量子力学与统计物理习题解答(理论物理导论)北理工 李卫 修订版
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2. 一维线性谐振子处于状态
（1）求归一化因子A；
（2）求谐振子坐标小 的平均值；
（3）求谐振子势能的平均值。
解：（1）
由归一化的定义
得
（2）
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故
（3）
将 、 代入，可得
是总能量的一半，由能量守恒定律
可知动能平均值
和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
，则必有
由此可得方程的解为
由归一化条件
可知
解得
故在阱内的波函数为
粒子的能量
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为
因此只要作坐标平移代换 ，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。
4．带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动， ，试证明粒子的能量和波函数分别为
（2）此耦合谐振子第一激发态（N= 1）能量的一级修正
证明：
（1）
微扰项
无微扰项
无微扰时的定态薛定谔方程
因算符 仅与x1有关、 仅与x2有关，可分离变量，令
则前述方程可分离为两个独立的方程
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量
总能量
（2）N=1时，耦合谐振子有两种状态，即谐振子1处于第一激发态，谐振子2处于基态
证明：势函数与时间无关，是定态问题。定态薛定谔方程为
上式可改写为
即
作代换Baidu Nhomakorabea， ，则方程化为标准的一维谐振子方程
其解为
能量为
代换回去得能量
波函数
我们看一下谐振子所受的力
由F=0可知谐振子的平衡点不再是
而是平移到
作代换 ，无非是将坐标原点移到新的平衡点 ，移到新的平衡点后，与标准谐振子的力函数表达式完全相同。
5．有一维势垒如下图所示，自由粒子沿 方向向势垒运动， ，求粒子的透射系数D。提示：写出 表达式；令 ，解出积分限b；利用（2-104）式得D，并注意简化运算。
解：
由
可得
故
6．粒子在三维无限深势阱
中运动，求粒子的波函数和能量。
解：势能不含时间是定态问题。在阱外，波函数
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
2．设粒子在被限制在半径为 的球内运动，其势能函数为
求粒子角动量为零时的波函数和能量。提示：利用（4-50）式，注意到 ，令 。
解：在球外，波函数
在球内，波函数满足定态薛定谔方程
因角动量为零，即 ，方程变为常微分方程
上式可改写为
令 ，代入得
进一步改写为
令 ，代入得标准二阶常微分方程
方程的通解为
在球心，由波函数 有限性可知 （注意 ），即
得
在边界上，由波函数连续性可知
即
得
波函数
由归一化条件
可得
波函数
能量
在球心 处，波函数
3．氢原子处于基态，求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径 以外的几率。
解：
4．分别求出氢原子处于2s态 和2p态 时,电子径向分布几率取最大值时的r值。这两个r值是否等于相应的波尔轨道半径?
解：2s态径向分布几率
令
即
试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为
粒子的能量为
证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
上式可变形为
令 ，则方程化为
该方程的通解为
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
将通解代入有
由此可得
A和B不能同时为零，否则解无意义。 ，则必有
展开化简得
代入二次方程求根公式有
式中
；
；
6.对有兼并情况，当零级近似波函数为 ，已知。试证能量的一级修正
。
证明1：
两边乘 并积分
由厄米算符的性质，积分
故有
由零级近似波函数为 的正交归一性
得
证明2：
因
故
由归一化条件知 ，则
谐振子2处于第一激发态，谐振子1处于基态
两种状态具有同样的能量，是简并的。微扰矩阵元
由于被积函数是奇函数，在对称区间上积分为0，故
同理
积分
故
同理
代入久期方程有
即
解得
5．一体系的 能级为二度兼并，对应的本征函数为 、 ，试证此体系有微扰 作用时，体系能量的一级修正
并写出各 的表达式。
证明：由久期方程
可得
量子力学与统计物理习题解答
第一章
1.一维运动粒子处于
的状态，式中>0，求
（1）归一化因子A；
（2）粒子的几率密度；
（3）粒子出现在何处的几率最大？
解：（1）
令 ，则
由归一化的定义
得
（2）粒子的几率密度
（3）在极值点，由一阶导数
可得方程
而方程的根
； ；
即为极值点。几率密度在极值点的值
； ；
由于P(x)在区间(0，1/)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/，)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为 ，出现在 处。
令 ，则方程可化为标准形式
令
代入方程有
除以XYZ，可得
要使上式成立，必然有
即
由波函数的连续性可知在边界上
由方程和边界条件可得
由归一化条件可得
； ；
或
波函数
能量
第四章
1．试证 为 和 的共同本征函数，并求出相应的本征值。
证明：
满足 的本征方程，是 的本征函数，本征值是 。
满足 的本征方程，也是 的本征函数，本征值是 。故 为 和 的共同本征函数。
得
因
所以 、 和 不是最大点。
因
和 是极大值点，但 ，所以 是最大值点。
5．求出氢原子p态电子（l=1）当m=1时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电子沿确定轨道运动的概念是否一致？
解：
若电子沿确定轨道运动，即沿确定空间曲线运动，则电子只应出现在该曲线上。但上式表明角分布几率与 无关，电子不是分布在曲线上，而是分布在空间一个相当宽的区域。故电子不是沿确定轨道运动，与旧量子论概念不一致。
第五章
1.一维非线性谐振子处于势场 ，求该非线性谐振子基态的一级近似能量。
解：
无微扰项
为线性谐振子，其基态波函数
微扰项
基态的一级近似能量
因被积函数是奇函数，第一项积分
因被积函数是偶函数，第二项积分
即
3.有两个谐振子组成的耦合谐振子，其能量算符
