拓展卡尔曼滤波
ekf算法工作原理
ekf算法工作原理1.前言扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter, EKF)是一种常见的状态估计算法，常用于机器人感知与定位、飞行器控制等领域。
本文将介绍EKF算法的基本原理，以及其在机器人感知与定位中的应用。
2. EKF算法概述2.1 EKF算法的基本原理EKF算法是卡尔曼滤波( Kalman Filter )的一种扩展形式，其基本思路是通过利用系统的非线性动态方程进行线性近似，然后运用标准的卡尔曼滤波理论对系统进行状态估计。
相对于卡尔曼滤波，EKF算法的主要区别在于：卡尔曼滤波要求系统的性质必须是线性、高斯、马尔可夫的，而EKF算法可以应用于一定范围内的非线性系统，但是仍然要求系统噪声必须是高斯噪声。
在EKF算法中，需要定义系统的状态量、测量量、动态方程和测量方程。
其中，状态量和测量量为向量形式，动态方程和测量方程为非线性的函数形式。
在进行状态估计时，EKF算法将动态方程和测量方程在当前状态附近进行泰勒展开，最终得到一个线性模型。
通过对该模型进行预测和校正，可以得到对系统状态的估计值。
2.2 EKF算法的基本流程EKF算法的基本流程可以分为以下几个步骤：1）初始化：设定系统的初始化状态及其方差。
2）预测：根据当前状态的动态方程对下一时刻的状态进行预测。
3）预测方差：计算预测的状态方差。
4）校正：利用当前时刻的测量方程对预测结果进行校正。
5）校正方差：根据校正时产生的残差计算当前状态估计的方差。
6）返回第二步。
3. EKF算法的应用3.1 机器人感知与定位EKF算法在机器人感知和定位中的应用日益广泛。
机器人的感知和定位问题通常是非线性的，包括地图构建、自我定位、目标检测等问题。
EKF算法可以用于机器人的状态估计，例如机器人的位置、姿态、速度等。
同时，扩展卡尔曼滤波还可以处理数据关联的问题，例如由多个传感器提供的数据，并且可以消除错误信息，提高估计的精度。
3.2 飞行器控制EKF算法在飞行器控制中的应用也非常广泛。
扩展卡尔曼滤波推导
扩展卡尔曼滤波推导卡尔曼滤波是现代控制理论与技术的重要组成部分，主要用于估计目标系统的状态并输出最优的状态估计值。
但随着系统复杂度的提高，传统的卡尔曼滤波往往无法满足要求，于是扩展卡尔曼滤波（EKF）应运而生。
扩展卡尔曼滤波是在卡尔曼滤波基础上发展而来的一种滤波方法，其主要应用于非线性、高斯噪声系统的状态估计。
在EKF中，通过将非线性函数在当前状态处进行泰勒展开，然后利用卡尔曼滤波技术对线性化后的系统进行状态估计。
在扩展卡尔曼滤波的推导中，需要对状态方程和观测方程进行非线性函数的泰勒展开，具体而言，如果状态方程为：$$x_{k+1}=f(x_k,u_k)+w_k$$其中，$f(x_k,u_k)$为状态转移函数，$w_k$为高斯噪声，那么对其进行泰勒展开可得：$$x_{k+1}\approx f(\hat{x_k},u_k)+(F_k)(x_k-\hat{x_k})+w_k$$其中，$F_k$为状态转移函数在$\hat{x_k}$处的雅可比矩阵，$x_k-\hat{x_k}$为状态的偏差。
同样地，如果观测方程为：$$z_{k}=h(x_k)+v_k$$其中，$h(x_k)$为观测函数，$v_k$为高斯噪声，那么对其进行泰勒展开可得：$$z_{k}\approx h(\hat{x_k})+(H_k)(x_k-\hat{x_k})+v_k$$其中，$H_k$为观测函数在$\hat{x_k}$处的雅可比矩阵。
接下来，根据卡尔曼滤波的基本公式，可以得到扩展卡尔曼滤波的递推公式：预测步：$$\hat{x}_{k+1}^{-}=f(\hat{x_k},u_k)$$$$P_{k+1}^{-}=F_kP_kF_k^T+Q_k$$其中，$Q_k$为过程噪声的方差协方差矩阵。
更新步：$$K_k=P_k^{-}H_k^T(H_kP_k^{-}H_k^T+R_k)^{-1}$$$$\hat{x_k}=\hat{x_k}^{-}+K_k(z_k-h(\hat{x_k}^{-}))$$$$P_k=(I-K_kH_k)P_k^{-}$$其中，$R_k$为测量噪声的方差协方差矩阵。
扩展卡尔曼滤波 调参
扩展卡尔曼滤波调参1. 什么是卡尔曼滤波？卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的递归滤波器。
它能够通过融合来自传感器的测量数据和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器的核心思想是通过不断迭代的方式，根据当前的观测值和先验估计值，计算出最优的后验估计值。
它的优点在于对于线性系统，能够得到最优解，并且具有较低的计算复杂度。
2. 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）扩展卡尔曼滤波是卡尔曼滤波的一种扩展，用于非线性系统的状态估计。
与传统的卡尔曼滤波相比，扩展卡尔曼滤波能够通过线性化非线性系统模型，将其转化为线性系统模型，从而实现状态的估计。
在扩展卡尔曼滤波中，通过使用泰勒级数展开，将非线性函数线性化为一阶导数的形式。
然后，使用线性卡尔曼滤波的方法进行状态估计。
这样一来，扩展卡尔曼滤波能够处理一些非线性系统，并提供对系统状态的最优估计。
3. 扩展卡尔曼滤波调参在使用扩展卡尔曼滤波进行状态估计时，需要对滤波器进行一些参数的调整，以获得更好的估计结果。
下面介绍一些常用的调参方法。
3.1 系统模型在使用扩展卡尔曼滤波进行状态估计时，首先需要定义系统的状态方程和观测方程。
系统的状态方程描述了系统状态的演化规律，而观测方程描述了观测值与系统状态之间的关系。
在调参时，需要根据实际情况对系统模型进行调整。
对于非线性系统，可以通过改变状态方程和观测方程的形式，使其更好地与实际系统相匹配。
3.2 过程噪声和观测噪声在卡尔曼滤波中，过程噪声和观测噪声是用来描述系统模型和观测模型中的不确定性的参数。
过程噪声表示系统状态的演化过程中的不确定性，观测噪声表示观测值的不确定性。
在调参时，需要根据实际情况对过程噪声和观测噪声进行调整。
过程噪声和观测噪声的大小与系统的动态特性和传感器的性能有关。
通过调整这两个参数，可以使滤波器更好地适应实际情况。
3.3 初始状态和协方差在卡尔曼滤波中，初始状态和协方差用来表示对系统状态的初始估计。
扩展卡尔曼滤波雅可比矩阵
