期权定价二叉树模型PPT课件

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令
解之得
33A227A，
A 1/ 3 ，
即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份
该股票的买入期权组成。无论股票的价格
是升还是降，组合在期末的价值：
33122719
3
3
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• 根据无套利原理，这就要求无风险投资在 期末的收益同为9元，因而期初用于无风险 投资的资金应为：
9e0.10.258.78
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对上述例子的应用
u(erT1)0.1(e0.02 51)0.37342
ud
0.2
q ue rT (1 )e 0 .02 0 5.62 6 0 .651 811
qde rTe 0 .02 5 0 .37 3 0 .3 46 24
Ru 2,Rd 0
C q uR u q dR d 0 .61 1 2 1 1 .21 .21
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• 首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收 益在两种状态(价升或价降)下都相同。
• 如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值 为：
33A2，
其中2是期权被执行后投资者的付出； • 如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合
的价值为：
27 A 。
• 在到期日这两个值应相等，且应等于无风险投资 的收益。
期权定价的二项式方法
一、定价原理 二、二项式定价的基本过程 三、期权定价的二项式公式 四、二项式定价公式推导 五、美式期权的定价
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一、定价原理
无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。
在到期日现金流完全相同的两个组合，它们 期初的现金流必定也完全相同 .
期权在到期日的执行与否是不确定的， 这种不确定性使得在到期日的收益变得不确 定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确 定的股票价格(期权的收益)来进行估计.
• 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状 态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于 真实的价格.
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二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
A 0 ( 1 S u ) R u A 0 ( 1 S d ) R d A Ru Rd
S0(u d)
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根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方
程：
S 0 A C [A 0 (1 S u ) R u ]e rT
将A代入得：
C e r[ TR d (1)R u]
erT(1u)u(erT1)
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5
33
2
1.025
30
?
27
1 0
1.025
(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格.
期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格.
无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.
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为了克服这种不确定性的困难, 以便采用 无套利原理对期权进行定价:
二项式定价方法； 布莱克—舒尔斯定价方法； 蒙特卡罗模拟法。 二项式方法 (二叉树方法)的步骤具体如下：
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• 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定在每 个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状 态, 且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以 得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态,从 而克服了不确定性.
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• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资 产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本 例中,每阶段无风险资产的收益率为： 10%/4=0.025
• 确定期权的价格 无套利定价: 考虑这样一个组合，买入A股该股票 和卖出该股票的一份买入期权组成。 要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还 是降都应同无风险投资的收益相等。
ud
ud
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qu erT(`1)市场的上升状态价格因子 qd erT 市场的下降状态价格因子
CquRuqdRd
q u m S 0 ( 1 a u ) x S X , 0 } { q d m S 0 ( 1 a d ) x S X , 0 } {
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
301C 8.78, C 1 0 8 .7 8 1 .2 2
3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
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三、期权定价的二项式公式
符号:
S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格,
u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子
d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) R u 期权在股票价格上升状态下的收益 R d 期权在股票价格下降状态下的收益
r 年无风险收益率
T 期权的期限
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期权在股票价格上升状态下的收益：
R u mS 0 a (1 x u ) { S X ,0 } 期权在股票价格下降状态下的收益 ：
R d m a x { S 0 (1 d ) S X ,0 }
构建一个组合，由买入A股股票，卖出一份 买入期权组成，要求在期权到期日无论何种 情况出现，组合的价值相同
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生成股票价格树
72.6
79.86
87.846 75.867
66
68.97
60
62.7
65.5215
57
59.565
54.15
56.5868
51.4425
股票价格树
48.8704
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在期权价值树上进行计算
qu Ru
C
2
0.61111
1.22
qd
Rd
0.3642
0Hale Waihona Puke Baidu
计算期权价格的价格树(二叉树)
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四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S0 60元， 期权确定的执行价格为 SX 6。5元 设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.