高数 常数项的级数 知识点与例题精讲
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高数 常数项级数的审敛法 知识点与例题精讲
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
【高等数学 武汉大学】D12_1常数项级数
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
内接正三角形面积, ak 表示边数
增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表 示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例1. 讨论等比级数
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
高等数学(微积分)课件--§7.1常数项级数的概念与性质
请利用几何级数计算： 1： ( ) 3 n 1 2 :
n 1
2
n
( 1) 2 3
n 1
n 1
3 : ( ) n2 4
n
8
例题（证明级数发散）
例 证明
证明级数 1 2 3 n 是发散的
n(n 1) 2
.
这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
3 3
( 1)
n
8 9
n n
;
(2)
1 3
1 6
1 9
1 3n
; q 8 9 ， 1 q
解
( 1 ) 因为级数是等比级数且
故原级数收敛
.
( 2 ) 因为级数
n1
1 n
是调和级数
, 它是发散的，
故由级数的性质知级数
1 3
1 6
1 9
1 3n
第七章
无穷级数
§7.1常数项级数的概念与性质 §7.2正项级数敛散性的判别 §7.3任意项级数敛散性的判别 §7.4*广义积分敛散性的判别 §7.5*幂级数 §7.6*函数的幂级数展开
1
§7.1常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、级数的基本性质 三、习题
2
一、常数项级数的概念
解
因为级数
n1
1 2
n
和
n1
1 3
n
都是收敛的等比级数
,
故由级数的性质知级数
1 1 1 1 1 1 2 2 n n 3 2 3 3 2 2
n 1
2
n
( 1) 2 3
n 1
n 1
3 : ( ) n2 4
n
8
例题（证明级数发散）
例 证明
证明级数 1 2 3 n 是发散的
n(n 1) 2
.
这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
3 3
( 1)
n
8 9
n n
;
(2)
1 3
1 6
1 9
1 3n
; q 8 9 ， 1 q
解
( 1 ) 因为级数是等比级数且
故原级数收敛
.
( 2 ) 因为级数
n1
1 n
是调和级数
, 它是发散的，
故由级数的性质知级数
1 3
1 6
1 9
1 3n
第七章
无穷级数
§7.1常数项级数的概念与性质 §7.2正项级数敛散性的判别 §7.3任意项级数敛散性的判别 §7.4*广义积分敛散性的判别 §7.5*幂级数 §7.6*函数的幂级数展开
1
§7.1常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、级数的基本性质 三、习题
2
一、常数项级数的概念
解
因为级数
n1
1 2
n
和
n1
1 3
n
都是收敛的等比级数
,
故由级数的性质知级数
1 1 1 1 1 1 2 2 n n 3 2 3 3 2 2
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
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该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
常数项级数考研辅导
n1
n1
则级数 (un vn )收敛,其和为s .
n1
结论 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
收敛级数与发散级数的和一定发散 .
性质 3 在级数 un 中改变它的有限项，不改
n1
变该级数的敛散性.
考研辅导
性质 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收 敛,并且和不变. 注(1) 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.
n=1
n=1
考研辅导
例4 讨论下列级数的敛散性。
ln n
(1)
n2
np
(2) (1 ln n )n
n1
n
解(2)un
nln(1 ln n )
ee ～
n
n
2n2
o(
n2
)
～ 1 (n ). n
考研辅导
比值（或根式）判别法：
设 un 是正项级数,如果
n1
n1
敛；反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
极限形式: 设 un
n=1
与 vn
n=1
n1
都是正项级数
,如果
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛, 则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散, 则 un 发散; P155例3
k≥1,绝对收敛；0≤k＜1,条件收敛；k＜0,发散。
考研辅导
例15（96竞赛） 设级数 an 条件收敛，极限 n1
lim an1 r 存在，求 r 值，并举一满足该条件的例子。 a n
n
答案：r =－1
D7_1.1常数项级数
5 1 故 n 5 1 6. 2 n1 n( n 1)
性质4 如果级数 un 收敛，则对这级数的项 任意
n 1
加括号后所成的级数仍 然收敛，且其和不变．
证 设 un 的部分和为sn , 按某一规律加括弧后,
n 1
其部分和为 n ,
所以级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
例7 解 令
则
e n 1 ( n 1 ) ! ( n 1 )n 1
e n! nn
n
un1 un
故
从而
1 ( n 1 , 2 , )
由必要条件原级数发散.
