高等数学教程 第四章无穷级数4-0 常数项级数的概念、性质、收敛性
常数项级数的概念和性质(课堂PPT)
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
第九章
无穷级数
数项级数 无穷级数
幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
1
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
7
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 n1 n 2 n3
第4章 无穷级数内容小结
(x
x0
)n
为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1
为级数 un 的部分和. n1
若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，
此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1
收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.
④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它指的是无数项的和数。
无穷级数的数学公式一般写成∑n=1∞an，其中an表示每一项的系数。
无穷级数在物理、经济等领域应用广泛，是数学研究的重点。
一、收敛与发散在分步分析无穷级数性质前，我们必须先了解收敛与发散的概念。
在无穷级数中，若该级数的部分和Sn满足：Sn趋于某一固定的唯一数L，即limSn=L，则称该无穷级数收敛于L（或收敛于∞，收敛于-∞）。
反之，如果Sn的值不趋于任何一个常数，则称该无穷级数发散。
例如：1+1/2+1/4+···+1/2n+···，其中每一项的系数an=1/2n，这个级数收敛于2。
而1+2+4+···+2n+···，这个级数则是发散的。
二、正项级数正项级数指的是每一项的系数an均为非负数。
对于正项级数，一般用单个符号∑an表示，而不是∑n=1∞an。
正项级数的充分必要条件是部分和单调不降及有界或有上界。
即如果存在一个B使得Sn≤B，那么称该级数有上界，如果B不存在，则称该级数发散。
三、级数收敛判定法在判定一个级数的收敛或发散时，需要掌握一些常用的级数收敛判定法。
（一）比值判别法比值判别法即通过求出级数的相邻两项之比的极限值来判断级数的收敛性。
如果该极限值小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。
例如：an=(n+1)/(2n+1) 则有limn→∞an+1/an=1/2 < 1，所以此级数收敛。
（二）根值判别法根值判别法实际上是比值判别法的特例，即通过求出级数的每一项的n次方根的极限值来判断级数的收敛性。
如果该极限小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。
例如：an=1/n^2，则有limn→∞an^1/n=1，所以此级数收敛。
常数项级数的概念和性质
1、 0.3 0.03 0.003
3 1
n1 10n 3
2、 1 2 3 敛与发散:
• 举例
(1)n 1 1 (1)2
n0 2
22
2,收敛；
1 1 1 1
n1 n
23
, 发散；
1、常数项级数概念、性质及其审敛法； 2、幂级数的概念及其收敛性； 3、函数展开成幂级数及其幂级数展开式的应用； 4、傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）的概念及函
数展开成傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）；
基本要求：
1、理解常数项级数收敛、发散及和等概念；熟悉级 数收敛的必要条件，了解常数项级数的性质，熟悉 几何级数和P-级数的收敛性；
n1
有极限 s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数 un 收敛,这
n1
时极限s叫做级数 un 的和.并写成
n1
s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
• 对于级数我们关心的是级数是否收敛, • 即:和是否存在?
思考题
n0
2
2n 1+2 4 8 ;
n0
1 1 1 1
n0 n
23
。
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
1 n2
1
1 22
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数基本概念以及性质
1 4 p
1 4p
1 4p
1 4p
1 4 p1
1 2 2 p1
1 8 p
1
9p
1 15 p
1 8p
1 8p
1 8p
1 8 p1
1 2 p1
3
……………………………………
x2 2n 2
x2 ，
n
1
n 1
2
n2
n2
即 x2 0 (x 0)
2
而
1
n1 n 2
是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法
设 un
n 1
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
常数项级数的概念
例 判定下列无穷级数的收敛性：
1 1 1
12 23
n(n 1)
解
un
1 n(n 1)
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n 1)
1 1 , n n1
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
A a1 圆的内接正十二边形的面积为 a1 +a2 ， A a1 a2
圆的内接正二十四边形的面积为 a1 +a2 +a3 . A a1 a2 a3 内接正 3 2n 边形的面积为 a1 a2 an .
A a1 a2
an
A
lim
n
a1
a2
1
所以级数收敛,且和为 1.