式中 为两谐振子的相互作用能量，可视为 。试证：
（1）此耦合谐振子的零级近似能量
（1）求归一化因子A；
（2）求谐振子坐标小 的平均值；
（3）求谐振子势能的平均值。
解：（1）
由归一化的定义
得
（2）
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故
（3）
将 、 代入，可得
是总能量的一半，由能量守恒定律
可知动能平均值
和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
，则必有
由此可得方程的解为
由归一化条件
可知
解得
故在阱内的波函数为
粒子的能量
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为
因此只要作坐标平移代换 ，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。
4．带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动， ，试证明粒子的能量和波函数分别为
（2）此耦合谐振子第一激发态（N= 1）能量的一级修正
证明：
（1）
微扰项
无微扰项
无微扰时的定态薛定谔方程
因算符 仅与x1有关、 仅与x2有关，可分离变量，令
则前述方程可分离为两个独立的方程
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量
总能量
（2）N=1时，耦合谐振子有两种状态，即谐振子1处于第一激发态，谐振子2处于基态
证明：势函数与时间无关，是定态问题。定态薛定谔方程为
上式可改写为
即
作代换Baidu Nhomakorabea， ，则方程化为标准的一维谐振子方程
其解为
能量为
代换回去得能量
波函数
我们看一下谐振子所受的力
由F=0可知谐振子的平衡点不再是
而是平移到
作代换 ，无非是将坐标原点移到新的平衡点 ，移到新的平衡点后，与标准谐振子的力函数表达式完全相同。
5．有一维势垒如下图所示，自由粒子沿 方向向势垒运动， ，求粒子的透射系数D。提示：写出 表达式；令 ，解出积分限b；利用（2-104）式得D，并注意简化运算。
解：
由
可得
故
6．粒子在三维无限深势阱
中运动，求粒子的波函数和能量。
解：势能不含时间是定态问题。在阱外，波函数
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
2．设粒子在被限制在半径为 的球内运动，其势能函数为
求粒子角动量为零时的波函数和能量。提示：利用（4-50）式，注意到 ，令 。
解：在球外，波函数
在球内，波函数满足定态薛定谔方程
因角动量为零，即 ，方程变为常微分方程
上式可改写为
令 ，代入得
进一步改写为
令 ，代入得标准二阶常微分方程
方程的通解为
在球心，由波函数 有限性可知 （注意 ），即
得
在边界上，由波函数连续性可知
即
得
波函数
由归一化条件
可得
波函数
能量
在球心 处，波函数
3．氢原子处于基态，求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径 以外的几率。
解：
4．分别求出氢原子处于2s态 和2p态 时,电子径向分布几率取最大值时的r值。这两个r值是否等于相应的波尔轨道半径?
解：2s态径向分布几率
令
即
试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为
粒子的能量为
证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
上式可变形为
令 ，则方程化为
该方程的通解为
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
将通解代入有
由此可得
A和B不能同时为零，否则解无意义。 ，则必有
展开化简得
代入二次方程求根公式有
式中
；
；
6.对有兼并情况，当零级近似波函数为 ，已知。试证能量的一级修正
。
证明1：
两边乘 并积分
由厄米算符的性质，积分
故有
由零级近似波函数为 的正交归一性
得
证明2：
因
故
由归一化条件知 ，则
谐振子2处于第一激发态，谐振子1处于基态
两种状态具有同样的能量，是简并的。微扰矩阵元
由于被积函数是奇函数，在对称区间上积分为0，故
同理
积分
故
同理
代入久期方程有
即
解得
5．一体系的 能级为二度兼并，对应的本征函数为 、 ，试证此体系有微扰 作用时，体系能量的一级修正
并写出各 的表达式。
证明：由久期方程
可得
量子力学与统计物理习题解答
第一章
1.一维运动粒子处于
的状态，式中>0，求
（1）归一化因子A；
（2）粒子的几率密度；
（3）粒子出现在何处的几率最大？
解：（1）
令 ，则
由归一化的定义
得
（2）粒子的几率密度
（3）在极值点，由一阶导数
可得方程
而方程的根
； ；
即为极值点。几率密度在极值点的值
； ；
由于P(x)在区间(0，1/)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/，)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为 ，出现在 处。
令 ，则方程可化为标准形式
令
代入方程有
除以XYZ，可得
要使上式成立，必然有
即
由波函数的连续性可知在边界上
由方程和边界条件可得
由归一化条件可得
； ；
或
波函数
能量
第四章
1．试证 为 和 的共同本征函数，并求出相应的本征值。
证明：
满足 的本征方程，是 的本征函数，本征值是 。
满足 的本征方程，也是 的本征函数，本征值是 。故 为 和 的共同本征函数。
得
因
所以 、 和 不是最大点。
因
和 是极大值点，但 ，所以 是最大值点。
5．求出氢原子p态电子（l=1）当m=1时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电子沿确定轨道运动的概念是否一致？
解：
若电子沿确定轨道运动，即沿确定空间曲线运动，则电子只应出现在该曲线上。但上式表明角分布几率与 无关，电子不是分布在曲线上，而是分布在空间一个相当宽的区域。故电子不是沿确定轨道运动，与旧量子论概念不一致。
第五章
1.一维非线性谐振子处于势场 ，求该非线性谐振子基态的一级近似能量。
解：
无微扰项
为线性谐振子，其基态波函数
微扰项
基态的一级近似能量
因被积函数是奇函数，第一项积分
因被积函数是偶函数，第二项积分
即
3.有两个谐振子组成的耦合谐振子，其能量算符
式中 为两谐振子的相互作用能量，可视为 。试证：
（1）此耦合谐振子的零级近似能量