高考文科数学向量专题讲解及高考真题-含答案-

向 量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；

坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .

单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨

⎧==⇔2

12

1y y x x

(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.

2..向量的运算

运算类

型

几何方法

坐标方法 运算性质

向量的 加法 1.平行四边形法则

2.三角形法则

向量的

减法

三角形法则

AB BA =-u u u r u u u r

,AB OA OB =-

数 乘 向 量

1.a λr

是一个向量,满

足:||||||a a λλ=r r

2.λ>0时, a a λr r

与同向; λ<0时, a a λr r

与异向;

λ=0时, 0a λ=r r

.

向 量 的 数 量 积

a b •r r

是一个数

1.00a b ==r r r r

或时， 0a b •=r r

. 2.00||||cos(,)

a b a b a b a b ≠≠=r r r r r r r r g 且时，

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r

；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ；③00a a a +=+=r r r r r ．

⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r

r ．

4.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =r

，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r r ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．

5.向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr

． ①

a a λλ=r r

；

②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr

的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r

；③()

a b a b λλλ+=+r r r r ．

⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r

．

6.向量共线定理：向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．

设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()

0b b ≠r r r

共线．

7.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r

，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r

．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）

8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r

时，

点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ

λ++⎛⎫

⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。）1=λ 9.平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o o

r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．②当a r 与b r 同向时，a b a b ⋅=r r r r ；当a r 与b r

反向时，

a b a b ⋅=-r r r r ；22a a a a ⋅==r r r r

或a =r ．③a b a b ⋅≤r r r r ．

⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r

；③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．

⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ⋅=+r

r ．

若(),a x y =r ，则222

a x y =+r ，

或a =r 设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=r r ．

设a r

、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，

则cos a b a b θ⋅==r r r r ．

⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）

设 P 1P ρ=λPP 2ρ（或P 2P λ1P P ），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则1212

11y y y x x x λλλλ+⎧

=⎪⎪+⎨

+⎪=⎪+⎩

推广

1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：12122

2

y y y x x x +⎧

=⎪⎪⎨

+⎪=⎪⎩ 推广2λ=MB

则λ

λ++=

1PB

PA （λ对应终点向量）．

三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：

12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨

++⎪=⎪⎩

注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件．

B