1 1 n 1
1n ,
例 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为
sn
1
2
3
n
n(n 1) 2
,
显然
lim
n
sn
,
因此所给级数发散.
例 无穷级数 aqi a aq aq2 aqi 叫做 i0
an
定义： 如果给定一个数列
u1 , u2 , u3 , , un , ,
那么由这数列构成的表达式
u1 +u2 +u3 + +un +
叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数,记作 ui ,
常数项级数的概念和性质
三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
目录 上页 下页 返回 结束
注意:
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
n
a 1q
从而
lim
n
Sn
,
目录 上页 下页 返回 结束
2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
第四章 无穷级数
数项级数 无穷级数 函数项级数 幂级数
傅氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
目录 上页 下页 返回 结束
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
常数项级数的概念和性质
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为 rn
(lim n
rn
0)
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数 1 ,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
习惯塑造人生
从自己旳经历谈什么事先做起来 • 教育就是养成习惯——叶圣陶.
• 一种人不想做某事，能够找出千万条理由，下 决心做一件事情时，有一条理由就足够了。
1111
发散
四、级数收敛旳必要条件
设收敛级数
S
un ,
n1
则必有 lim
n
un
0.
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数旳一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 (1)n1 n , 其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n 1,
n 1
常数项级数的概念和性质
的说法．从数学的角度上看，这就是
111 248
1 2n
1．
1.1 常数项级数的概念
再如，计算半径为 R 的圆面积 A，具体做法如下：如图所示，作圆的内接正六 边形，算出这六边形的面积 a1 ，它是圆面积 A 的一个粗糙的近似值．为了比较准确 地计算出 A 的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为 a2 ，那么 a1 a2 （即内接正十二边形 的面积）就是 A 的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作 一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为 a3 ，那么 a1 a2 a3 （即内接正二十四边形的面积）是 A 的一个更好的近似值．如此继续下 去，内接正 n 边形的面积就逐步逼近圆的面积，即
高等数学
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以 及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、 工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷 级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋 时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世 纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．
a
；如果| q |
1，则级数 aqn
n0
1 q
n0
发散．
1.1 常数项级数的概念
例 2 证明级数
1 2 3 n 是发散的．
证明 此级数的部分和为
Sn 1 2 3
n n(n 1) ． 2
显然，
lim
n
Sn
，因此所给级数是发散的．
常数项级数的概念及性质ppt课件
n
1 0，
n
n n2 n n 2
所以级数 ( n2 n n)发散.
n1
30
实际上 un 0. 的速度越快， un 收敛的可能性越大
n1
例8：判断级数
n ln
n1
n n1
的敛散性.
解答：由于 lim n ln n lim ln（ n ）n
n n 1 n n 1
1 lim ln
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1 ,
即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散
如 求级数 ( 5 1 )的和.
n1 n(n 1) 2n
5
1
,
n1 n(n 1)
2n 19
n1
例 6
求级数
n1
5 n(n
1 1. 1 x x2 xn
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 3 1
10 100 1000
10n
3
1
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
3
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
无穷级数的基本概念与性质
无穷级数的基本概念与性质无穷级数是数学中一种重要且有趣的概念。
它由无穷多个数项按照一定规律相加而构成。
在本文中，我们将详细探讨无穷级数的基本概念与性质。
无穷级数的定义相对简单直观。
给定一列实数 { a_n }_{ n =1 }^{ \infty } ，则无穷级数可以通过将其数项按顺序相加得到。
符号∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 表示这个无穷级数。
然而，要确定无穷级数是否收敛，我们需要引入部分和的概念。
部分和 S_n 是无穷级数的前 n 项和，即 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 。
如果当 n 增大时，部分和 S_n 的值逐渐趋近于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数 S 收敛，记作S = ∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 。
否则，无穷级数 S 发散。
无穷级数有许多有趣的性质。
首先，我们需要讨论和与部分和之间的关系。
当无穷级数收敛时，我们称之为收敛级数，而它对应的部分和序列 { S_n }_{ n = 1 }^{ \infty } 是收敛的。
换句话说，收敛级数的部分和序列趋近于一个有限的数。
一个重要的定理是柯西收敛准则。
柯西收敛准则表明，当且仅当对于任意的正整数 N ，存在正整数 M > N ，使得当 m > n > N 时， | S_m - S_n | < ε ，其中ε > 0 是任意小的正数。
这个定理给出了判断无穷级数收敛与否的充分条件，即无穷级数收敛当且仅当其部分和序列满足柯西收敛准则。
对于收敛级数，我们还可以进行求和的运算。
当无穷级数S = ∑_{ n = 1 }^{ \infty } a_n 收敛时，我们可以计算其和。
设 S_n 是无穷级数的前 n 项和，即部分和序列 { S_n }_{ n = 1 }^{ \infty } 收敛到 S ，则我们可以得到以下结论：当 n 趋近于无穷大时， S_n 也趋近于 S 。
常数项级数的概念和性质
变量的函数un = un(x), 则称级数 un (x) 为函数项 n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1
2n
n1
1 1 24
1 2n
；
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1 1 1 1 (1)n1 ;
n1
cos n cos1 cos 2 cos n .