三、柯西审敛原理
定理（柯西审敛原理）
证
设 un 的部分和为Sn ,
n 1
5 1 例５ 求级数 n 的和． 2 n1 n( n 1)
解
5 1 5 1 n(n 1) 2n n(n 1) 2n , n 1 n 1 n 1
5 1 1 因为 5 , n 1 n1 n( n 1) n 1 n
( u1 u2 un ) (v1 v2 vn )
sn n ,
于是
lim n lim( sn n ) s .
n n
这表明级数 ( un vn ) 收敛，且其和为 s ．
n 1
结论: 两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会 改变级数的收敛性．
则 un sn sn1 ,
所以 lim un lim sn sn1 （ ） lim sn lim sn1 s s 0. n n
常数项级数-高等数学
第七章无穷级数(数学二不要求)§1 常数项级数【考试要求】1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法.1831845. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛之间的关系.一、基本概念1. 级数收敛与发散:若级数1nn u∞=∑的部分和序列{}n s 有极限，即lim n n s s →∞=，则称级数1n n u ∞=∑收敛，并称s 为该级数的和，记作1nn us ∞==∑;若{}n s 的极限不存在，则称级数1n n u ∞=∑发散.1852. 正项级数:若012(,,)n u n ≥=，则称1n n u ∞=∑为正项级数.3. 交错级数:若012(,,)n u n >=，则称111()n nn u ∞-=-∑为交错级数.4. 绝对收敛与条件收敛:对任意项级数1n n u ∞=∑，若1nn u∞=∑收敛，则称1n n u ∞=∑绝对收敛;若1nn u∞=∑发散，而1nn u ∞=∑收敛，则称1nn u ∞=∑条件收敛.186二、重要结论 1. 收敛级数的性质 (1) (级数收敛的必要条件)若1n n u ∞=∑收敛，则0lim nn u→∞=.注1 0lim n n u →∞=仅是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件，并不是充分条件.注2 利用此结果可以求数列的极限0lim n n u →∞=.187(2) 若11nn us ∞==∑，21n n v s ∞==∑，1k 与2k 为常数，则1211221()n n n k uk v k s k s ∞=+=+∑. (3) 任意去掉级数的有限项，不改变其敛散性.(4) 收敛级数任意添加括号后仍收敛(即发散级数去括号后仍发散). 2. 几何级数与p -级数的收敛性(1) 几何级数1nn q ∞=∑当1q <时收敛，其和为1qq -;当1q ≥时发188散.(2)p -级数11p n n∞=∑当1p >时收敛;当1p ≤时发散.3. 正项级数审敛法 (1) 比较法:设1n n u ∞=∑与1nn v∞=∑均为正项级数，0k >，若()n nu kv n N ≤>，则当1n n v ∞=∑收敛时， 1n n u ∞=∑也收敛;若()n n u kv n N ≥>，则当1n n v ∞=∑发散时， 1n n u ∞=∑也发散.189比较法的极限形式: 如果lim nn nu l v →∞=，那么当0l <<+∞时，1n n u ∞=∑与1n n v∞=∑的敛散性相同;当0l =时，若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛;当l =+∞时，若1n n v ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑也发散.注1 比较法中的1nn v∞=∑通常选取几何级数或p 级数.190注2 极限形式可从同阶或等价无穷小的角度考虑1n n v∞=∑的取法.(2) 比值法(达朗贝尔判别法): 对正项级数1nn u∞=∑，设1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时， 1n n u ∞=∑收敛;当1ρ>时， 1n n u ∞=∑发散;当1ρ=时， 1n n u ∞=∑的敛散性不确定.注 当n u中含有na，!n 时使用此方法较好，当n u 为n 的有理式时失。
高等数学高数课件 12.3一般常数项级数
,
而
n1
1 2n
发散,
故
| un
n1
|
n1
n n2 +
1
发散.
于是级数
(1)n1
n1
n n2 + 1
是条件收敛的.
例9 判别下列级数的敛散性 .
(1)n
(1) n2 n + (1)n
(2)
(1)n
n2 n + (1)n
解: (1) (1)n (1)n n 1
n + (1)n
n 1 n 1
绝对收敛与条件收敛
根据这个定理, 我们可以将许多一般常数项级数的
收敛性判别问题转化为正项级数的收敛性判别问题.
为此先给出以下定义.
定义1 设 un 为一般常数项级数, 则
n1
(1) 当 | un |收敛时, 称 un为绝对收敛;
n1
n1
(2) 当 | un |发散, 但 un 收敛时, 称 un
解
这是一个交错级数,
令
un
(1)n
(
nn+1 n + 1)!
