自动控制原理3-2稳定性和误差共32页
动态误差系数法
（1）静态误差系数: Kp, Kv, Ka （2）计算误差方法
1）系统稳定 （3）适用条件 2）按输入端定义误差
3）r(t)作用,且r(t)无其他前馈通道
§3.6.4 干扰作用引起的稳态误差分析 第2页/共35页
举例
例1 系统结构图如图所示，当r(t)=t 时，要求ess<0.1，求K的范围。
第16页/共35页
时域分析法小结（2）
2．某0型单位反馈系统的开环增益为K，则在
○
r(t) 1 t 2 输入下，系统的稳态误差为
2
A．0； B． ； C．1 K ； D． A K 。*
3．动态系统 0 初始条件是指 t<0 时系统的
○
A．输入为 0 ；
B．输入、输出以及它们的各阶导数为 0；
C．输入、输出为 0；
校正：采用适当方式，在系统中加入一些结构和参数可调整 的装置（校正装置），用以改善系统性能，使系统满 足指标要求。
校正方式： 串联校正， 反馈校正， 复合校正
第11页/共35页
§3.7
线性系统时域校正（2）
§3.7.1 反馈校正
反馈的作用
（（123））减深局小度部被负正包反围馈环可节以提的有高时效 环间降 节常低 增数被 益包围环节的影响
T
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§3.7.1
反馈校正 (1)
例2 系统结构图如图所示。 解. (1) K t 0 时 系统结构不稳定！
（1）Kt=0 时系统的性能? （2）Kt 时，s, ts 变化趋势?
x0.707时, s, ts =？
（3）Kt ，r(t)=t ，ess变化趋势?
(((32GKK2K))()K(Ktttss)txt)GGKKKD2(2((ttt(,sss,s22ss)))02()x::xs.100x7.K1140时s1s时K0ss0121170tK(121022K0s140t0t0K,0t110st0101 )0K00010xKt00stt)stst0s0ss000K30vxn00.sKv50.t14t5sx10Ks910s0021t50101Kn3K00,0nt000.t5x1K02nt
自动控制原理试卷、习题及答案2套
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2-5 求图示运算放大器构成的网络的传递函数。
题 2-5 图
2-6 已知系统方框图如图所示，试根据方框图简化规则，求闭环传递函数。
题 2-6 图
2-7
分别求图示系统的传递函数 C1 (s) 、 C2 (s) 、 C1 (s) 、 C2 (s) R1 (s) R1 (s) R2 (s) R2 (s)
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自动控制 (A )试卷
一、系统结构如图所示，u1 为输入， u2 为输出，试求
1．求网络的传递函数 G(s)=U1(s)/U2(s)
2． 讨论元件 R1，R2，C1，C2 参数的选择对系统的稳定性是否有影响。（15 分）
i2
i1
C1
R1
U1
R2
U2
C2
二、图示系统，试求，
（1） 当输入 r(t)=0，n(t)=1(t)时，系统的稳态误差 ess; （2） 当输入 r(t)=1(t)，n(t)=1(t)时，系统的稳态误差 ess; （3） 若要减小稳态误差，则应如何调整 K1，K2？（15 分）
（2） 三阶系数的一对主导极点为 s1,2 1 j2 ，求同时满足上述条件的开环传递函 数G(s) 。
3 – 10 系统结构图如图所示，试求当 0 时，系统的 和
n 之值，如要求 =0.7，试确定参数 。
题 3-10 图
3 – 11 设单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定系统稳定时 K 的取值范围。
输入信号 r(t)=1 作用下，能使给定系统成为最少拍系统的数字控制器的
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
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自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
自动控制原理_第3章2
令Gc (s)
通信技术研究所
G f ( s) G( s)
, 得C (s) G( s) R( s) C ( s)
13
<例3-15>r(t)=1,n(t)=1 ,求ess
通信技术研究所
14
1 2 <例3-16> r (t ) 1 t t ,求ess 2 注：E=R-C
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （1） 0, K p lim 0 1 K s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s 0
