两个基本计数原理

一对一授课教案
学员姓名：年级：所授科目：
（一）两个计数原理内容
1、分类计数原理：
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m
种不同的方法.
n
2、分步计数原理：
完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n 种不同的方法.
（二）例题分析
例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。

现要配成一荤一素一汤的套餐。

问可以配制出多少种不同的品种？
分析：1、完成的这件事是什么？
2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）
3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）
4、运用哪个计数原理？
5、进行计算.
解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择
第二步配一个素菜有5种选择
第三步配一个汤有2种选择
共有N=3×5×2=30（种）
例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。

（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？
（1）分析：1、完成的这件事是什么？
2、如何完成这件事？
3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）
4、运用哪个计数原理？
5、进行计算。

解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择
第二类从下层取一本书有4种选择
共有N=5+4=9（种）
（2）分析：1、完成的这件事是什么？
2、如何完成这件事？
3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）
4、运用哪个计数原理？
5、进行计算.
解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择
第二步从下层取一本书有4种选择
共有N=5×4=20（种）
例3、有1、2、3、4、5五个数字.
（1）可以组成多少个不同的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？
（1）分析：1、完成的这件事是什么？
2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）
3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）
4、运用哪个计数原理？
5、进行计算.
略解：N=5×5×5=125（个）
（2）（3）（4）师生共同完成
（三）巩固练习
1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？
2、有一个班级共有46名学生，其中男生有21名.
（1）现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会，有多
少种不同的选派方法？
（2）若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代
会，有多少种不同的选派方法？
思考：有0、1、2、3、4、5六个数字.
（1）可以组成多少个不同的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？
（五）及时训练
1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。

从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
若变为图二,图三呢?
5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
先排末位共有13C 然后排首位共有1
4C
最后排其它位置共有
3
4A
由分步计数原理得
113434288C C A =
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有
522522480A A A =种不同的排法
图一
图二
图三
4
4
3
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的
6个元素中间包含首尾两个空位共有种4
6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54
56A A 种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行
排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4
7A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
510C
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6
7种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素
的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8
7
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此
位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
A
B C D E A
E H G F
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排
后4个位置上的特殊元素丙有1
4A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55
A 种,
则共有215
44
5A A A 种
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复
合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
24
54C A 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆
形排列共有1m
n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数． （1）分为两组，一组7人，一组5人；
（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人；
（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；
（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解． 这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之 间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力） 师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）．
生：（1），（2），（3）都是55712C C ；（4），（5）都是6
6
612C C ；（6），（7），（8） 都是3347512C C C ；（9），（10）都是44
48412C C C 师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握 了的．但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6）， （7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题． （找班里水平较高的一位学生回答）
生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．（3）的答案是2
255
312
P C C ；
（5）是2266612P C C ；（8）是3
33347512P C C C （10）是3
34
448412P C C C。