高2019级高三数学阶段测试题(2019.10)

高2019级高三数学阶段测试题（2019.10）1、【理】已知复数z3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A．32B. 34C. 32D.34 1．【文】不等式211x ≥-的解集为（ ）A ．(,1)[3,)-∞+∞ B ．(,1][3,)-∞+∞ C ．[1，3] D ．(1,3]2、【理】lim )x x →+∞=（ ）A ．0B ．1C ．12D ．22、【文】已知数列{}n a 为等比数列，且592122,cos()3a a a a π⋅=⋅则= （ ） A ．12B ．—12 CD3、若2tan(2)0(),(2)(2)log (2)04x x f x f f x x π-≥⎧=+⋅-=⎨-+<⎩则（ ）A ．12B ．—12C ．2D ．—24、【理】已知函数23(0)()(0)x x f x a x -≠⎧=⎨=⎩在0x =处连续，则2221lim n an a n n →∞+=+( )A ．0B ．1C ．13D ．13-4、【文】“1cos 2x =”是“2,3x k k Z ππ=+∈”的 条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5、将函数)3cos(π-=x y 的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位，所得函数的图象的一条对称轴为( ) A ．9x π= B ．8x π= C ．2x π=D ．x π=6、若函数a x a ax x f 3)1()(22--+=为偶函数，其定义域为[]1,242++a a ，则)(x f 的最小值为（ ） A ． 2 B ．0C ．1-D ．37、函数23)1(-+=x f y 为奇函数，)(1x f y -=是)(x f y =的反函数，若0)3(=f ，则=-)3(1fA ．1- B. 1 C. 2- D. 28、定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有1||||n n a a d ++=（d 为常数），则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”1{},2n a a =中，“绝对公和”2d =，则其前2019项和2010S 的最小值为（ ）A ．—2019B ．—2019C ．—2019D ．—20199、若2)nx 8项，则展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项10．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书．若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为（ ） A ．12 B ．916 C ．1116D ．72411、当R x ∈时，函数)(x f y =满足：)1.2()1.3()1.1(x f x f x f +=+++，且,15lg )2(,23lg )1(==f f ，则=)2011(f （ ）A ． 23B ．23lgC ．lg15D ．23lg12、设()f x 和()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意的[,]x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“密切函数”，[,]a b 称为“密切区间”，设 2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[,]a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）.A [1,4].B [2,3] .C [3,4] .D [2,4]二、填空：本大题共4题，每小题4分，共16分 13、设等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、nT ，若34153+-=n n T S nn ，则=55b a14、已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则通项公式为n a =15、设奇函数()x f 在[]1,1-上是增函数，且()11-=-f ，当[]1,1-∈a 时， ()122+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 恒成立，则t 的取值范围是16、用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3π=，(]1.22-=-．有下列命题：①若函数(](),f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[)1,0-；②若(1,4)x ∈，则方程(]15x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列(]{}n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y ⋅=的概率为29P =．其中，所有正确命题的序号是三、解答题：17—21题各12分，22题14分，共74分17．【理】已知集合{}3A x x =≤，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，.（1）若m =3，求B A C R ⋂)(； （2）若A B A =，求实数m 的取值范围.17、【文】已知.2cos cos sin 2)(x x x x f += （I ）求)4(πf 的值；（II ）设απαsin ,51)2(),,0(求=∈af 的值。