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) , ess 0 （2） 1, K p lim 1 s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 2, K p lim 2 , ess 0 （ 3） s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 0, Kv lims 0 0, ess （ 1） s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （2） 1, Kv lims 1 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tj s 1) K s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) （3） 2, Kv lims 2 , ess 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0
《自动控制原理》稳定性和稳态误差
7-5 离散系统的稳定性和稳定误差 回顾：线性连续系统 稳定性和稳态误差问题：线性离散系统 稳定性和稳态误差 ？分析：sT e z =，首先研究s 平面与z 平面的关系。
一．s 域到z 域的映射s 域到z 域的关系： sT e z = S → Zs 域中的任意点可表示为ωσj s +=，映射到z 域则为 T j T T j e e e z ωσωσ==+)(ωσj s += ━━━━━━━━→ T e z σ=，T z ω=∠ (7—84)问题：s 平面上的点、线、面 如何映射到 z 平面？(1) s 平面上虚轴的映射虚轴：0=σ，ω=∞-→0→∞分析：0=σ时，1==T e z σ，ω=∞-→0→∞时，T z ω=∠==∞-→0→∞ 以原点为圆心的单位圆,经沿着单位圆转过无穷多圈分析：T 采样周期，单位[sec], 采样频率,单位[1/sec] f s =1/T采样角频率 s ω，单位[rad/sec] , T s /2πω=ω=2/s ω-→0→2/s ω时，T z ω=∠=π-→0→π 正好逆时针转一圈ω=2/s ω→s ω→2/3s ω时，T z ω=∠=π→π2→π3 又逆时针转一圈由图可见：可以把s平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从-ωs/2到ωs/2的周期带称为主要带，其余的周期带叫做次要带。
(2) 等σ线映射s 平面上的等σ垂线，映射到z 平面上是以Te z σ=为半径的圆 s 平面上的虚轴映射为z 平面上的单位圆左半s 平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆，在单位圆内 右半s平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆，在单位圆外(3) 等ω线映射在特定采样周期T 情况下，由式(7-84)可知，s 平面的等ω水平线，映射到z 平面上的轨迹，是一簇从原点出发的映射，其相角T z ω=∠从正实轴计量，如图7-36所示。
由图可见，s 平面上2/s ωω=水平线，在z 平面上正好为负实轴。
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
自动控制原理3-2稳定性和误差
3. 加速度输入作用下的稳态误差
11
1
e s sl s 0 is m 1 G (s )H (s )s 3 lis 2 m G (s )H (s )
s 0
令K a ls 0 is2 m G (s)H (s) ls 0 ism N K 2静态加速度误差系数 1
ess Ka
0 型系统：
Ka = 0 ess = ∞
i
k
线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的
所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均
位于s左半平面（不包括虚轴）。
根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道
系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可
判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量
很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面
2 s13 + 4 s12 s1 1 =
0
s13 2
1
s12 4
1
s11 0.5
s10 1
劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号
改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系 统在垂直线 s = 1的右边有一个根。
16
3.6 稳态误差的定义及一般计算公式
3.6.1 误差的基本概念
的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。