扩展卡尔曼滤波雅可比矩阵扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）是一种用于非线性系统状态估计的优化算法。
而雅可比矩阵则是EKF中的重要工具，用于线性化系统中的非线性函数。
在实际应用中，许多系统的动态特性往往具有非线性的特点，这意味着传统的卡尔曼滤波算法无法直接应用于这些系统。
为了解决这一问题，EKF被提出。
EKF通过对系统状态和观测方程进行线性化，将非线性系统转化为线性系统，从而利用卡尔曼滤波算法进行状态估计。
而在EKF中，雅可比矩阵扮演着至关重要的角色。
雅可比矩阵本质上是非线性函数在某一点的线性化矩阵。
它通过对非线性函数进行一阶泰勒展开，近似地计算了函数在该点的变化率。
因此，雅可比矩阵的计算是EKF中一个关键的环节。
在实际应用中，计算雅可比矩阵有很多种方法，最常用的是数值差分法和解析法。
数值差分法通过取小的增量，计算函数在该点的微分，然后将微分值作为该点的近似导数。
这种方法简单直观，但由于计算误差和数值不稳定性的存在，可能会影响到滤波器的性能。
而解析法则是通过求取函数的一阶偏导数来计算雅可比矩阵。
这种方法通常要求对非线性函数进行符号推导，然后计算导数。
虽然解析法的计算精度更高，但由于非线性函数的复杂性，求解过程可能会比较困难和繁琐。
因此，在实际应用中，选择合适的计算雅可比矩阵的方法是非常重要的。
数值差分法适用于简单的非线性函数，而解析法则适用于复杂的非线性函数。
根据系统的特性和性能需求，我们可以选择最适合的方法。
总之，扩展卡尔曼滤波雅可比矩阵在非线性系统状态估计中具有重要的意义。
通过对系统进行线性化，EKF能够有效地处理非线性系统，并提供准确的状态估计结果。
雅可比矩阵的计算方法因应用而异，选择适合的方法是保证滤波器性能的关键。
在未来的研究和应用中，我们可以进一步探索改进雅可比矩阵计算方法的技术，以提高EKF的性能和适用范围。
扩展卡尔曼滤波算法
扩展卡尔曼滤波算法1 卡尔曼滤波算法卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）是指根据系统过程的当前测量值来估计未来某时刻的状态参量值的算法。
它可以帮助我们进行最优估计和状态跟踪辨识，在实际应用中一般用于非线性系统的实时状态值的估计及系统的控制、导航定位和信号处理等密切相关的任务。
卡尔曼滤波算法根据观测结果及自身的建模，以多次观测水深数据为重点，将观测结果和系统估计值进行更新和修正，从而获得一种逐次改进的过程模型，从而得出更准确的系统状态估计值。
2 扩展卡尔曼滤波算法基于卡尔曼滤波算法的扩展技术，是普遍存在的技术，它集合了计算机、数据处理和系统建模的原理，可以更先进的估计数据和追踪目标，最常用的方法被称为扩展卡尔曼滤波（EKF）。
该算法包括线性和非线性估计，可以扩展表达能力，从而结合卡尔曼滤波算法带来的传感精度和稳定性，使物体行进轨迹推测、跟踪更准确。
3 应用扩展卡尔曼滤波算法的应用领域包括空气制动原理应用、机器视觉方位估计、太阳能机器人位置跟踪、磁测量器定位、自动攻击模块偏转角识别等，以及虚拟地铁位置估计和导航，用于智能领域的研究。
在机器人导航研究中，扩展卡尔曼滤波算法可以在环境变化较多或污染较大的条件下，快速实现机器人位置估计和路径规划，满足快速智能系统设计的需求。
4 小结扩展卡尔曼滤波算法是利用卡尔曼滤波算法所提供的精度、稳定性和可扩展性，发展出来的一种滤波技术。
它可以合理地估计和预测某系统的状态，并及时追踪物体行走的轨迹，有效的计算系统的位置，有利于智能系统、机器人导航系统以及虚拟实验系统的设计，从而使系统的优化以及最优化更贴近实际应用。
扩展卡尔曼粒子滤波优化
扩展卡尔曼粒子滤波优化扩展卡尔曼粒子滤波优化扩展卡尔曼粒子滤波（Extended Kalman Particle Filter）是一种常用的非线性滤波器，用于在测量数据包含噪声的情况下对系统状态进行估计。
在本文中，我们将逐步介绍扩展卡尔曼粒子滤波的优化方法。
1. 了解卡尔曼滤波：在深入研究扩展卡尔曼粒子滤波之前，首先需要了解卡尔曼滤波的基本原理。
卡尔曼滤波是一种递归滤波器，通过使用系统模型和测量模型来估计系统状态，其中系统模型和测量模型通常是线性的。
然而，实际应用中，我们经常遇到非线性问题，这就需要使用扩展卡尔曼滤波。
2. 扩展卡尔曼滤波：扩展卡尔曼滤波通过在线性化非线性系统模型和测量模型来处理非线性问题。
具体而言，它使用泰勒级数展开来近似非线性函数，并通过计算雅可比矩阵来线性化系统模型和测量模型。
然后，通过应用卡尔曼滤波来处理线性化的系统和测量模型。
3. 粒子滤波：粒子滤波是一种基于蒙特卡洛方法的滤波器，用于处理非线性和非高斯的系统。
它通过使用一组粒子来表示系统的状态分布，并通过对每个粒子进行重采样和更新来更新状态分布。
这使得粒子滤波能够更好地适应非线性和非高斯分布的系统。
4. 扩展卡尔曼粒子滤波：扩展卡尔曼粒子滤波是将扩展卡尔曼滤波和粒子滤波相结合的一种方法。
它使用粒子滤波来近似状态分布，并通过在线性化非线性系统模型和测量模型来处理非线性问题。
具体而言，它使用粒子滤波来生成一组粒子，然后通过计算每个粒子的权重来更新状态分布。
最后，通过对具有较高权重的粒子进行重采样来更新粒子集合。
5. 优化方法：为了进一步优化扩展卡尔曼粒子滤波，可以采取以下方法：- 调整粒子数目：增加粒子的数量可以提高滤波器的精度，但也会增加计算复杂度。
因此，需要权衡精度和计算复杂度之间的关系，选择适当的粒子数目。
- 选择合适的重采样方法：重采样是粒子滤波的关键步骤，可以通过对低权重粒子进行更多采样来提高滤波器的性能。
常用的重采样方法包括系统性重采样、残差重采样和分层重采样等。
基于扩展卡尔曼滤波的目标跟踪定位算法及matlab程序实现
基于扩展卡尔曼滤波的目标跟踪定位算法及matlab程序实现扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）是一种用于非线性系统状态估计的算法。
在目标跟踪定位中，它可以用于估计目标的运动轨迹。
下面是一个简单的基于扩展卡尔曼滤波的目标跟踪定位算法的描述，以及一个简化的MATLAB程序实现。
算法描述1. 初始化：设置初始状态估计值（例如位置和速度）以及初始的估计误差协方差矩阵。
2. 预测：根据上一时刻的状态估计值和模型预测下一时刻的状态。
3. 更新：结合观测数据和预测值，使用扩展卡尔曼滤波算法更新状态估计值和估计误差协方差矩阵。
4. 迭代：重复步骤2和3，直到达到终止条件。
MATLAB程序实现这是一个简化的示例，仅用于说明扩展卡尔曼滤波在目标跟踪定位中的应用。
