11基础物理学第三版第11章光的衍射

(a b)sin k
(a b)sin
第三节 衍射光栅 光栅衍射图样的特点：
一系列又细又亮的明条纹（又称主极大、谱线）缝数N增加，明 纹愈细愈亮。 明纹之间的暗区含有完全消光的极小和较明亮的次极大
光栅G 透镜L

观察屏

d=a+b
P

o
f
d sin
第三节 衍射光栅
有3、7条狭缝的光栅的衍射图样
解
( a b)sin k
(a b) 0.20 2
a 1.5 106 m
a b 6 106 m
(a b) a 4
k max ab

10
可见级数为：k = 0，±1，±2，…… ±9， k≠ ±4, ±8。 k = 10 对应 sin = 1 故舍去。
半波带的个数与衍射角有关：
k a sin

2
A2
B
R

C
L
A
A1
/2
AC a sin P k o 2 （ k 个半波带）
第二节 单缝衍射
a sin 0
a sin 2k k
2
中央明纹中心

干涉相消（暗纹） 2 k 个半波带 干涉加强（明纹） 2k
因此，透镜焦平面处的屏上中央明纹的线宽度：
2 x0 2 f tan 1 f 21 f a
第二节 单缝衍射 （3）条纹宽度（相邻条纹间距）,可以计算。 （4）单缝衍射的动态变化。
单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变。
（5）入射光非垂直入射时光程差的计算
第二节 单缝衍射
x2 x1
31 sin 31 ( a b)
x31 f tan 31
x32 f tan 32
32 31 x f (tan 32 tan 31 ) f ( ) 0.006 m ab ab
第三节 衍射光栅 例 例 4 用波长 = 600 nm 的单色光垂直照射光栅，观察到第 2 级 明条纹分别出现在 sin = 0.20，而第 4 级缺级。试求（1）光栅 常数；（2）狭缝宽度；（3）全部条纹的级数。
dS 2 r dE ( P) C A K ( ) cos(t ) r
E ( P) C
S
AK ( ) 2 r cos(t )dS r
第一节 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理 三、衍射的分类 菲涅耳衍射(Fresnel Diffraction)：
衍射屏离光源或接收屏为有限距离的衍射。

2
第二节 单缝衍射 例1 波长 546 nm 的平行光垂直照射在缝宽 0.437 mm的单缝上， 例 缝后凸透镜的焦距为40 cm ，求透镜焦平面上衍射中央明纹的宽 度。
解 由单缝衍射示意图可知，两侧第一级 暗纹所夹的即为中央明条纹。
a sin k
sin


白光入射时， 不同，k 不同，按波长分开形成光谱。
I
sin
( a b)
0
一级光谱 二级光谱
三级光谱
第三节 衍射光栅 衍射光谱分类：
连续光谱：炽热固体发出 线状光谱：放电管中气体发出
带状光谱：分子光谱
光栅光谱仪用于光谱分析
由于不同元素（或化合物）各有自己特定的光谱， 所以由谱线的成分，可分析出发光物质所含元素或 化合物；还可从谱线强度定量分析出元素的含量。
2. 在白炽灯的照射下能从两块捏紧的玻璃板的表面看 到彩色条纹，通过游标卡尺的狭缝观察发光的白炽 灯也会看到彩色条纹，如何解释这两种现象？
第三节 衍射光栅 一、光栅
光栅(Grating)：大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构 成的光学元件。 透射光栅： 反射光栅：
a 透光宽度
b 不 透光宽度
第三节 衍射光栅
单缝衍射的激光实验照片，入射激光波长 =632.8nm。明条纹宽 度反比于缝宽。 a=0.16 mm
a=0.08 mm a=0.04 mm
a=0.02 mm
第二节 单缝衍射
单缝衍射的光强分布示意图
暗纹即干涉相消位置 明纹即干涉加强位置
a sin k a sin (2k 1)
第一节 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理 二、惠更斯-菲涅耳原理（Huygen-Frenel principle）
惠更斯：波阵面上各点都看成是子波波源。— —定性解释光的传播方向问题。
惠更斯(Christian Huygens, 1629-1695)，荷兰数学家、 物理学家。发现土星的光环，发明了摆钟，对波动理论 的发展起了重要作用。
菲涅耳：从同一波前上各点发出的子波 ，在空间相遇时，也将叠加而产生干涉 现象。——定量解释衍射图样中的强度 分布。
菲涅耳(Augustin Jean Fresnel，1788-1827)， 法国物理学家、数学家。
第一节 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理
根据惠更斯—菲涅耳原 理，波在传播过程中， 从同一波阵面S上发出的 子波，经传播而在空间 某点相遇时，可相互叠 加而产生干涉现象。 图中P点的光振动就是由S上各点的ds面元的振动传播到P点， 并叠加而成。由此即可计算出空间各点的光振动。
a sin (2k 1)
a sin k 2