5
3.5.2 线性系统的代数稳定判据
首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭
环特征方程为
n
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n a 0( s s i ) 0 i 1
式中，a0 >0 , si（i =1,2 , , n）是系统的n个闭环极
自动控制原理控制系统的稳定性及特性PPT课件
劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4 行) 的各项组成辅助方程为 F(s) s4 5s2 4 0 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程
dF (s) 4s3 10s 0 ds 第24页/共68页
用导数方程的系数取代
s6 1 6 9 4 s5 1 5 4
故有两个实部为正。 的根
第18页/共68页
例 3-8 已知系统的特征方s程3 4s 2 6 0
，
试判断系统的正的特征根的个数。
解：它有一个系数为负的，根据劳斯判据知系统不稳定。
但究竟有几个右根，需列劳斯表：
s3 1 1 s2 4 6 s1 2.5 s0 6
劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个 右半平面的根
故系统稳定。
第13页/共68页
3.3.3 稳定判据 1. Routh稳定判据 系统的特征方程为
必要条件:
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。
充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
第14页/共68页
劳斯阵列
c1
b1an3 an1b2 b1
b2
an1an4 anan5 an1
c2
b1an5 an1b3 b1
第15页/共68页
例3-5 已知系统的特征方程为 (s) s3 3s2 s 55 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s3 1 1 s2 3 55 s1 52 3 0 s0 55 0
控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及?系统的稳定性是系统正常工作的首要条件系统的稳定性是系统正常工作的首要条件?系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定?系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定与系统的输入无关
自动控制原理第二版课后答案(孟庆明)
自动控制原理第二版课后答案(孟庆明)目录第一章 (1)第二章 (2)第三章 (5)第四章 (15)第五章 (18)第六章 (27)1-1（略） 1-2（略） 1-3 解：受控对象：水箱液面。
被控量：水箱的实际水位 h c 执行元件：通过电机控制进水阀门开度，控制进水流量。
比较计算元件：电位器。
测量元件：浮子，杠杆。
放大元件：放大器。
工作原理：系统的被控对象为水箱。
被控量为水箱的实际水位 h 。
给定值为希望水位 h （与电位器设定 c r 电压 u r 相对应，此时电位器电刷位于中点位置）。
当 h c = h r 时，电位器电刷位于中点位置，电动机不工作。
一但 h c ⎺ h r 时，浮子位置相应升高（或降低），通过杠杆作用使电位器电刷从中点位置下移（或上移），从而给电动机提供一定的工作电压，驱动 电动机通过减速器使阀门的开度减小（或增大），以使水箱水位达到希望值 h r 。
水位自动控制系统的职能方框图1-4 解：受控对象：门。
执行元件：电动机，绞盘。
放大元件：放大器。
受控量：门的位置 测量比较元件：电位计工作原理：系统的被控对象为大门。
被控量为大门的实际位置。
输入量为希望的大门位置。
当合上开门开关时，桥式电位器测量电路产生偏差电压，经放大器放大后，驱动电动机带动绞盘转动， 使大门向上提起。
同时，与大门连在一起的电位器电刷上移，直到桥式电位器达到平衡，电动机停转，开 门开关自动断开。
反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘反转，使大门关闭。