,
考察级数 | un | 是否绝对收敛, 采用比值审敛法:
n1
lim | un+1 | n | un |
lim1 n
+
1 n
n
e
1,
所以原级数非绝对收敛.
由 lim |un+1 | 1, n |un |
可知当 n 充分大时,
有 |un+1||un |,
可知当 n 充分大时,
有 |un+1||un |,
故
lim
n
un
《高等数学(下)》—教学教案第八章常数项级数的概念与性质
第八章 常数项级数的概念与性质授课序号01)，将数列){}n u 中的各项用加号连接的形式n u ++常数项无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，其中是求和记号，称为下标变量，第对数列123,,,,n u u u u ，取它的前1nn i i u u =+=∑，n 项之和）.若级数的部分和数列{}n S()0n aq a ++≠()1++1n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n 的敛散性. 11n++ 的和.授课序号02n u ++，其中()n u 为任意实数，那么该级数叫做∑∞=1||nu也收敛，则称级数n 绝对收敛；2,)，则有)； 则交错级数收敛，且收敛和1s u ≤.nu收敛，则任意项级数);11(1)n n-+-+是收敛的.114n nn -⋅的敛散性.授课序号03()()1n n n u x u x ∞=++=∑()01nn u x ∞=∑就是常数项级数. 的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为()u x ∞∑的收敛域()0nn a x x +-+nn a x∞=∑，因此不失一般性，我们仅讨论这个形，则幂级数称为一个常数项级数a ∞∑n n a x ++，n n b x ++22,)R R -，其和函数分别为11(,),x R R ∈-0110(),(,).n n n n a b a b a b x x R R -+++++∈-（和函数的连续性）设幂级数0nn n a x∞=∑的收敛域为区间I ，则它的和函数授课序号04,cos ,sin ,nx nx该三角函数系中的任何不同的两个函数的乘积的在[]π,π-上的积分等于零.1,2,n =就叫做的傅里叶级数.1,2,，，即只含有正弦项的傅里叶级数；，余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数Dirichlet）充分条件），1,2,.的周期函数，它在。
高等数学课件D1211常数项级数
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
2019/9/16
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质2. 设有两个收敛级数
S un , vn
n 1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S.
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
n
从而 limSn
n
1aq
因此级数收敛
,
其和为
1
a
q
;
当q1时,由于 limqn,从而 limSn,
n
n
因此级数发散 .
2019/9/16
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 )n 1 a
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 ( 1 )n 1n ,其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1 n n1
当 n 时 ,un不趋于0, 因此这个级数发散.
2019/9/16
高等数学课件
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2 12 1 3 13 1 4 14 1
an
1 n1
1
n1
n
2
1
n2
an
2
n 1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
调和级数
2019/9/16
高等数学同济六版第一节常数项级数的概念和性质
1 , 4
=3 .
作业 P254
3 (2) (3) 4 (1)
(3) (5)
例2. 判别下列级数的敛散性: 拆项相消
(1) , (2) 1, (3) ln 2
放缩法
例3. 判断级数的敛散性:
发散 .
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 乘以常数 k 所得级数 收敛于 s , 即 s un , 则各项
n 1
也收敛 , 其和为 ks .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 傅里叶级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
给定数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依次相加， 定义： 简记为
n 1
un ,
即
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
sn 穷级数 收敛 , 称 s 为级数的和,
n
记作 s
u .
n 1
称差值 余项的绝对值称为误差.
为级数的余项. 显然
则称无穷级数发散 .
例1. 讨论下述等比级数 (又称几何级数)的敛散性:
例4. 判断级数的敛散性:
调和级数
发散 .
三、级数收敛的必要条件
性质5. 设收敛级数
则必有
推论: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
第五章无穷级数第一节常数项级数资料
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
无 穷
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
级
数 证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨
设对一切
都有
分别表示级数
- 23 -
部分和, 则有
第一节 常数项级数
(1) 若级数
收敛, 则有
第 十
因此对一切
有
一
章
由定理 1 可知,级数
也收敛 .
无
穷
级 数
(2) 若级数
次相加, 简记为 un , 即
n1
第
十
一
章 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
无 穷
级数的前
n
项和
级
数
称为级数的部分和.
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
-4-
则称无穷级数
第一节 常数项级数
则称无穷级数发散 .
第
十 一
当级数收敛时, 称差值
章
无
穷 级
为级数的余项.
(
1)n 2n
收敛，且
均收(2敛) ，n所1以(32nnn1(n232)n
(1)n 2n
)
无 穷 级
2
n1 ( 3n
(1)n 2n )
2 (1)n1 3 n1 3
1 ( 1)n1 2 n1 2
数
21
3
1
1 3
1 1
2
1
1 2
2 3
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
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Guido Ubaldus thought that this proved the Existence of God because “something has been created out of nothing !