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
lim
n
S
n
lim na
n
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
Sn不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
例4. 讨论级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
的敛散性.
解：
(2n
1 1)( 2n
1)
1 2
1 2n 1
n1
n1
数 (un vn )也收敛, n1
且
(un vn ) un vn S1 S2 .
无穷级数的概念和性质
无穷级数的概念和性质无穷级数是数学中一个非常重要且有趣的概念。
在本文中，我们将介绍无穷级数的定义、收敛性、发散性以及一些相关的性质。
一、无穷级数的定义无穷级数是由无限个数相加（或相减）得到的一种数列。
一般的无穷级数可以写成以下的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是数列的项。
二、收敛性和发散性无穷级数可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列有极限L，即当n趋向于无穷时，Sₙ（前n项的和）趋向于L，则称该无穷级数收敛，记作S = L。
2. 发散：如果无穷级数不收敛，则称该无穷级数发散。
三、收敛级数的性质1. 加法性：如果两个收敛级数S₁和S₂都收敛，并且它们的和数列分别为S₁₀和S₂₀，则它们的和级数S = S₁ + S₂也收敛，且其和数列为S₁₀ + S₂₀。
2. 数乘性：对于一个收敛级数S，如果乘以一个常数c，则所得到的级数cS也收敛，并且其和数列为cS₀，其中S₀是级数S的和数列。
3. 子序列收敛性：如果一个级数S收敛，则它的任意子序列也收敛，且收敛于相同的极限。
四、底达到性底达到性是指对于一个收敛级数S，无论收敛级数前面有多少项被去掉，剩下的级数仍然收敛，并且收敛于相同的极限。
五、绝对收敛和条件收敛1. 绝对收敛：如果级数的所有项的绝对值的和收敛，那么该级数称为绝对收敛。
2. 条件收敛：如果级数本身是收敛的，但是它的绝对值级数却是发散的，那么这个级数称为条件收敛。
六、收敛判定方法1. 正项级数判别法：如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，那么该级数收敛当且仅当它的部分和数列有界。
2. 比值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的比值aₙ₊₁/aₙ的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，比值判别法失效。
3. 根值判别法：对于一个级数S，计算相邻两项的n次方根∛ₙ(aₙ)的极限值L，如果L小于1，则级数绝对收敛；如果L大于1，则级数发散；如果L等于1，根值判别法失效。
无穷级数的概念及基本性质
无穷级数的概念及基本性质无穷级数是数学中一个重要的概念，它描述的是无穷多个数相加的情况。
无穷级数可以是无限递增的，也可以是无限递减的。
在这篇文章中，我将介绍无穷级数的概念及其基本性质。
首先，让我们来回顾一下有穷级数的概念。
有穷级数是指有限个数相加的和。
例如，1+2+3+4是一个有穷级数。
而无穷级数是指无限个数相加的和。
下面是一个无穷级数的例子：1+1/2+1/4+1/8+...在这个无穷级数中，每一项都是前一项的一半。
无穷级数的和是无限的，但是有时候我们可以找到一种方法来计算无穷级数的和。
接下来，让我们来讨论无穷级数的收敛性和发散性。
一个无穷级数是收敛的，如果它的和是有限的；否则，它是发散的。
我们用S表示一个无穷级数的和。
如果无穷级数的部分和逼近某个值L，那么这个无穷级数是收敛的，且S=L。
如果无穷级数的部分和趋向于无穷大，那么这个无穷级数是发散的。
我们也可以通过计算部分和来判断无穷级数的收敛性。
部分和是指无穷级数前n 项的和。
当n趋向于无穷大时，如果部分和有一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的。
否则，它是发散的。
当我们面对一个无穷级数时，我们通常会使用一些技巧来判断其收敛性。
其中一种方法是使用比较判别法。
比较判别法是指将一个无穷级数与另一个已知的无穷级数进行比较。
如果已知的无穷级数是收敛的，并且其和大于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是收敛的。
如果已知的无穷级数是发散的，并且其和小于或等于待判定的无穷级数的和，那么待判定的无穷级数也是发散的。
另一种常用的方法是使用比值判别法。
比值判别法是指计算无穷级数相邻两项的比值的绝对值的极限。
如果这个极限小于1，那么无穷级数是收敛的。