开(闭)门门实际 仓库大门自动控制开（闭）的职能方框图1-5 解：系统的输出量：电炉炉温 给定输入量：加热器电压 被控对象：电炉第一章放大元件：电压放大器，功率放大器，减速器比较元件：电位计 测量元件：热电偶 职能方框图： 2-1 解：对微分方程做拉氏变换：♣ X 1 (s ) = R (s ) C (s ) + N 1 (s ) ♠ ♠ X 2(s ) = K 1 X 1 (s )♠ X 3 (s ) = X 2 (s ) X 5 (s ) ♦♠TsX 4 (s ) = X 3 (s )♠ X 5 (s ) = X 4 (s ) K 2 N 2 (s ) ♠ ♠K X (s ) = s 2C (s ) + sC (s ) ♥3 5 绘制上式各子方程的方块图如下图所示：(s)3(s)5(s)K 1K 3C (s ) / R (s ) = ， Ts 3 + (T + 1)s 2+ s + K K 1 3第二章C (s ) / N 1 (s ) = C (s ) / R (s ) ，K 2 K 3Ts C (s ) / N (s ) = 2Ts 3 + (T + 1)s 2 + s + K K 1 32-2 解：对微分方程做拉氏变换♣ X 1 (s ) = K [R (s ) C (s )]♠♠ X 2 (s ) = ⎜ sR (s )♠(s + 1) X 3 (s ) = X 1 (s ) + X 2 (s ) ♦♠(Ts + 1) X 4 (s ) = X 3 (s ) + X 5 (s ) ♠C (s ) = X (s ) N (s ) 4 ♠ ♠♥ X 5 (s ) = (Ts + 1) N (s )绘制上式各子方程的方块如下图：⎜ s K+ K + ⎜ s = (s + 1)(Ts + 1) (s + 1)(Ts + 1) = C (s ) R (s ) k Ts 2+ (T + 1)s + (K + 1) 1 + (s + 1)(Ts + 1)C (s )N (s ) =0 2-3 解：（过程略） C (s ) 1 C (s ) =G 1 + G 2 (a)=R (s ) ms 2 + fs + K(b)R (s ) 1 + G G G G + G G G G 1 3 1 4 2 3 2 4C (s ) = G 2 + G 1G 2 C (s ) = G 1 G 2 (c)(d)R (s ) 1 + G 1 + G 2G 1R (s ) 1 G 2G 3C (s ) =G 1G 2G 3G 4 (e)R (s ) 1 + G 1G 2 + G 2G 3 + G 3G 4 + G 1G 2G 3G 42-4 解 ：（1）求 C/R ，令 N=0G (s ) =K 1K 2 K 3s (Ts + 1)K 1K 2 K 3 G (s )C (s ) / R (s ) = = 1 + G (s ) Ts 2 + s + K K K 1 2 3 求 C/N ，令 R=0，向后移动单位反馈的比较点K 3K 2 ) Ts + 1 = K n K 3 s K 1K 2 K 3G n C (s ) / N (s ) = (K G K n n1 K K Ts2 + s + K K K s 1 +3 2 K 1 2 31Ts + 1 s（2）要消除干扰对系统的影响C (s ) / N (s ) = K n K 3 s K 1K 2 K 3G n= 0Ts 2 + s + K K K 1 2 3K n sG (s ) = nK 1K 22-5 解：（a ）（1）系统的反馈回路有三个，所以有3La= L 1 + L 2 + L 3 = G 1G 2G 5 G 2G 3G 4 + G 4G 2G 5a =1三个回路两两接触，可得 ⊗ = 1La= 1 + G 1G 2G 5 + G 2G 3G 4 G 4G 2G 5（2）有两条前向通道，且与两条回路均有接触，所以P 1 = G 1G 2G 3 , ⊗1 = 1 P 2 = 1, ⊗2 = 1（3）闭环传递函数 C/R 为C =G 1G 2G 3 + 1 R 1 + G 1G 2G 5 + G 2G 3G 4 G 4G 2G 5（b ）（1）系统的反馈回路有三个，所以有3La= L 1 + L 2 + L 3 = G 1G 2 G 1 G 1a =1三个回路均接触，可得 ⊗ = 1La= 1 + G 1G 2 + 2G 1（2）有四条前向通道，且与三条回路均有接触，所以P 1 = G 1G 2 , ⊗1 = 1 P 2 = G 1 , ⊗2 = 1 P 3 = G 2 , ⊗3 = 1 P 4 = G 1 , ⊗4 = 1（3）闭环传递函数 C/R 为C = G 1G 2 + G 1 + G 2 G 1 = G 1G 2 + G 2 R 1 + G 1G 2 + 2G 1 1 + G 1G 2 + 2G 12-6 解：用梅逊公式求，有两个回路，且接触，可得 ⊗ = 1La= 1 + G 1G 2G 3 + G 2 ，可得C (s ) = G 1G 2G 3 + G 2G 3C (s ) = C (s ) / R (s )R (s ) 1 + G 1G 2G 3 + G 2 N 1 (s ) (1 + G 2 )G 3C(s ) = 1⋅ (1 + G 1G 2G 3 + G 2 )= 1C(s ) = N 2 (s ) 1 + G 1G 2G 3 + G 2 1 + G 1G 2G 3 + G 2 N 3 (s )E (s ) =1 + G2 G 2G3 E (s ) = C (s ) =G 2G 3 G 1G 2G 3 R (s ) 1 + G 1G 2G 3 + G 2N 1 (s ) N 1 (s ) 1 + G 1G 2G 3 + G 2E(s ) = C (s )(1 + G 2 )G 3 E (s )= C (s )= = 1 N 2 (s ) N 2 (s ) 1 + G 1G 2G 3 + G 2 N 3 (s ) N 3 (s )103-1 解：（原书改为 G (s ) =）0.2s + 1采用 K 0 , K H 负反馈方法的闭环传递函数为10K 0⎫ (s ) =C (s ) = K G (s )1 + 10K H = R (s ) 0 1 + G (s )K 0.2s + 1H1 + 10K H要使过渡时间减小到原来的 0.1 倍，要保证总的放大系数不变，则：（原放大系数为 10，时 间常数为 0.2）10K 0♣ = 10 ♣ K = 10 ♠0 ♦1 + 10K ® ♦ H♥K = 0.9 ♠ H 1 + 10K = 10 ♥ H3-2 解：系统为欠阻尼二阶系统（书上改为“单位负反馈……”，“已知系统开环传递函数”）⎛ % = e⎩⋅100% = 1.3 1 ⋅100%1t p == 0.1第三章解得：⎤n = 33.71 ⎩ = 0.358所以，开环传递函数为：1136 47.1G (s ) = = s (s + 24.1) s (0.041s + 1)3-3 解：（1） K = 10s 1时：100G (s ) = s 2+ 10s⎤ 2 =100 n 2⎩⎤n = 10解得：⎤n = 10, ⎩ = 0.5, ⎛ % = 16.3%, t p = 0.363 （2） K = 20s 1 时：200 G (s ) = s 2+ 10s⎤ 2 = 200 n2⎩⎤n = 10解得：⎤n = 14.14, ⎩ = 0.354, ⎛ %=30%, t p = 0.238结论，K 增大，超调增加，峰值时间减小。
自动控制原理：3-3 控制系统的稳态误差
ans=
2.0000
-2.0000
-0.0000+1.0000i
-0.0000-1.0000i -0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i
由于有1个正实部根的特征根， 所以，系统不稳定。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
3.4.2 MATLAB求控制系统的单位阶跃响应
有差系统 无差系统
准确跟踪 系统
§3-3 控制系统的稳态误差
2.单位斜坡输入 xr (t) t
Xr
(s)
1 s2
e lim s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
lim
s0
1
s WK
s
1 s2
1
lim
s0
sWK
s
若令
Kv
lim
s0
sWK
s
则 e 1
Kv
速度 误差系数
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型以上系统
当输入r(t) 为单位加速度信号时，为使系统的 静态误差为零，试确定前馈环节的参数a 和b 。
lim
s0
sN1X r s
sN K
稳态误差取决于Kk与N，而N越高稳态精度（准 确性）越高，稳定性越差。
二、典型输入情况下系统的给定稳态误差及误差系数
1.单位阶跃输入
xr
t
1 0
t0 t0
1 X r (s) s
§3-3 控制系统的稳态误差
e
lim
s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
自控原理(3)
2003-09/10
<自动控制原理>(3-17)
3．4 高阶系统的时域分析 1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控 制系统。 2、分析方法：
1）定性分析； 2）主导极点法； 3）计算机分析 3 主导极点与偶极子问题 ① 主导极点： 在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、 且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主 导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点。 主导极点法： 利用主导极点代替系统全部闭环极点来 估算系统性能的方法，称为主导极点法。 一般要求：
t
td tr tp ts b 单位阶跃信号作用下 反馈系统的过渡过程曲线
误差带△一般取0.02或0.05 ⑵ 动态性能指标： 延迟时间 td ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半 时所需要的时间；
上升时间 tr ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要 的时间；
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2003-09/10
j
S1 S2
j
0
0
t
② ξ = 1时，（临界阻尼） S1 ，S2 为一对相等的负实数根。
③ 0＜ξ＜1时，（欠阻尼） S1 ，S2 为一对具有负实部的共轭复根。
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2003-09/10
<自动控制原理>(3-08)