实际应用中，您需要根据具体问题和数据调整模型和参数。
```matlab% 参数设置dt = ; % 时间间隔Q = ; % 过程噪声协方差R = 1; % 观测噪声协方差x_est = [0; 0]; % 初始位置估计P_est = eye(2); % 初始估计误差协方差矩阵% 模拟数据：观测位置和真实轨迹N = 100; % 模拟数据点数x_true = [0; 0]; % 真实轨迹初始位置for k = 1:N% 真实轨迹模型（这里使用简化的匀速模型）x_true(1) = x_true(1) + x_true(2)dt;x_true(2) = x_true(2);% 观测模型（这里假设有噪声）z = x_true + sqrt(R)randn; % 观测位置% 扩展卡尔曼滤波更新步骤[x_est, P_est] = ekf_update(x_est, P_est, z, dt, Q, R);end% 扩展卡尔曼滤波更新函数（这里简化为2D一维情况）function [x_est, P_est] = ekf_update(x_est, P_est, z, dt, Q, R)% 预测步骤：无观测时使用上一时刻的状态和模型预测下一时刻状态F = [1 dt; 0 1]; % 状态转移矩阵（这里使用简化的匀速模型）x_pred = Fx_est + [0; 0]; % 预测位置P_pred = FP_estF' + Q; % 预测误差协方差矩阵% 更新步骤：结合观测数据和预测值进行状态更新和误差协方差矩阵更新K = P_predinv(HP_pred + R); % 卡尔曼增益矩阵x_est = x_pred + K(z - Hx_pred); % 更新位置估计值P_est = (eye(2) - KH)P_pred; % 更新误差协方差矩阵end```这个示例代码使用扩展卡尔曼滤波对一个简化的匀速运动模型进行估计。
ekf算法公式
ekf算法公式EKF（扩展卡尔曼滤波）算法公式如下：1.预测步骤：o状态预测：( \hat{x}{k|k-1} = f(\hat{x}{k-1|k-1}, u_k) )o协方差预测：( P_{k|k-1} = F_kP_{k-1|k-1}F_k^T + Q_k )其中，( \hat{x}{k|k-1} ) 是状态预测值，( \hat{x}{k-1|k-1} ) 是上一时刻的最优估计值，( u_k ) 是控制输入，( f ) 是非线性状态转移函数，( F_k ) 是( f ) 关于状态量的雅可比矩阵，( P_{k|k-1} ) 是协方差预测值，( P_{k-1|k-1} ) 是上一时刻的最优协方差，( Q_k ) 是过程噪声协方差。
2.更新步骤：o卡尔曼增益：( K_k = P_{k|k-1}H_k^T(H_kP_{k|k-1}H_k^T + R_k)^{-1} )o状态更新：( \hat{x}{k|k} = \hat{x}{k|k-1} + K_k(z_k -h(\hat{x}_{k|k-1})) )o协方差更新：( P_{k|k} = (I - K_kH_k)P_{k|k-1} )其中，( K_k ) 是卡尔曼增益，( H_k ) 是量测函数( h ) 关于状态量的雅可比矩阵，( z_k ) 是量测值，( h ) 是非线性量测函数，( R_k ) 是量测噪声协方差，( \hat{x}{k|k} ) 是状态更新值，( P{k|k} ) 是协方差更新值，( I ) 是单位矩阵。
需要注意的是，EKF算法中涉及到的非线性函数需要进行线性化处理，通常使用泰勒展开式进行近似。
在实际应用中，EKF算法还需要根据具体问题进行适当的调整和优化。
扩展卡尔曼滤波器原理
扩展卡尔曼滤波器原理一、引言扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter，EKF）是一种常用的非线性滤波器，其原理是对非线性系统进行线性化处理，从而利用卡尔曼滤波器的优势进行状态估计和滤波。
本文将介绍扩展卡尔曼滤波器的原理及其应用。
二、卡尔曼滤波器简介卡尔曼滤波器是一种基于最优估计理论的滤波算法，广泛应用于估计系统状态。
卡尔曼滤波器通过对系统状态和观测数据进行加权平均，得到对系统状态的估计值。
其基本原理是通过系统的动力学方程和观测方程，利用贝叶斯概率理论计算系统状态的后验概率分布。
三、非线性系统的滤波问题在实际应用中，许多系统都是非线性的，而卡尔曼滤波器是基于线性系统模型的。
因此，当系统模型非线性时，传统的卡尔曼滤波器无法直接应用。
扩展卡尔曼滤波器就是为了解决这个问题而提出的。
四、扩展卡尔曼滤波器原理扩展卡尔曼滤波器通过对非线性系统进行线性化处理，将非线性系统转化为线性系统，然后利用卡尔曼滤波器进行状态估计。
其基本思想是通过一阶泰勒展开将非线性系统进行线性逼近。
具体步骤如下：1. 系统模型线性化：将非线性系统的动力学方程和观测方程在当前状态下进行一阶泰勒展开，得到线性化的系统模型。
2. 预测步骤：利用线性化的系统模型进行状态预测，得到预测的状态和协方差矩阵。
3. 更新步骤：利用观测方程得到的测量值与预测的状态进行比较，计算卡尔曼增益。
然后利用卡尔曼增益对预测的状态和协方差矩阵进行更新，得到最终的状态估计和协方差矩阵。
五、扩展卡尔曼滤波器的应用扩展卡尔曼滤波器广泛应用于各个领域，包括机器人导航、目标跟踪、航天器姿态估计等。
以机器人导航为例，机器人在未知环境中通过传感器获取的信息是非线性的，而机器人的运动模型也是非线性的。
因此，利用扩展卡尔曼滤波器可以对机器人的位置和姿态进行估计，从而实现导航功能。
六、总结扩展卡尔曼滤波器是一种处理非线性系统的滤波算法，通过对非线性系统进行线性化处理，利用卡尔曼滤波器进行状态估计和滤波。
自适应扩展卡尔曼滤波matlab
自适应扩展卡尔曼滤波matlab自适应扩展卡尔曼滤波（Adaptive Extended Kalman Filter，AEKF）是一种用于非线性系统状态估计的滤波算法。
本文将介绍AEKF算法的原理、步骤和实现方法，并结合MATLAB 编写代码进行演示。
一、扩展卡尔曼滤波原理扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）是一种用于非线性系统状态估计的滤波算法。
它通过使用线性化系统模型的方式将非线性系统转换为线性系统，在每个时间步骤中用线性卡尔曼滤波器进行状态估计。
然而，EKF仅限于具有凸多边形测量特性的问题，并且对线性化过程误差敏感。
