向量加减运算及几何意义

两个向量的和仍 然是一个向量.
向量的加法的三角形法则：
a ab
b
A
C
b
a
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
B
首 尾 相 接 首 尾 连
已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向 伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同 方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
F1 M 图1 M EO C F2 F E O 图2 F1 F
F2
F=F1+F2
2.向量加法的平行四边形法则：
练一练
A1A2+A2A3=_______
(A1A2+A3A4 )+A2A3=______
AD １.化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN

(3) AB BD CA DC ________ 0
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a
以同一 点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作 OACB, -------------则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a b, 即
---------------------------
a b OA OB OC
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
B
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
a， b不共线或共线反向 a， b共线且同向
a， b反向且 a b a， b反向且 a b
练习题
1.若a表示“向南走10km”， b表示“向西走10 3km”，
60走 20km. 则a b表示向南偏西 ________.
2.若a， b满足 a 3， b 5，求 a b 的 最大值，并指出a， b满足什么条件时? a b 取到最大值.
上海
台北
香港
O上海
由于大 陆和台湾没 有直航，因 此要从上海 去台湾探亲， 乘飞机 要先从上海 到香港，再 从香港到台 北，这两次 位移之和是 什么？
台北
B
A香港
O OA+AB=OB
B
A
• 向量加法的定义:我们把求两个 向量 a, b的和的运算,叫做向量 的加法, a b 叫做 a, b 的和向量.
在Rt ABD中, AB 2, BD 2 3
C
D
A
B
AD AB BD
AD 4
tan DAB 3 DAB 60 答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 60.
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a 文字表述为：以同一起点的两个 向量为邻边作平行四边形，则以公共 起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
对 于 零 向 量 与 任 一 向a 量 ,我们规定 a 0 0 a a
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1) 两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2) 位移的合成是三角形法则的物理模型.力的合成 为平行四边形法则的物理模型.
uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An + AnO
等于什么向量？
uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur r OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An + AnO = 0
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作
a b。
b
OACB ，
a
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
b
平行四边形法则
B
练习2：如图，已知
(1)
a 、b
，用向量加法的平行四边形法则作出 a b 。
D C
5
A
2
B
向量加 法
和 的运算,叫做向量的加法。 1、求两个向量____ 三角形法则 或_____________ 平行四边形法则 2、 向量的加法可由__________ 求得。 “首尾相接” 3、利用三角形法则求向量和要__________ ，
向量的起点放在一起。 利用平行四边形求向量和要将_______________
(3)已知向量 a、 b，用向量加法的三角形法则和平行四边形 法则作出 a b
①
②
b
a
b
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R，
有 a b b a, (a b) c a (b c). 那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合 律？请画图进行探索。
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
ab
abc
c
bc
b+ a
b
a
数学应用
的速度向垂直于 例2 如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h 对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向. 解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸 的速度,用向量 AB 表示水流的速度 以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD 就是船实际行驶的速度
Baidu Nhomakorabea习：限时2分钟
1.化简: AB DF CD BC FA 已知| a | 8, | b | 6, 则 | a b | 的最大值和
最小值各是什么
2.已知| a | 6, | b | 14, | c | 3, 则 | a b c | 有
回顾：
（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
思考：
如设
实数
a 的相反数记作 a 。
（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
一、相反向量： 设向量
a
，我们把与
a
长度相同，方向相反
的向量叫做
a
的相反向量。记作： a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
非零向量a, b处于什么位置时？
探究
(1) a b a b (2) a b a b (3) a b a b (4) a b b a
当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何 作出来?
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B
b
C A
AC = a + b
AC = a + b
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
1、 共线
(1)同向
a
b
(2)反向
a
b
a+ b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
(2)
b a
b
b
O
●
ab
b
O●
a a
ab
a
向 量 加 法 的 定 义
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a b
向量加法
C B
C
B
A
A
O
uuu r uuu r uuu r AB BC AC
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向 量 加 法 的 定 义
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.




２.根据图示填空
E
g
e
f
a
D d
(1)a b (2)c d
c f
f g
A
c
B
b
C
(3)a b d (4)c d e
数学应用
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 （） 1 OA OC (2) BC FE (3) OA FE
D
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab b
A A
a
ab
a
b
ab ba
(a b) c a (b c).
如图，已知 a , b , c ，请作出 a + b , b a + ( b + c ) , ( a + b ) + c. a c
+
a ,b
+
c
b
a
b b a a+ b
最大值和最小值吗 ?
回顾与小结
1
本节课学习的数学知识
1.向量加法三角形法则
2.向量加法的平行四边形法则 3.向量加法满足交换律与结合律
a+ b = b+ a
(a + b) + c = a + (b + c)
2
本节课学习的数学方法
特殊与一般，归纳与类比，数形结合， 几何作图，向量加法的实际应用
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
规定： 0 的相反向量仍是 0。 （1） (a) a （2）a (a) 0
(a) a 0
（3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法： a b a (b)
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？ a (b) 设 AB b, AC a
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
B
uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An 思考7： 等于什么向量？ uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An = OAn
a b
向量加法
三 角 形 法 则: C
b
平行四边形法则: C B
b b
B
A
a
A
O
a
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加 法
练习1：如图：已知向量 a 、b 用向量加法的三角形法则作出 a b 。
(1) （2）
ab
a
(3)
b
b
a
ab ab
(4)
a
a
b
b
ab
尝试练习二：
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
5.共线向量： 向量可以平移，平行向量都可以平移到同一条 直线上，因此平行向量又称作共线向量
引入1：
由于大 陆和台湾没 有直航，因 此要从上海 去台湾探亲， 乘飞机 要先从上海 到香港，再 从香港到台 北，这两次 位移之和是 什么？
注意： （1）起点必须相同。 （2）指向被减向量的终点。
（1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得 向量是什么呢？ b a （2）当 a ， b 共线时，怎样作 a b呢？
a OA b OB a b BA
O
A O
B A
B
练习：
(1) AB AD DB (3) BC BA AC (5) OA OB BA (2) BA BC CA