如果这个极限大于1或者不存在，那么无穷级数是发散的。
除了收敛性与发散性外，无穷级数还具有一些其他的性质。
其中一个性质是线性性质。
如果两个无穷级数都是收敛的，那么它们的和与差也是收敛的。
另外，如果一个无穷级数是发散的，那么它的和与差也是发散的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散:
当n无限增大时,如果级数 un 的部分和
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
n0
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、1 1 1 1 ；
369
3n
2、(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
2 3 22 32 23 33
2n 3n
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
一、填空题:
练习题
1、若an
1
3 (2n 2 4 2n
1)
5
,则
n1
a
n
=____________；
2、若an
n! nn
5
,则 an
n1
=______________________；
3、若级数为
x 2
x 24
x 2
4
x 6
则a n
_______；
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
n1
数列 sn 有极限 s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限 s叫做级数 un 的和.并
n1
n1
写成s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
思考题
设 bn 与 cn 都收敛，且bn an cn
n1
n1
(n 1,2, )，能否推出 an 收敛？
i 1
即 sn s
误差为rn
(lim n
rn
0)
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
(
1 2m
1
1 2m
2
2
1
m1
)
每项均大于1
3、1 1 2 10
1
4
1
20
1 2n
1
10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
4、若级数为a 2 a 3 a 4 a 5 则an ________； 3579
5、若级数为1 1 3 1 5 1 则当n _____ 246
时an _____；当n ______时an ________；
6、等比级数 aqn ,当_____时收敛；当____时发散 .
五、发散.[取 p 2n]
n
sn
1
1
1 2
2 3
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
讨论
s2n
sn
1 n1
1 n
2
1 2n
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
第 n 次分叉：
周长为
Pn
(
4 3
)n1
P1
n 1,2,
面积为
An
An1
3{4n2
[(
1 9
)n1
A1
]}
何自然数 N， n。＞N及任意 的正整
数P。，使 nP0
uk 0
k n1
1
例 3 证明调和级数
发散。
n1 n
【证】取
0
1 2
N,
n0 N 1 N
，
取 p0 n0 则有
n0 p0
1 K
k n0 1
1 n0 1
1 n0 2
L
1 n0 p0
p0
1
n0 p0
2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
例 4 判断下列级数的敛散性
1
1 2
1 4
1 8
L
L (1)n1 2n1
【解】
s 1 L L 1 1 1
n
248
( 1)n1 2n1
1
(
1)n 2n
1
1 2
lim
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
,m sn ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
lim qn
n
lim
n
sn
发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
常数项级数
概念、性质与收敛原理 审敛准则
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 10
3 3 100 1000
3 10n
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
【定理1.1】（级数的Cauchy收敛准则）
级数 un 收敛的充要条件是：对于任 n 1