为了解决这些问题，AEKF通过自适应更新协方差矩阵的方式提高了滤波器的性能。
AEKF通过测量残差的方差更新协方差矩阵，从而提高了滤波器对非线性系统的适应能力。
AEKF算法的步骤如下：1. 初始化状态向量和协方差矩阵。
2. 根据系统的非线性动力学方程和测量方程计算预测状态向量和协方差矩阵。
3. 计算测量残差，即测量值与预测值之间的差值。
4. 计算测量残差的方差。
5. 判断测量残差的方差是否超过预设阈值，如果超过，则更新协方差矩阵。
6. 利用更新后的协方差矩阵计算最优滤波增益。
7. 更新状态向量和协方差矩阵。
8. 返回第2步，进行下一次预测。
二、AEKF算法的MATLAB实现下面，我们将使用MATLAB编写AEKF算法的代码，并通过一个实例进行演示。
首先，定义非线性系统的动力学方程和测量方程。
在本例中，我们使用一个双摆系统作为非线性系统模型。
```matlabfunction x_next = nonlinear_dynamics(x_current, u)% Nonlinear system dynamicstheta1 = x_current(1);theta2 = x_current(2);d_theta1 = x_current(3);d_theta2 = x_current(4);g = 9.8; % Gravitational accelerationd_theta1_next = d_theta1 + dt * (-3*g*sin(theta1) - sin(theta1-theta2) ...+ 2*sin(theta1-theta2)*(d_theta2^2 + d_theta1^2*cos(theta1-theta2))) .../ (3 - cos(2*(theta1-theta2)));d_theta2_next = d_theta2 + dt * (2*sin(theta1-theta2)*(2*d_theta2^2 ...+ d_theta1^2*cos(theta1-theta2) + g*cos(theta1) +g*cos(theta1-theta2))) .../ (3 - cos(2*(theta1-theta2)));theta1_next = theta1 + dt * d_theta1_next;theta2_next = theta2 + dt * d_theta2_next;x_next = [theta1_next; theta2_next; d_theta1_next;d_theta2_next];endfunction y = measurement_model(x)% Measurement model, measure the angles of the double pendulumtheta1 = x(1);theta2 = x(2);y = [theta1; theta2];end```然后，定义AEKF算法的实现。
三维扩展卡尔曼滤波
三维扩展卡尔曼滤波三维扩展卡尔曼滤波（3D extended Kalman filter）是一种常用的估计方法，用于估计系统状态的滤波器。
它是对卡尔曼滤波算法的扩展，能够处理非线性系统，并在三维空间中进行状态估计。
在实际应用中，很多系统的状态变化是非线性的，例如机器人的运动轨迹、飞机的飞行姿态等。
传统的卡尔曼滤波算法只能处理线性系统，对于非线性系统的估计效果并不理想。
而三维扩展卡尔曼滤波通过引入非线性函数来近似系统的非线性特性，从而能够更准确地估计系统的状态。
三维扩展卡尔曼滤波的工作原理如下：首先，根据系统的动力学模型和观测模型，建立状态空间方程和观测方程。
然后，利用非线性函数对状态方程进行扩展，得到扩展状态方程。
接着，通过对观测方程进行线性化，得到扩展观测方程。
最后，利用卡尔曼滤波算法，通过递推的方式，对系统的状态进行估计。
在三维扩展卡尔曼滤波中，通过状态预测和观测更新两个步骤来实现状态估计。
首先，根据上一时刻的状态估计值和系统的动力学模型，进行状态预测，得到预测状态和预测误差协方差。
然后，根据观测模型和观测值，进行观测更新，得到最新的状态估计值和误差协方差。
三维扩展卡尔曼滤波在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在自动驾驶领域，通过三维扩展卡尔曼滤波，可以准确地估计车辆的位置和姿态，从而实现精确的路径规划和控制。
在无人机导航中，三维扩展卡尔曼滤波可以用于估计无人机的位置和速度，实现精确的飞行控制。
在机器人定位和导航中，三维扩展卡尔曼滤波可以用于估计机器人的姿态和位置，实现精确的自主导航。
尽管三维扩展卡尔曼滤波在非线性系统的状态估计方面取得了很大的成功，但它也存在一些局限性。
首先，三维扩展卡尔曼滤波对初始状态的估计误差比较敏感，误差累积会导致估计结果的不准确。
其次，三维扩展卡尔曼滤波假设系统的噪声是高斯分布的，但实际系统中的噪声往往是非高斯的，这会导致估计结果的偏差。
为了克服这些问题，研究者们提出了许多改进的算法。
扩展卡尔曼滤波原理教程
扩展卡尔曼滤波原理教程什么是扩展卡尔曼滤波，以及它的原理和应用。
第一步，我们先来了解一下卡尔曼滤波器。
卡尔曼滤波器是一种能够通过测量与估计之间的误差来进行状态估计的滤波器。
它采用了一种数学模型，能够根据过去的状态和未来的测量值来估计系统的当前状态。
卡尔曼滤波器的核心思想是通过动态预测和测量更新两个步骤来实现状态估计。
动态预测阶段中，卡尔曼滤波器使用系统动力学模型来预测系统的下一个状态。
这个预测是根据上一个状态的估计值和控制输入来计算的。
控制输入可以是一个已知的值，也可以是通过传感器获得的测量值。
测量更新阶段中，卡尔曼滤波器根据系统的实际测量值来修正之前的状态估计。
我们知道，测量值通常不是完全准确的，可能会受到噪声和环境干扰的影响。
因此，在这个阶段，卡尔曼滤波器会将测量值与预测值之间的差异加权，以获得更准确的状态估计。
然而，标准的卡尔曼滤波器是基于线性系统的，对于非线性系统的状态估计，它的效果就不理想了。
这时，扩展卡尔曼滤波就应运而生了。
扩展卡尔曼滤波是一种可以应对非线性系统的状态估计滤波器。
与标准的卡尔曼滤波器相比，扩展卡尔曼滤波器的核心区别在于，它在动态预测和测量更新阶段中使用线性化技术来逼近非线性系统。
在动态预测阶段，扩展卡尔曼滤波器通过对系统动力学模型进行线性化，得到一个近似的线性模型。
这个线性模型可以用来进行状态的预测。
在测量更新阶段，扩展卡尔曼滤波器同样使用线性化技术，将非线性测量方程线性化。
