四年级奥数-教师版-第五讲倒推法的应用题

第五讲倒推法的应用

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在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 用倒推法解题时要注意：

①从结果出发，逐步向前一步一步推理.

②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.

③列式时注意运算顺序，正确使用括号.

例1：一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？解析:这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.

如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.

如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.

解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56

［（□－8）＋10]÷7＝56÷4=14

（□－8）＋10=14×7=98

□－8=98-10=88

□=88+8=96

答：于昆这次数学考试成绩是96分.

【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____.

解析：{［（□ + 6）×6］- 6}=6

解：运用倒推法知这个数为（6×6+6）÷6-6=1

【解题技巧】解答此类问题的方法规律是：原题加，逆推为减；原题减，逆推为加；原题乘，逆推为除；原题除，逆推为乘。

例2 ：小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁. 解析：｛［（□ + 17）÷4］- 15｝×10 ＝ 100

采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100÷10+15)×4-17=83(岁)

【巩固】某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数. 解析：{［（□÷4）×5］÷6}=615

解：运用倒推法知这个数为615×6÷5×4=2952

例3：马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？

解析：马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7-1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70-10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.

解：111-（70-10）＋（7-1）＝57 答：正确的答案是57.

【巩固】在计算一道减法题时，小马虎把被减数个位上的3看做8，把减数十位上的6看做9，结果得出的差是60.正确的结果是多少？

解析：被减数个位上的3看做8，差就多加了5；减数十位上的6看做9，差就多减去30.要求出正确的差，就应该用60加上30，减去5. 解：8553060=-+。

例4：树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？

解析：倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16-6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6-8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解. 解：①现在三棵树上各有鸟 多少只？48÷3＝16（只） ②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只） ③第二棵树上原有鸟只数.

16＋6-8＝14（只）

④第三棵树上原有鸟只数.

16-6＝10（只）

答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.

【巩固】ABC三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具，而B又将6个玩具给C，这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个？

解析：从三人的玩具数相等入手分析，可得到每人的玩具数

例5：篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？

解析：依题意，画图进行分析.

解：列综合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（个）

答：篮子里原有梨22个.

【巩固】一桶油倒去一半后，再倒去剩下的一半，这时连桶还有16千克。已知桶重5.5千克，那么原来这桶油连桶共重多少？

解析：倒去两次后连桶有16千克，这16千克不仅有剩下的油的质量还有桶的质量，桶重5.5千克，易知剩下的油重16-5.5=10.5千克，利用倒推法得油重

10.5×2×2=42千克。故这桶油连桶重42+5.5=47.5千克。

解：（16-5.5）×2×2+5.5=47.5（千克）

例6：“六 一”儿童节,小明和小培从妈妈那儿分得一些糖，妈妈把糖分成相同的两份给他们，多的一个给自己留下了.小明在路上遇着自己的两个朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的两颗分别送给了两个朋友.过了一会儿,又遇上两个小朋友,他同样分给他们糖,多的两颗分给了他们,后来,他又遇上了两个朋友,分完糖之后,小明发现自己只剩下一颗糖了,请问妈妈原来有多少糖?

解析：最后一次分糖前小明有糖3+2=5颗；倒数第二次分糖前小明有糖5×3+2=17颗；倒数第三次分糖前小明有糖17×3+2=53颗；妈妈原来有糖53×2+1=107颗.

【巩固】A 、B 、C 三个小朋友共有玩具48个。A 给B8个玩具，而B 又将6个玩具给C ，这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个？

解析：从三人的玩具数相等入手分析，可得到每人的玩具数为16348=÷（个）。然后再看每人的玩具数是怎样得到的，最后用倒推法就使问题解决了。 解：16348=÷

C ：10616=-（个） B ：148616=-+（个） A ：24816=+（个）

例7：甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

解析：解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.

求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克. 解：①甲乙两桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克） ②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克） ③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克） 用倒推法画图如下：