④ 当ξ=0时，（无阻尼，零阻尼） S1 ，S2 为一对幅值相等的虚根。
⑤ 当ξ＜0时，（负阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。
结论分析： a) tr 、tp 、ts 、td 与ωn 的关系（反比关系）；
b)
tp 、td与ξ的关系（正比关系）；
ts与ξ的关系（反比关 系）；
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《自动控制原理》---丁红主编---第三章习题答案
习题3-1.选择题：（1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：)1(2)s )(2+++=s s s s G （，系统对单位斜坡的稳态误差是： 3-2 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。
解 Φ()()./(.)s L k t s ==+001251253-3 一阶系统结构图如图3-45所示。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。
…图 题3-3图解 由结构图写出闭环系统传递函数111)(212211211+=+=+=ΦK K sK K K s K sK K s K s 令闭环增益212==ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03321≤==K K T t s ，得：151≥K 。
3-4 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 所示。
如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。
图 题3-4图 解：由图知，`开环传递函数为3-5 设角速度指示随动统结构图如图3-40所示。
若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少图3-40 题3-5图*解：依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。
写出系统闭环传递函数Ks s Ks 101010)(2++=Φ闭环特征多项式20022021211010)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++=T s T s T s K s s s D比较系数有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=K T T 101102200 联立求解得 ⎩⎨⎧==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s；3-6 图所示为某控制系统结构图，是选择参数K 1和K 2，使系统的ωn =6，ξ=1. 【3-7 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。
03 自动控制原理—第三章(2)
一,稳态误差的定义
1. 系统误差ε(t)定义为:系统响应的期望值c0(t)与实际值c (t)之差,即: ε (t ) = co (t ) c (t ) ε (s ) = co (s ) c(s ) 通常以偏差信号 R ( s ) H ( s ) C ( s ) 为零来确定希望值,即:
R (s ) H (s )CO (s ) = 0
3.6 系统稳态性能分析
评价一个控制系统的性能时,应在系统稳定的前提 下,对系统的动态性能与稳态性能进行分析.如前所 述,系统的动态性能用相对稳定性能和快速性能指标 来评价.而系统的稳态性能用稳态误差指标来评价, 即根据系统响应某些典型输入信号的稳态误差来评价. 稳态误差反映自动控制系统跟踪输入控制信号或抑 制扰动信号的能力和准确度.稳态误差主要与系统的 结构,参数和输入信号的形式有关.
上述三种误差系数定量地描述了系统在稳态误差与给定信号 种类和大小之间的关系,统称为系统静态误差系数. 4.控制系统的型别与无差度阶数 系统的开环传递函数可以看成由一些典型环节组成,即:
G K (s) = K sν
∏ (τ s + 1)∏ (τ
i =1 n1 i k =1 n2 j j =1 l =1
2.传递函数: Gc(s)=Kp(1+τds) 若偏差正处于下降状态,则 d τ d e (t ) < 0 dt 说明比例微分控制器预见到偏差在减小,将产生一个适当大小的控制 信号,在振荡相对较小的情况下将系统输出调整到期望值. 因此,利用微分控制反映信号的变化率(即变化趋势)的"预报"作 用,在偏差信号变化前给出校正信号,防止系统过大地偏离期望值和 出现剧烈振荡的倾向,有效地增强系统的相对稳定性,而比例部分则 保证了在偏差恒定时的控制作用. 可见,比例—微分控制同时具有比例控制和微分控制的优点,可以根 据偏差的实际大小与变化趋势给出恰当的控制作用. PD调节器主要用于在基本不影响系统稳态精度的前提下提高系统的相 对稳定性,改善系统的动态性能.