然后，它使用线性化后的方程来计算状态的更新。
扩展卡尔曼滤波的核心思想是通过线性化技术来近似非线性系统，然后使用标准的卡尔曼滤波器来处理线性系统。
这样，我们就能够在非线性系统中实现较好的状态估计效果。
在实际应用中，扩展卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、目标跟踪、自动驾驶等领域。
它可以利用传感器数据进行状态估计，通过对环境的感知和预测来实现自主决策和行动。
总结一下，扩展卡尔曼滤波是一种能够解决非线性系统状态估计问题的滤波器。
扩展卡尔曼公式
扩展卡尔曼公式
扩展卡尔曼滤波（EKF）是一种线性化非线性系统的方法，它基于一阶泰勒展开来线性化系统模型。
在每个时间步，EKF通过计算预测值和测量值之间的卡尔曼增益，来更新状态估计值。
具体来说，扩展卡尔曼滤波使用非线性动力学方程来描述系统状态的变化，这个非线性方程在每个时间步被线性化，以便进行状态估计。
在状态更新步骤中，EKF通过计算卡尔曼增益来权衡预测值和测量值的权重，从而得到最优的状态估计值。
扩展卡尔曼滤波的公式可以表示为：
x = f(x, u)
x = x + K(z - h(x))
其中，x表示当前时刻的状态估计值，f表示非线性系统模型，u 表示控制输入，z表示测量值，h表示非线性观测方程。
卡尔曼增益K是在每个时间步计算得到的，它反映了预测值和测量值之间的置信度。
与传统的卡尔曼滤波相比，扩展卡尔曼滤波能够处理更复杂的非线性系统，因为它使用非线性方程来描述系统状态的变化。
然而，扩展卡尔曼滤波仍然存在一些挑战，例如如何选择合适的状态转移矩阵和观测矩阵，以及如何处理系统的非线性和不确定性。
几种卡尔曼滤波算法理论
几种卡尔曼滤波算法理论卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种状态估计的方法，用于从不完全和带有噪声的观测数据中，估计出系统的状态。
它的基本思想是结合系统的动态模型和观测数据，通过最小化估计值与观测值之间的误差，实现对系统状态的准确估计。
以下是几种常见的卡尔曼滤波算法理论：1. 离散时间线性卡尔曼滤波（Discrete-Time Linear Kalman Filtering）：这是最基本、最常用的卡尔曼滤波算法。
它适用于系统的动态模型和观测模型均为线性的情况。
该算法基于状态方程和观测方程，通过递推的方式估计系统的状态。
2. 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filtering）：扩展卡尔曼滤波是一种非线性状态估计方法，用于处理非线性系统。
该算法通过在线性化非线性函数，将非线性系统转化为线性系统，然后应用离散时间线性卡尔曼滤波算法进行估计。
3. 无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filtering）：无迹卡尔曼滤波是对扩展卡尔曼滤波的改进。
与扩展卡尔曼滤波通过线性化非线性函数来估计系统状态不同，无迹卡尔曼滤波通过选择一组特殊的采样点（称为Sigma点），通过这些采样点的传播来逼近非线性函数的统计特性。
4. 无过程噪声卡尔曼滤波（Kalman Filtering with No Process Noise）：通常情况下，卡尔曼滤波算法假设系统的状态方程和观测方程中都存在噪声项，即过程噪声和观测噪声。
然而，在一些特殊的应用领域中，系统的状态方程并不包含过程噪声，只存在观测噪声。
无过程噪声卡尔曼滤波算法就是针对这种情况设计的。
5. 卡尔曼平滑（Kalman Smoothing）：卡尔曼滤波算法是一种递推算法，只使用当前的观测数据和先前的状态估计，来估计当前的状态。
而卡尔曼平滑算法则是一种回溯算法，根据所有的观测数据来获得更优的对过去状态的估计。
卡尔曼平滑算法一般通过前向-后向过程来实现。
扩展卡尔曼滤波器的状态方程和观测方程
扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter，EKF）是一种针对非线性系统的估计方法。
它基于卡尔曼滤波器的框架，通过引入泰勒级数展开来近似非线性函数的线性化，从而实现对非线性系统的状态估计。
扩展卡尔曼滤波器的核心在于其状态方程和观测方程的非线性处理。
状态方程描述了系统状态随时间的演变。
对于非线性系统，状态方程通常可以表示为：x_k+1 = f(x_k, u_k)其中，x_k 表示k 时刻的系统状态，u_k 表示k 时刻的控制输入，f 是非线性状态转移函数。
扩展卡尔曼滤波器通过对 f 函数进行泰勒级数展开，并保留一阶项，得到近似的线性化状态方程：x_k+1 ≈ x_k + F_k(x_k - x_k−1) + w_k其中，F_k 是 f 函数在x_k 处的雅可比矩阵，w_k 表示过程噪声。
观测方程描述了系统状态与观测值之间的关系。
对于非线性系统，观测方程通常可以表示为：z_k = h(x_k)其中，z_k 表示k 时刻的观测值，h 是非线性观测函数。
同样地，扩展卡尔曼滤波器通过对h 函数进行泰勒级数展开，并保留一阶项，得到近似的线性化观测方程：z_k ≈ H_k x_k + v_k其中，H_k 是h 函数在x_k 处的雅可比矩阵，v_k 表示观测噪声。
扩展卡尔曼滤波器通过迭代更新状态估计值，实现对非线性系统的状态估计。
在每个时刻，它首先根据上一时刻的状态估计值和控制输入预测当前时刻的状态，然后结合当前时刻的观测值进行修正，得到当前时刻的状态估计值。
通过不断迭代，扩展卡尔曼滤波器能够逐渐逼近非线性系统的真实状态。
总之，扩展卡尔曼滤波器的状态方程和观测方程通过泰勒级数展开实现非线性函数的线性化，从而实现对非线性系统的状态估计。
这种方法在导航、控制、机器人等领域具有广泛的应用前景。
扩展卡尔曼ekf公式推导
扩展卡尔曼ekf公式推导扩展卡尔曼滤波（EKF）是一种常用的非线性滤波算法，可用于估计具有非线性模型的系统状态。
在实际应用中，EKF广泛应用于机器人导航、无人机控制、目标跟踪等领域。
EKF算法的推导步骤如下：1.系统状态模型首先，我们需要定义系统的状态模型。
假设我们有一个非线性系统，其状态由向量x表示，其状态变化的动态方程可以用下面的非线性函数f描述：x(t+1) = f(x(t),u(t)) + w(t)其中u(t)是系统的控制输入，w(t)是系统状态的噪声。
2.观测模型我们还需要定义观测模型。