2
1半波带
（介于明暗之间）
(k 1,2,3,)
第二节 单缝衍射
k是衍射条纹的级数，对应于k=1，2，…的明条纹或暗条纹，分 别叫做第一级、第二级、…的明条纹或暗条纹，正负号表示条 纹分布在中央明纹的两侧。
衍射角θ的取值范围：
光栅常量：d=a+b
a
透光（或反光） 部分的宽度
b 不透光(或不反光)
部分的宽度
5 6 常见光栅：d 10 ~ 10 m
光栅宽度为 l 毫米，每毫米缝数为 m ，则总缝数：N=m×l
第三节 衍射光栅 二、光栅衍射和光栅方程
两相邻狭缝光束的光程差为：
=(a+b)sin ，因此
光栅衍射的明条纹（也称主极大） 首先要满足该方向上的多光束干 涉极大， 由此可得光栅方程： ab
x 2 f tan 2 f
a

x
a 2 546 109 0.40 3 1.0 10 m 3 0.437 10
第二节 单缝衍射 例 例 2 用波长=632.8nm的平行光垂直入射于宽度a=1.5×10-4m的单缝 上，缝后以焦距f=0.40m的凸透镜将衍射光会聚于屏幕上。求（a） 屏上第一级暗条纹与中心O的距离；（b）中央明条纹宽度；（c） 其它各级明条纹的宽度；（d）若换用另一种单色光，所得的两侧 第三级暗条纹间的距离为8.0×10-3m。求该单色光的波长。
a sin k '
k 1, 2, 3, ......
例如，a+b = 3a ，则 k = ±3，±6，±9，…… 对应的主极大 缺级。
第三节 衍射光栅 三、光栅光谱
-3级
白光的光栅光谱
3级
-2级
-1级
0级
1级
2级
第三节 衍射光栅 衍射光谱
(a b) sin k (k 0,1, 2,)
第二节 单缝衍射 二、半波带法
考虑对应衍射角方向上 的出射光（经透镜汇聚 到屏上P点）。现将波 阵面 AB分成若干个等 宽长条带，相邻条带的 相应点发出的光到达 P 点的光程差为半个波长。 这样分隔的条带称为半 波带
/2 B a A

第二节 单缝衍射
相邻半波带的光，合成后为零。因此，最终P点的明暗取决 于这样的半波带的个数！
第三节 衍射光栅 例3 波长为5000Å和5200Å的两种单色光同时垂直入射在光栅常 例 数为0.002cm的光栅上，紧靠光栅后用焦距为2米的透镜把光线聚 焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的距离。
解
(a b) sin k
32 sin 32 ( a b)
1
f
sin tan
解 （a）屏上第一级暗条纹与中心O点的距离即为x1
f 0.40 632.8 109 3 x1 1 . 7 10 m 4 a 1.5 10
（b）中央明条纹的宽度d为两个第一级暗条纹之间的距离，即
d 2 x1 3.4 103 m
第二节 单缝衍射
（c）其它各级明条纹的宽度相同
夫朗和费衍射(Fraunhofer Diffraction)：
衍射屏离光源或接收屏为无限远距离的衍射。
K L1 S 单缝衍射夫琅和费实验 实际装置图 L2 E
第二节 单缝衍射 一、单缝夫朗和费衍射
光源和观察屏都在距离衍射单缝“无限远”处。
单缝衍射夫琅和费实验装置图
单缝衍射原理图
边缘光程差
AC a sin

