高等数学教程 第四章无穷级数4-0 常数项级数的概念、性质、收敛性

4、若级数为a 2 a 3 a 4 a 5 则an ________； 3579
5、若级数为1 1 3 1 5 1 则当n _____ 246
时an _____；当n ______时an ________；
6、等比级数 aqn ,当_____时收敛；当____时发散 .
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散:
当n无限增大时,如果级数 un 的部分和
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
lim qn
n
lim
n
sn
发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
【定理1.1】（级数的Cauchy收敛准则）
级数 un 收敛的充要条件是：对于任 n 1
意给定的 0，总有自然数 N 存在， 当 n N 时，不论 P 是任何自然数，
都有
nP
uk
k n1
注：定理1.1的否定说法：级数发散的
充要条件是：存在某个 0 0 ，对任
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
第 n 次分叉：
周长为
Pn
(
4 3
)n1
P1
n 1,2,
面积为
An
An1
3{4n2
[(
1 9
)n1
A1
]}
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
n1
数列 sn 有极限 s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限 s叫做级数 un 的和.并
n1
n1
写成s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
3、1 1 2 10
1
4
1
20
1 2n
1
10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
常数项级数
概念、性质与收敛原理 审敛准则
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 10
3 3 100 1000
3 10n
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
一、填空题:
练习题
1、若an
1
3 (2n 2 4 2n
1)
5
,则
n1
a
n
=____________；
2、若an
n! nn
5
,则 an
n1
=______________________；
3、若级数为
x 2
x 24
x 2
4
x 6
则a n
_______；
A1
3
1 9
A1
3
4
(
1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
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3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
何自然数 N， n。＞N及任意 的正整
数P。，使 nP0
uk 0
k n1
1
例 3 证明调和级数
发散。
n1 n
【证】取
0
1 2
N,
n0 N 1 N
，
取 p0 n0 则有
n0 p0
1 K
k n0 1
1 n0 1
1 n0 2
L
1 n0 p0
p0
1
n0 p0
2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
n0
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、1 1 1 1 ；
369
3n
2、(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
2 3 22 32 23 33
2n 3n
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
例 4 判断下列级数的敛散性
1
1 2
1 4
1 8
L
L (1)n1 2n1
【解】
s 1 L L 1 1 1
n
248
( 1)n1 2n1
1
(
1)n 2n
1
1 2
lim
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
2 4 6 (2n)
2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、q 1, q 1 . 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
,m sn ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
思考题
设 bn 与 cn 都收敛，且bn an cn
n1
n1
(n 1,2, )，能否推出 an 收敛？
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
i 1
即 sn s
误差为rn
(lim n
rn
0)
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
(
1 2m
1
1 2m
2
2
1
m1
)
每项均大于1
五、发散.[取 p 2n]
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s un , vn ,
n1
n1
则级数 (un vn )收敛,其和为s .
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
推论 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
n
sn
1
1
1 2
2 3
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
讨论
s2n
sn
1 n1
1 n
2
1 2n
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为s.