例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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注意:
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
n
n ( uk vk )
k 1
S (n )
这说明级数
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
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说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
这个和逼近于圆的面积 A . 即
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数 .其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(1 1) (1 1) 0 , 但
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
练习题
一、 填空题:
1、
若an
1
3(2n 2 42n
1)
,则
5 n1
an
=____________；
2、
若an
n! nn
,则
5 n1
a
n
=______________________；
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
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例 5
求级数
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
n1
5 n(n 1)
n
例如, 调和级数 (harmonic series)
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n
Sn
1 n 1
1 n
2
1 n3
1 2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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四、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
an ________；
6、 等比级数 aqn , 当_____时收敛；当 ____时发
n0
散.
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、1 1 1 1 ；
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
S un ,
n1
vn
n1
则级数 ( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
证:
令 Sn
n
uk ,
n
n
vk ,
则
k 1
k 1
则称无穷级数
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
aa qn 1q
从而
lim
n
Sn
a 1q
因此级数收敛
2 4 6 (2n)
2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、q 1, q 1 . 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n]
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
369
3n
2、(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
2 3 22 32 23 33
2n 3n
3、1
1
1
2 10 4
1 20
1 2n
1 10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
发散.
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Problem: What is wrong with the following calculation?
0=0+0+0+… =(1-1)+(1-1)+(1-1)+… =1-1+1-1+1-1+… =1+(-1+1)+ (-1+1)+ (-1+1)+… =1+0+0+0+…=1
n
等比级数 公比q 1
100
2.3
17 103
1
1
1
1147 . 495
100
练习题： 判别级数 解:
的敛散性 . ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
ln(1
1 n
)
ln
2
故原级数收敛 , 其和为
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二、无穷级数的基本性质
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
注意: lim un 0 并非级数收敛的充分条件.
3、
若级数为
x 2
x 24
x 2
4
x 6
则an
_______；
4、
若级数为 a 2 3
a3 5
a4 7
a5 9
则an
________；
5、 若 级 数 为 1 1 3 1 5 1
2
4
6
则当
n _____ 时 an _____ ； 当 n ______ 时
n1
的部分和为
n
n ukl Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同. 注：其收敛的和一般会改变。
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
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例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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注意:
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
n
n ( uk vk )
k 1
S (n )
这说明级数
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
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说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
这个和逼近于圆的面积 A . 即
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数 .其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(1 1) (1 1) 0 , 但
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
练习题
一、 填空题:
1、
若an
1
3(2n 2 42n
1)
,则
5 n1
an
=____________；
2、
若an
n! nn
,则
5 n1
a
n
=______________________；
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
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例 5
求级数
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
n1
5 n(n 1)
n
例如, 调和级数 (harmonic series)
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n
Sn
1 n 1
1 n
2
1 n3
1 2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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四、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
an ________；
6、 等比级数 aqn , 当_____时收敛；当 ____时发
n0
散.
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、1 1 1 1 ；
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
S un ,
n1
vn
n1
则级数 ( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
证:
令 Sn
n
uk ,
n
n
vk ,
则
k 1
k 1
则称无穷级数
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
aa qn 1q
从而
lim
n
Sn
a 1q
因此级数收敛
2 4 6 (2n)
2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、q 1, q 1 . 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n]
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
369
3n
2、(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
2 3 22 32 23 33
2n 3n
3、1
1
1
2 10 4
1 20
1 2n
1 10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
发散.
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Problem: What is wrong with the following calculation?
0=0+0+0+… =(1-1)+(1-1)+(1-1)+… =1-1+1-1+1-1+… =1+(-1+1)+ (-1+1)+ (-1+1)+… =1+0+0+0+…=1
n
等比级数 公比q 1
100
2.3
17 103
1
1
1
1147 . 495
100
练习题： 判别级数 解:
的敛散性 . ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
ln(1
1 n
)
ln
2
故原级数收敛 , 其和为
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二、无穷级数的基本性质
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
注意: lim un 0 并非级数收敛的充分条件.
3、
若级数为
x 2
x 24
x 2
4
x 6
则an
_______；
4、
若级数为 a 2 3
a3 5
a4 7
a5 9
则an
________；
5、 若 级 数 为 1 1 3 1 5 1
2
4
6
则当
n _____ 时 an _____ ； 当 n ______ 时
n1
的部分和为
n
n ukl Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同. 注：其收敛的和一般会改变。
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
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