三角形四心的向量性质及应用(教师用标准答案版)

三角形四心的向量性质及应用(教师用答案版)

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三角形“四心”的向量性质及其应用

三角形“四心”的概念介绍

(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；

(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

工具：O 为ABC △内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证明：延长AO 交BC 于D ，如图必有：

|

||

|OA OD S S S OAB OCA OBC =+∆∆∆，

||||BC BD S S S OAB OCA OAB =+∆∆∆，|

||

|BC CD S S S OAB OCA OCA =+∆∆∆； ---（*）

由D O A ,,共线，得：0|

|||=+OD OD

OA OA

进而得：

0|

||

|=+⋅OD OA OA OD ----------------① 由C D B ,,共线，得：OC BC BD OB BC CD OD ⋅+⋅=

|

||

||||| ----------② 由①②得：

OA OA OD ⋅||||0|

||

|||||=⋅+⋅+OC BC BD OB BC CD 代入（*）结论 得

+⋅+∆∆∆OA S S S OAB OCA OBC +⋅+∆∆∆OB S S S OAB OCA OCA 0=⋅+∆∆∆OC S S S OAB

OCA OAB

消去分母得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证毕.

另证：作AC OG AB OH //,//，如图：AGOH 为平行四边形；

由OC S OB S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆

)()(AC OA S AB OA S OA S OAB OCA OBC +⋅++⋅+⋅=∆∆∆ AC S AB S OA S OAB OCA ABC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆

)(AC S S

AB S S OA S ABC

OAB ABC OCA ABC ⋅+⋅+

=∆∆∆∆∆ )(AC AC

AH

AB AB AG OA S ABC ⋅+⋅+

=∆ )(AH AG OA S ABC ++=∆ 0)(=+=∆AO OA S ABC ．

A

B C

O

D

A

B C

O

D

H

F

E

G

反方向思考：设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 必有：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．

证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，

则O 为'''C B A ∆的重心，

则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S

又⎪⎩⎪

⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆S

S S S S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S S S S ∆∆∆==

::::::2

11332321λλλλλλλλλ． 验证式思考：

先证引理：若b a ,不共线，对p ，有0=⋅p a 且0=⋅p b ，必有.0=p

证明：若.0≠p 必有p a ⊥且p b ⊥，得b a //，与题设矛盾，故必有.0=p 再证：设α=∠BOC ，β=∠COA ，则βαπ--=∠2AOB ； 由)(OC S OB S OA S OA OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆

OC OA S OB OA S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆2

ββαπβαπβαcos )2sin(2

1

)2cos(sin 21sin 212⋅⋅⋅--⋅⋅+--⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=OC OA OB OA OB OA OA OC OA OC OB ]cos )sin()cos(sin [sin 21

2ββαβαβα+-++⋅⋅=OC OB OA )]}(sin[{sin 21

2βαβα+-+⋅⋅=OC OB OA 0)]sin([sin 2

1

2=-+⋅⋅=ααOC OB OA ； 有对称性知：0)(=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OB OAB OCA OBC ，又OA ，OB 不共线， 故：必有0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 成立． 一、三角形的重心的向量表示及应用

知识：G 是ABC △的重心⇔)(3

1

AC AB AG +=

⇔0=++GC GB GA ⇔)(3

1

OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)

略证：1:1:1::=∆∆∆GAB GCA GBC S S S ，得：0=++GC GB GA ．

变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用

知识：O 是ABC △的外心⇔2

2

2

||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔==

'

A '

B '

C O

A

B

C

A

B

C

O