假设我们有一些观测变量z，它们是由状态变量x的非线性函数g表示的：z(t) = g(x(t)) + v(t)其中v(t)是观测的噪声。
3.线性化由于系统和观测模型都是非线性的，我们需要将它们线性化，使其满足卡尔曼滤波的线性模型。
我们可以使用泰勒展开将非线性函数在当前状态处线性化，得到：x(t+1) ≈ f(x(t),u(t)) + A(t) (x(t) – x(t|t)) + B(t) u(t) + w(t)其中，A(t)是状态转移矩阵，B(t)是控制输入矩阵。
同样地，对观测模型也可以进行线性化，得到：z(t) ≈ H(t) x(t) + v(t)其中，H(t)是观测矩阵。
4.滤波算法卡尔曼滤波的基本思想是利用所有的已知信息（包括先验信息和当前的测量信息），来估计系统状态的概率分布。
EKF对非线性系统状态的概率分布进行估计，基于当前时刻的先验状态和测量信息进行状态预测和校正。
在EKF中，我们需要对系统状态的概率密度函数进行处理。
这可以通过对状态向量和协方差矩阵进行估计来完成。
具体地，我们需要预测状态的均值（μ）和方差（Σ），如下所示：x(t+1|t) = f(x(t|t),u(t))μ(t+1|t) = f(μ(t|t),u(t))Σ(t+1|t) = A(t) Σ(t|t) A(t)’ + Q(t)其中，Q(t)是状态噪声的协方差矩阵。
拓展卡尔曼滤波推导
拓展卡尔曼滤波推导1. 介绍1.1 任务概述拓展卡尔曼滤波是一种对非线性系统进行状态估计的滤波方法。
本文将详细介绍拓展卡尔曼滤波的原理和推导过程。
1.2 卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波是一种利用线性状态空间模型对系统状态进行估计的滤波算法。
它通过递推的方式，根据系统的测量值和模型预测值，不断更新状态的估计值，从而得到对系统状态的最优估计。
2. 拓展卡尔曼滤波原理2.1 非线性系统模型在卡尔曼滤波中，系统模型可以表示为以下形式：x(k+1) = f(x(k), u(k), w(k))y(k) = h(x(k), v(k))其中，x(k)是系统的状态，u(k)是输入，y(k)是观测值，w(k)和v(k)分别是过程噪声和观测噪声。
2.2 扩展卡尔曼滤波推导在拓展卡尔曼滤波中，通过对非线性系统模型进行线性化，将其转化为线性模型，然后应用卡尔曼滤波算法进行状态估计。
2.2.1 线性化系统模型对非线性系统进行线性化，可以使用泰勒展开将其近似为一个线性模型。
将系统模型在某个点处进行泰勒展开，可以得到一个线性模型。
x(k+1) ≈ f(x(k), u(k), w(k)) ≈ f(μ(k), u(k), w(k)) + A(k) * (x(k) - μ(k)) + B(k) * (u(k) - u(k)) + w(k)y(k) ≈ h(x(k), v(k)) ≈ h(μ(k)) + C(k) * (x(k) - μ(k)) + v(k)其中，A(k)和C(k)为系统模型在点μ(k)处的雅可比矩阵。
2.2.2 拓展卡尔曼滤波算法拓展卡尔曼滤波算法的估计过程与卡尔曼滤波类似，只是在计算卡尔曼增益和更新状态估计时，需要使用线性化后的模型。
算法流程：1.初始化状态估计和误差协方差矩阵：x̂(0-)，P(0-)2.预测过程：–根据控制输入和线性化模型，计算状态预测和误差预测：x̂(k-) = f(μ(k-1), u(k-1), 0)P(k-) = A(k-1) * P(k-1) * A(k-1)^T + Q(k-1)3.更新过程：–计算卡尔曼增益：K(k) = P(k-) * C(k)^T * (C(k) * P(k-) * C(k)^T + R(k)) ^ -1–更新状态估计和误差协方差矩阵：x̂(k) = x̂(k-) + K(k) * (y(k) - h(μ(k)))P(k) = (I - K(k) * C(k)) * P(k-)4.重复步骤2和3，更新状态估计和误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波器分类及基本公式根据其应用领域和实现方式，卡尔曼滤波器可以分为线性卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器等。
1. 线性卡尔曼滤波器（Linear Kalman Filter）：线性卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量均为线性的情况。
它基于线性动态系统和高斯噪声的假设。
线性卡尔曼滤波器的基本公式为：预测步骤：$\hat{x}_{k，k-1} = F\hat{x}_{k-1，k-1} + Bu_{k-1}$$P_{k，k-1}=FP_{k-1，k-1}F^T+Q$更新步骤：$y_k = z_k - H\hat{x}_{k，k-1}$$S_k=HP_{k，k-1}H^T+R$$K_k=P_{k，k-1}H^TS_k^{-1}$$\hat{x}_{k，k} = \hat{x}_{k，k-1} + K_ky_k$$P_{k，k}=(I-K_kH)P_{k，k-1}$其中，$\hat{x}$ 表示状态变量的估计值，$P$ 表示状态变量估计值的方差，$F$ 表示状态转移矩阵，$B$ 表示输入矩阵，$u$ 表示系统输入，$Q$ 表示系统模型噪声协方差矩阵，$H$ 表示观测矩阵，$z$ 表示观测值，$y$ 表示观测残差，$R$ 表示观测噪声协方差矩阵，$K$ 表示卡尔曼增益，$I$ 表示单位矩阵。
2. 扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter）：扩展卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量为非线性的情况。
它通过对非线性系统进行线性化，然后应用线性卡尔曼滤波器的思想来进行滤波。
扩展卡尔曼滤波器的基本公式与线性卡尔曼滤波器类似，只是在预测步骤和更新步骤中，将线性化的系统模型和观测模型代替原始非线性模型。
3. 无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter）：无迹卡尔曼滤波器通过使用无迹变换，避免了非线性系统线性化的过程，从而提高了滤波精度，并且对于非线性系统更加稳健。
扩展卡尔曼滤波流程
扩展卡尔曼滤波流程扩展卡尔曼滤波 (EKF) 是一种非线性状态估计技术，在非线性系统中应用卡尔曼滤波原理。
与线性卡尔曼滤波不同，EKF 使用非线性模型来预测状态和协方差矩阵。