自动控制原理(3-2)
arccos 1.09(rad )
1 0.7
d n 1 2 3.14(rad / s)
0.65( s ) d
td
n
3.5
0.37( s )
tr
ts
n
4.4
2.15( s ) 0.05
ts
n
2.70( s)
对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
h(t ) 1 e sin d t cos d t 2 1 1 1 e nt 1 2 cos d t sin d t 1 2
n t
1
1 1 2
e nt sin( d t ) , t 0
式中， arctan( 1 2 ) ，或者
arccos
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应有两部分组成：
稳态分量为1，系统在单位阶跃函数作用下不存在
稳态位臵误差；
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为ωd，
故称为阻尼振荡频率。
t 0
系统的误差为：
e(t ) r (t ) c(t ) 2
n
2
n
1 2 e nt sin 1 2 n t 2arctg 1 2 1
1 2
e t T1 e t T2 h(t ) 1 , t0 T2 T1 1 T1 T2 1
4.无阻尼（ζ=0）二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) 1 cos nt , t 0
可见，这是一条平均值为1的正、余弦形式的等幅振 荡，其振荡频率为ωn，故可称为无阻尼振动频率。 实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能 通过实验方法测得ωn，而只能测得ωd，且小于ωn。
自动控制原理3-2
根据稳态误差计算式：
S • R(S) ess=Lim e(t)= Lim[S • E(S)]= Lim s0 1 + G(S) t s 0 1 • S
s 0
针对输入信号r(t)=1(t), R(S)=1/S S ess=Lim s 0 1 + G(S) 1 = 1 + G(0)
静态位置误差系数Kp=Lim G(S) = G(0)
E(S)=R(S) – B(S) = R(S)
• R(S)
1 = • R(S) 1 + G(S) 1 E(S) e(S) = = 1 + G(S) R(S)
R(S)
E(S)
G(S)
C(S)
B(S) –
1 E(S) 误差传递函数e(S) = = 1 + G(S) R(S)
e(S)取决于系统结构、参数。
j=1
1 ess = 1+k
对于Ⅰ型系统， Kp=， ess =0 对于Ⅱ型II型以上系统，Kp=， ess =0 静态误差系数Kp定量描述了:
控制系统跟踪单位阶跃函数形式输入信号的能力。
例：位置随动系统
R(S) E(S) –
5
1 S(S+1)
C(S)
求：系统输入单位阶跃信号时稳态性能指标ess 解：对于单位反馈系统， 5 1 Gk(S) =G(S) = 5• = S(S+1) S(S+1) 得：系统型号为I型 开环增益K=5
当>2时，系统是Ⅱ型以上系统。 以开环传递函数在S平面原点上极点数目分类优点：
根据已知的输入信号形式，可迅速判断系统是否存在 稳态误差以及误差的大小。
2. 静态误差系数 (1) r(t)=1(t)作用下的稳态误差ess
自动控制原理课后答案第三章
环传递函数, 已知单位反馈系统的开 环传递函数, 的稳定性. 试用劳思判据判断系统 的稳定性. 50 ; G(s) = s(s + 1)(s + 5)
若要求右半s 若要求右半s平面闭环 极点数,则列Routh表 极点数,则列Routh表 : Routh 1 5 s3 6 50 s2 6 × 5 − 1× 50 1 <0 0 s 6 0 s 50 首列元素反号两次, 首列元素反号两次, 故 右半s 右半s平面闭环极点数 为2.