18、【理】下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球．设掷n 次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x ，y ，z .(1)当n ＝3时，求x 、y 、z 成等差数列的概率； (2)当n ＝6时，求x 、y 、z 成等比数列的概率；(3)设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求Eξ. 18、【文】某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目，这三个项目投资是否成功相互(1)(2)求至少有一个项目投资成功的概率．19．（本题12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且11,a b =2211().b a a b -=（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n ．20．（本题12分）已知函数f (x )=a x +2-1（a >0，且a ≠1）的反函数为)(1x f -． （1）求)(1x f -；（2）若)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值； （3）设函数1log )(-=x a x g a ，求不等式g(x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21、 已知定义在R 上的函数3()3f x ax x =-，a 为常数，且1x =是函数()f x 的一个极值点．（Ⅰ）若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线2x =对称，求函数()g x 的解析式。

（Ⅱ）过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求m 的取值范围．22．对于函数)(x f ，若存在∈0x R ，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点．如果函数),(,)(*2N c b c bx a x x f ∈-+=有且仅有两个不动点0和2，且21)2(-<-f（1）求实数b ，c 的值；（2）已知各项不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ，并且1)1(4=⋅nn a f S ， 求数列{}n a 的通项公式；【理科做，文科不做】（3）求证：n n a na n a e a )11(1)11(1-<<-+．参考答案一、选择题：理科：DACDCC ABBBBB 文科：DBCBCC ABBBBB 二、填空题： 13．134； 14 ⎩⎨⎧∈≥==),2(,2)1(,3*N n n n n a n ；15. 022=-≤≥t t t 或或； 16，①②④三、解答题：17—21题各12分，22题14分，共74分17．【理】（1）当m =3时，{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，， 而()33A =-，，于是(][)33A =-∞-+∞R ，，ð，所以()[)37.A B =R ，ð 5分（2）A B A B A =⇔⊆.若B =∅，则121m m -=+，解得 2.m =-若B ≠∅，由B A ⊆得23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤， 解得21m -<≤.综上得实数m 的取值范围是[]21-，. 12分 17、【文】解： （Ⅰ） 1.4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（Ⅱ）11sin cos .255f ααα⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭1(0,)sin cos 5απαα∈+=且242sin cos 25αα∴=-()249sin cos ,252παααπ⎛⎫∴-=∈ ⎪⎝⎭且74sin cos ,sin .55ααα∴-=∴=18、【理】【解析】 (1)因为x ＋y ＋z ＝3，且2y ＝x ＋z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，z ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，z ＝0.当x ＝0，y ＝1，z ＝2时，只投掷3次出现1次2点或3点、2次4点或5点或6点，即此时的概率为C 13·⎝⎛⎭⎫160·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫122＝14. 当x ＝1，y ＝1，z ＝1时，只投掷3次出现1次1点、1次2点或是3点、1次4点或5点或6点，即此时的概率为C 13·C 12·⎝⎛⎭⎫161·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫121＝16. 当x ＝2，y ＝1，z ＝0时，只投掷3次出现2次1点、1次2点或3点，即此时的概率为C 13·⎝⎛⎭⎫162·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫120＝136.故当n ＝3时，x ，y ，z 成等差数列的概率为14＋16＋136＝49.(2)当n ＝6，且x ，y ，z 成等比数列时，由x ＋y ＋z ＝6，且y 2＝xz ，得x ＝y ＝z ＝2.此时概率为C 26·⎝⎛⎭⎫162·C 24·⎝⎛⎭⎫132·C 22·⎝⎛⎭⎫122＝572. (3)ξ的可能值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫124＋C 14⎝⎛⎭⎫161C 13⎝⎛⎭⎫131C 22⎝⎛⎭⎫122＋C 24⎝⎛⎭⎫162C 22⎝⎛⎭⎫132＝107432； P (ξ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫161⎝⎛⎭⎫123＋C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫123＋C 24⎝⎛⎭⎫162C 12⎝⎛⎭⎫131C 11⎝⎛⎭⎫121＋C 14⎝⎛⎭⎫161C 23⎝⎛⎭⎫132C 11⎝⎛⎭⎫121＝512；P (ξ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫162⎝⎛⎭⎫122＋C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫122＋C 34⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫131＋C 14⎝⎛⎭⎫161⎝⎛⎭⎫133＝155648；P (ξ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫121＋C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫121＝112； P (ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫164＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝171 296； Eξ＝107432×0＋512×1＋155648×2＋112×3＋171 296×4＝9781.18．