1;z<=100;z=z+1) if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3) {print("the cock number is",x)； print("the hen number is", y)； print("the chick number is ",z); } }