流程概述EKF 流程包含以下步骤：状态预测：基于当前状态估计和非线性状态方程预测下一状态。
协方差矩阵预测：基于雅可比矩阵（非线性状态方程对状态的导数）计算协方差矩阵的预测。
测量更新：使用非线性测量方程将测量值融合到状态估计中。
协方差矩阵更新：基于雅可比矩阵（非线性测量方程对状态的导数）计算协方差矩阵的更新。
具体步骤状态预测```x_k+1 = f(x_k, u_k)```其中：x_k 是当前状态估计x_k+1 是预测的下一状态f 是非线性状态方程u_k 是控制输入（如果适用）协方差矩阵预测```P_k+1 = F_k P_k F_k^T + Q_k```其中：P_k 是当前协方差矩阵P_k+1 是预测的下一协方差矩阵F_k 是雅可比矩阵（f 关于 x_k 的导数）Q_k 是过程噪声协方差矩阵测量更新```K_k = P_k H_k^T (H_k P_k H_k^T + R_k)^-1 x_k+1 = x_k+1 + K_k (z_k - h(x_k+1))```其中：z_k 是测量值h 是非线性测量方程H_k 是雅可比矩阵（h 关于 x_k+1 的导数） R_k 是测量噪声协方差矩阵协方差矩阵更新```P_k+1 = (I - K_k H_k) P_k+1```其中：I 是单位矩阵优势非线性系统适用：EKF 适用于具有非线性状态和测量方程的系统。
实时估计：EKF 可以在测量值可用的情况下连续更新状态估计。
局限性非线性模型准确性：EKF 的性能依赖于非线性模型的准确性。
计算成本：EKF 的计算成本可能很高，尤其是在系统具有高维时。
发散风险：如果非线性模型或噪声协方差矩阵不准确，EKF 可能会发散。
应用EKF 广泛用于各种领域，包括：导航和定位机器人学计算机视觉预测控制。
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南京航空航天大学随机信号小论文题目扩展卡尔曼滤波学生姓名梅晟学号SX1504059学院电子信息工程学院专业通信与信息系统扩展卡尔曼滤波一、引言20世纪60年代，在航空航天工程突飞猛进而电子计算机又方兴未艾之时，卡尔曼发表了论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（一种关于线性滤波与预测问题的新方法），这让卡尔曼滤波成为了时域内有效的滤波方法，从此各种基于卡尔曼滤波的方法横空出世，在目标跟踪、故障诊断、计量经济学、惯导系统等方面得到了长足的发展。
二、卡尔曼滤波器卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑便使用了这种滤波器。
目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现。
卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器。
除此以外，还有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及很多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种。
也许最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机、计算机和几乎任何视频或通讯设备中广泛存在。
三、扩展卡尔曼滤波器3.1 被估计的过程信号卡尔曼最初提出的滤波理论只适用于线性系统,Bucy，Sunahara等人提出并研究了扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter，简称EKF)，将卡尔曼滤波理论进一步应用到非线性领域。
EKF的基本思想是将非线性系统线性化，然后进行卡尔曼滤波，因此EKF是一种次优滤波。
同泰勒级数类似，面对非线性关系时，我们可以通过求过程和量测方程的偏导来线性化并计算当前估计。
假设过程具有状态向量x∈ℜn，其状态方程为非线性随机差分方程的形式。
x k=f x k−1,u k−1,w k−1(1.1)观测变量z∈ℜm为：z k=ℎ(x k,v k)(1.2)随机变量w k和v k代表过程激励噪声和观测噪声。
它们为相互独立，服从正态分布的白色噪声：p(w) ∼N(0, Q),p(v) ∼N(0, R).实际系统中，过程激励噪声协方差矩阵Q 和观测噪声协方差矩阵R 可能会随每次迭代计算而变化。
但在这我们假设它们是常数。
差分方程式(1.1)中的非线性函数f 将过去k −1 时刻状态与现在k 时刻状态联系起来。
量测方程(1.2)中的驱动函数u k和零均值过程噪声w k是它的参数。
非线性函数h 反映了状态变量x k和观测变量z k的关系。
实际中我们显然不知道每一时刻噪声w k和v k各自的值。
但是，我们可以将它们假设为零，从而估计状态向量和观测向量为：x k=f x k−1,u k−1,0(1.3)和z k=ℎ(x k,0)(1.4)其中，x k是过程相对前一时刻k 的后验估计。
有一点非常重要，那就是扩展卡尔曼滤波器的一个基本缺陷：离散随机变量的分布（或连续随机变量的密度）在经过非线性系统转化后不再是正态的了。
扩展卡尔曼滤波器其实就是一个通过线性化而达到渐进最优贝叶斯决策的特殊状态估计器。
3.2 滤波器的计算原型为了估计一个具有非线性差分和量测关系的过程，我们先给出式(1.3)和式(1.4)的一个新的线性化表示：x k≈x k+A x k−1−x k−1+Ww k−1(1.5)z k≈z k+H x k−x k+Vv k(1.6)其中，• x k和z k是状态向量和观测向量的真值，• x k和z k来自1.3式和1.4式，是状态向量和观测向量的近似值，• x k是k 时刻状态向量的后验估计，•随机变量w k和v k表示过程激励噪声和观测噪声。
• A 是f 对x 的偏导的雅可比矩阵：A[i,j]=ðf ijx k−1,u k−1,0• W 是f 对w 的偏导的雅可比矩阵：W[i,j]=ðf iðw jx k−1,u k−1,0• H 是h 对x 的偏导的雅可比矩阵：H[i,j]=ðℎiðx jx k,0• V 是h 对v 的偏导的雅可比矩阵：V[i,j]=ðℎijx k,0现在我们定义一个新的预测误差的表达式：e xk≡x k−x k(1.7)和观测变量的残余，e zk≡z k−z k(1.8)但实际中无法获得(1.7)式中的x k,它是状态向量的真值，也就是要估计的对象。
同样，(1.8)式中的z k也是无法获取的，它是用来估计x k的观测向量的真值。