【文】【解析】 (1)设投资甲、乙、丙三个不同项目成功的事件分别为 A 、B 、C ，P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝23×13×14＋13×23×14＋13×13×34＝736. 所以恰有一个项目投资成功的概率为736.(2)P 2＝1－P (A B C )＝1－13×13×14＝3536.所以至少有一个项目投资成功的概率为3536.19、（1）当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.设{b n }的通项公式为11,,q b qd b =则14,.4d q =∴=故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即6分（2）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得 12311312(4444)(21)4[(65)45],3n n n n T n n -=--+++++-=-+1[(65)45].9n n T n ∴=-+12分20、解：（1）令y=f (x)=a x+2-1，于是y+1=a x+2，∴ x+2=log a (y+1)，即x=log a (y+1)-2，∴ )(1x f -=log a (x+1)-2(x>-1)．…………………………………（3分） （2）当0<a<1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴-2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）．当a>1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………（ 7分）（3）由已知有log a 1-x a ≤log a (x+1)-2，即1log -x a a ≤21log ax a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵]2131[，∈a ，∴ 21a x +≤1-x a ．①由21ax +>0且1-x a>0知x+1>0且x-1>0，即x>1，于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式 x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u=a 3+1在]2131[，∈a上是增函数，∴2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212．结合x>1得1<x ≤9212．∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛92121，．…(12分) 21、解：（1）2()3(1)f x ax '=-，1x =是函数()f x 的一个极值点，则(1)0,10, 1.f a a '=∴-=∴= …………1分又()3(1)(1)f x x x '=+-，函数()f x 在1x =两侧的导数异号， 1.a ∴=…………3()(4)3(4)g x x x =--- ………………………(6分)(2) 2()3(1)f x x '=-,设切点为00(,)T x y ，则切线的斜率为320000033311y m x x mk x x x ---=-==--，…………整理得322330x x m -++=，依题意，方程有3个根. …………9分 设32()233h x x x m =-++，则2()666(1).h x x x x x '=-=-令()0h x '=，得120,1x x ==，则()h x 在区间(,0),[1,)-∞+∞上单调递增，在区间(0,1)上单调递减. …………11分因此，(0)30(1)20h m h m =+>⎧⎨=+<⎩，解得32m -<<-.所以m 的取值范围为(3,2).--……12分22、解：（1）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+⇒≠=++-⇒=-+,102,102)1(0)1(22b a bc b a cx x b x c bx a x ⎪⎩⎪⎨⎧+==∴,21,0c b a.)21()(2c x c x x f -+=∴由312112)2(<<-⇒-<+-=-c c f ，又b ，∈c N *，.2,2==∴b c …（理4分，文7分）（2）由（1）知)1()1(2)(2≠-=x x x x f ，)1()1(21)11(21)1(2≠-=-=∴n n n nn n a a a a a a f ， 又1)1(4=⋅nn a f S ，∴22n n n a a S -=，当2≥n 时，21112----=n n n a a S ，两式相减,得0)1)((11=+-+--n n n n a a a a ,1--=∴n n a a 或.11-=--n n a a 当，n 时1=1212111-=⇒-=a a a a ，若1--=n n a a ，则12=a ，这与1≠n a 矛盾． 11-=-∴-n n a a ，n a n -=∴．（*N n ∈）……………（理9分，文14分）（3）由（2）知，待证不等式即为n n n e n-+-+<<+)11(1)11()1(，它等价于.)11()11(1++<<+n n ne n 两边取对数可得.1)11ln(11)11ln()1(1)11ln(nn n n n n n <+<+⇒++<<+………………若令即证，n x 1=)0()1ln(1><+<+x x x x x，构造函数)1ln()(x x x g +-=，1)1ln()(+-+=x x x x h ，则xx x g +='1)(，2)1()(+='x x x h ，0>x ，x xx g +='∴1)(，2)1()(+='x xx h ．0>x ，0)(>'∴x g ，0)(>'x h ，)(x g 、)(x h 在),0(+∞上都是增函数，于是0)0()(=>g x g ，0)0()(=>h x h ，从而当0>x 时，则有.)1ln(1x x x x<+<+即nn n 1)11ln(11<+<+，∴原不等式成立．……（理14分）。