2

2
半波带个数与条纹级数关系示意：
第2级明， 5个半波带
第1级明， 3个半波带
中央明纹
第1级暗， 2个半波带
第2级暗， 4个半波带
第二节 单缝衍射 三、讨论
θ很小的情况下，
tan sin
x f tan f
（1）第一暗纹的衍射角
1 arcsin a a
k R (k 1)V ab ab
k=1，即对白光只有第一级不重 叠，并且与光栅常数无关。
第三节 衍射光栅
思 考
1. 衍射光栅的透光部分太窄或太宽将会出现什么现象？ 为什么？ 2. 请查阅光栅的最新应用有哪些。
第四节 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 一、圆孔夫朗和费衍射
H
L
P
爱 里 斑
(1很小)
R
a
第一暗纹距中心的距离
1
L
P
f
x1 1 f

a
o
x1
fபைடு நூலகம்
第二节 单缝衍射
（2）中央明纹的宽度
当衍射角很小时，中央明纹 的半角宽： a 其他各级明纹的角宽：

a sin 1
a sin 1
a
中央明纹的宽度约为其他明纹的两倍！
第一节 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理 一、光的衍射现象及分类
当光遇到的障碍物尺寸足够小时，发现屏上得不到这些物体清 晰的几何投影，而是有光进入阴影区内，产生光的衍射现象。
单缝衍射：
S
G
*
第一节 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理 各种透光孔形成的衍射图样：
针和线的衍射条纹
方孔衍射
网格衍射
不同大小的圆孔的衍射条纹
d
光通过光学系统中的光阑、透镜等限制光波传播的光学元件 时，呈现衍射图样。
第四节 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 爱里斑（Airy Disk）
L
P
1
D
f
第一暗纹位置，求出爱里斑角半径1
1 sin 1 0.61 1.22
r
爱里斑半径：


D
R f tan 1 1.22 f

D
第四节 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 二、光学仪器的分辨率
两个物点的分辨 对于任一个物点（点光源），经物镜后所形成的像实际不是一 个点，而是圆孔衍射图样,其主要部分为爱里斑。因此，当两个 物点相距很近，就有如何分辨的问题：
x f 1.7 103 m a
（d）两个第三级暗条纹间的距离
6 f d 3 2 x3 8.0 103 m a
所以
ad3 1.5 104 8.0 103 5.0 107 m 6f 6 0.40
第二节 单缝衍射
思 考
1. 若例题11-2中的P点处观察的是暗条纹，那么半波 带数是否仍为2k +1 = 7个?
第三节 衍射光栅 例 例 5 利用每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光的垂直照射下，可 以产生多少级完整的光谱？
解 完整的光谱： 第k级
不完整的光谱：
第k级
重叠！
第k+1级
完整的光谱要求第k级的红光的衍射角要小于第k+1级的紫光的 sin Rk sin Vk 1 衍射角： Rk Vk 1
第 十三 章 光的衍射
学习目标
1.了解惠更斯-菲涅尔原理。掌握光的衍射现象等。 2.掌握分析单缝夫琅和费衍射明暗纹分布规律的方法。
3.理解缝宽及波长对衍射条纹分布的影响，了解圆孔 衍射及分辨率。
4.熟悉光栅衍射公式、缺级条件和确定主极大条纹位 置与条纹数。会确定光栅衍射谱线的位置，会分析光 栅常量及波长对光栅衍射谱线分布的影响。
第三节 衍射光栅 光栅衍射图样的光强分布
各主极大要受单缝衍射 的调制。
第三节 衍射光栅 缺级现象
对应某些 值按多光束干涉应出现某些级的主极大，正好落在单 缝衍射的暗条纹上，而造成这些主极大缺失。 即满足以下两个条件的光栅明条纹为缺级：
(a b)sin k
ab k k' a