第三章重点
进行时域分析的基本方法：重点是二阶系统的时域响应、 进行时域分析的基本方法：重点是二阶系统的时域响应、劳斯稳定判据 及稳态误差分析。 及稳态误差分析。 基本概念，稳定性和动态性能、主导极点、稳态误差、串联校正、 基本概念，稳定性和动态性能、主导极点、稳态误差、串联校正、反馈 校正等。 校正等。 Routh判据的应用；建立系统稳定（绝对稳定和相对稳定）的概念；稳 判据的应用； 判据的应用 建立系统稳定（绝对稳定和相对稳定）的概念； 定和闭环极点的关系 二阶系统的典型输入及性能指标； ）（3-27）（ ）（3-28） 二阶系统的典型输入及性能指标；式（3-26）（ ）（ ）（ ） ）（3-31）和（3-32）为参数与指标间的数学描述 （3-30）（ ）（ ） ） 高阶系统重点建立主导极点概念， 高阶系统重点建立主导极点概念，非主导极点及开环小时间常数影响 根据稳态误差定义推导出稳态误差与系统结构参数以及输入信号形式大 小的关系，引出静态误差系数。（ 。（0、 、 型系统 型系统？ 小的关系，引出静态误差系数。（ 、I、II型系统？）
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q
r
g (t) A ie p it
B k e k k tsid n tk (k)
(t 0 )
i
k
线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的
所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均
位于s左半平面（不包括虚轴）。
根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道
系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可
如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为 上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条 件。
1. 劳斯判据
系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为
正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都
要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等
于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。
判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量
很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面
的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。
4
Hale Waihona Puke 3.5.2 线性系统的代数稳定判据
首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭
环特征方程为
n
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n a 0 ( s s i) 0 i 1
使劳斯表继续下去。
② 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意
正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。
9
s3 1
3
s2 0(ε) 2
s1
2 3 b1
s0
2
∵ε→0+时，b1< 0，劳斯表中 第一列元素符号改变了两次 ∴系统有两个正根，不稳定。
（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：
D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0
1
对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范 围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定 而大范围不稳定的情况。
2
线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系
统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推
移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则 为不稳定。
线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性， 而与输入信号无关。
s4
1
3 6
s3
3
7
s2 2/3
6
s1
20
s0
6
10
例3-7 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0
试用劳斯判据判断系统稳定性。 解: 该系统的劳斯表如下
s4
1
3 2
s3
1
1
s2 2
2
s1
0
0
s0
第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，
特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或
可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为
s3=1 和 s4= 2 。
12
（2）分析参数变化对稳定性的影响
例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。
R(s)
+﹣
K
C(s)
s(s+1)(s+2)
解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0
共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：
11
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1 s2 2
1
2
F(s) = 2s2+ 2
s1 4
F(s)= 4s
s0 2
由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系
统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，
6
sn a0
a2
sn−1 a1
a3
sn−2 c1
c2
┋┋
s1 …
s0 cn (an)
a4 … a5 … c3 …
1
ci
j
ci1,1
ci2,1 ci1,1
ci2,j1 ci1,j1
( i 3, j = 1, 2, )
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标
识作用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
4
s1 12.2
s0 4
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为
2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0
14
式中，a0 >0 , si（i =1,2 , , n）是系统的n个闭环极点。
根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：
n
i 1
si
a1 a0
n
sis j
i1
a2 a0
j 1
i j
n
i1
si
(1)n
an a0
5
从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必
要条件为：
ai aj > 0 ( i, j =1,2, , n) 即闭环特征方程各项同号且不缺项。
s3
1
s2
3
2 要使系统稳定，劳斯表中第
K 一列元素均大于零。
s1 (6 K)/3
0< K < 6
s0
K
13
（3）确定系统的相对稳定性
例3-9 检验多项式
2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0
是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s =
1的右边？
解：1) s3 2
13
s2 10
根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。
如果当 t→∞时， g(t)收敛到原来的平衡点，即有
l i mg(t) 0
t
那么，线性系统是稳定的。
3
不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为
(s)M D ((s s))b m a s n m sn b a m n 1 1 s s m n 1 1 a 1 b s1 s a 0 b 0
7
2. 劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性
例3-5 设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。
解：劳斯表 s4
1
35
s3
2
4
s2
15
s1 6
s0
5
第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平
面有2个根。
8
例3-6 系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0
试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为
s3 1 3
第一种特殊情况：劳斯表中某
s2 0 2
行的第一列元素为零，而其余
s1 ∞ s0
各项不为零，或不全为零。对 此情况，可作如下处理：
① 用一个很小的正数ε 来代替第一列为零的项，从而