由(1.7)式和(1.8)式我们可以写出误差过程的表达式：e xk≈A x k−1−x k−1+ϵk(1.9)e zk ≈He xk+ηk(1.10)ϵk和ηk代表具有零均值和协方差矩阵WQW T和VRV T的独立随机变量，Q 和R 分别为过程激励噪声协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵。
在此我们利用(1.8)式中的观测残余真值e zk 去估计(1.9)式中的预测误差e xk，估计结果记为e k，结合(1.7)式可以获得初始非线性过程的后验状态估计：x k=x k+e k(1.11)(1.9)式和(1.10)式中的随机变量具有如下概率分布:p(e xk )~N(0,E[e xke xkT])p(ϵk)~N(0,WQ k W T)p(ηk)~N(0,VR k V T)令e k的估计值为零，由以上近似，可以写出估计e k的卡尔曼滤波器表达式：e k=K k e zk(1.12)将(1.8)式和(1.12)式代入(1.11)式，得到：x k=x k+K k e zk=x k+K k(z k−z k)(1.13) 3.3 拓展卡尔曼滤波总结扩展卡尔曼滤波器的一个重要特性是卡尔曼增益K k的表达式中的雅可比矩阵H k能够正确地传递或“加权”观测信息中的有用部分。
例如，如果通过h 观测变量z k和状态变量没有一一对应的关系，雅可比矩阵H k便通过改变卡尔曼增益从而使得残余z k−ℎ(x k−,0)中真正作用于状态变量的部分被加权。
当然，如果整个观测中观测变量z k和状态变量通过h 都没有一个一一对应的关系，那么滤波器很快就会发散。
这种情况下过程是不可观测的。
拓展卡尔曼滤波器基本运行流程图如下：四、Matlab仿真附程序如下:clc; close all; clear all;Xint_v = [1; 0; 0; 0; 0];wk = [1 0 0 0 0];vk = [1 0 0 0 0];for ii = 1:1:length(Xint_v)Ap(ii) = Xint_v(ii)*2;W(ii) = 0;H(ii) = -sin(Xint_v(ii));V(ii) = 0;Wk(ii) = 0;endUk = randn(1,200);Qu = cov(Uk);Vk = randn(1,200);Qv = cov(Vk);C = [1 0 0 0 0];n = 100;[YY XX] = EKLMNFTR1(Ap,Xint_v,Uk,Qu,Vk,Qv,C,n,Wk,W,V);for it = 1:1:length(XX)MSE(it) = YY(it) - XX(it);endtt = 1:1:length(XX);figure(1); subplot(211); plot(XX); title('ORIGINAL SIGNAL');subplot(212); plot(YY); title('ESTIMATED SIGNAL');figure(2); plot(tt,XX,tt,YY); title('Combined plot'); legend('original','estimated'); figure(3); plot(MSE.^2); title('Mean square error');%--------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------function [YY,XX] = EKLMNFTR1(Ap,Xint_v,Uk,Qu,Vk,Qv,C,n,Wk,W,V);Ap(2,:) = 0;for ii = 1:1:length(Ap)-1Ap(ii+1,ii) = 1;endinx = 1;UUk = [Uk(inx); 0; 0; 0; 0];PPk = (Xint_v*Xint_v');VVk = [Vk(inx); 0; 0; 0; 0];Qv = V*V';for ii = 1:1:length(Xint_v)XKk(ii,1) = Xint_v(ii)^2; %FIRST STEP endPPk = Ap*PPk*Ap'; % SECOND STEPKk = PPk*C'*inv( (C*PPk*C') + (V*Qv*V') ); % THIRD STEPfor ii = 1:1:length(Xint_v)XUPK(ii,1) = XKk(ii)^2 + UUk(ii); % UPPER EQUATIONS.Zk(ii,1) = cos(XUPK(ii)) + VVk(ii); % UPPER EQUATIONS.endfor ii = 1:1:length(XKk)XBARk(ii,1)=XKk(ii)+ Kk(ii)*(Zk(ii) - (cos(XKk(ii)))) ; % FOURTH STEPendII = eye(5,5);Pk = ( II - Kk*C)*PPk; % FIFTH STEP %--------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------for ii = 1:1:nUUk = [Uk(ii+1); 0; 0; 0; 0];PPk = XBARk*XBARk';VVk = [Vk(ii+1); 0; 0; 0; 0];XKk = exp(-XBARk); % FIRST STEP PPkM = Ap*PPk*Ap'; % SECOND STEPKk = PPkM*C'*inv( (C*PPkM*C') + (V*Qv*V') ); % THIRD STEPfornn = 1:1:length(XBARk)XUPK(nn) = exp(-XKk(nn)) + UUk(nn); % UPPER EQUATIONS. Zk(nn) = cos(XUPK(nn)) + VVk(nn); % UPPER EQUATIONS. endfor in = 1:1:length(XUPK)XNEW(in) = XBARk(in)+Kk(in)*(Zk(in) - cos(XBARk(in))); % FOURTH STEPendII = eye(5,5);Pk = (II - Kk*C)*PPkM; % FIFTH STEPXBARk = XNEW;OUTX(ii) = XBARk(1,1);OUTY(ii) = Zk(1,1);endYY = OUTY;XX = OUTX;。