8.2 二重积分的计算方法(利用极坐标计算)

r 2 ( )
r 1 ( )
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2012年12月26日星期三
6
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例 2 计算二重积分 ln(1 x2 y 2 )dxdy ，其中 D
D
是单位圆域：
x2 y 2 1 ．
解： ln(1 x2 y 2 )dxdy ln(1 2 )d d ,
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例1 计算 D x yd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
2 y x y2 D: 1 y 2
及直线
y
y 2 y2 x
x yd dy
D
0
2
a
r 2
dr
(1 e
a 2
)
由于 e
x2
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
11
坐标计算.
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注: 利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式

x2 e 0
dx

2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
y
k k k
k (k 1, 2 ,, n)
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
o
r rk x
k
k 1 (rk rk ) 2 k 1 rk 2 k 2 2 rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
4 a r r d r d
2 2
o
2
y
0
2 acos
4a r r dr
2
2a
x
r 2a cos
32 3 2 a ( ) 3 2 3
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2a
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内容小结
直角坐标系情形 : • 若积分区域为
y
y y2 ( x)
D
y y1 ( x) a bx
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极坐标系情形: 若积分区域为
则

D
f ( x, y ) d

D
r 2 ( ) D
f (r cos , r sin ) rd r d
o

r 1 ( )
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课外练习
习题8－2 第二次作业
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0 r ( ) 特别地, 对 D : 0 2
D f (r cos , r sin ) r d r d

2 0
r ( )
D
d
( )
0
f (r cos , r sin ) r d r
利用例6的结果, 得

故①式成立 .
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被圆柱面 x 2 y 2 2 a x 例5 求球体 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知

2
z
V 4
D
o
若 f ≡1 则可求得D 的面积
1 2 2 d ( ) d D 2 0
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思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么? (1)
y
r ( )
(2) y
r ( )
D
D
o x
(2)
x
o
答: (1) 0 ;

2


2
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例4 计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
0 r a 解: 在极坐标系下 D : , 故 0 2
原式
D
r d r d d 0 re
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
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lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
0 k 1
n
即
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) r d r d
7（1）（2）(4)；
8；
11;
12(选做)
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第八章
第二节 二重积分的计算方法
(Calculation of Double Integral)
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习
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复习.求曲顶柱体的体积 I
给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想: “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
记作
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记作
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复习：直角坐标系情形 :
y
y y2 ( x)
D
y y1 ( x) a bx
• 若积分区域为
则
D f ( x, y) d a d x y ( x)
1
b
y2 ( x )
f ( x, y ) d y
• 若积分区域为
则
y x x2 ( y ) d
D
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
1
d
x2 ( y )
f ( x, y ) d x
x x1 ( y ) x
D D
d ln(1 2 )d
0
2π
1
π [(1 )ln(1 )] 2 d
2 2 1 0 0

0
1

π(2ln 2 1)
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例3. 计算
其中D 为由圆 及直线
所围成的
平面闭区域. 解：
1 ( ) r 2 ( ) 则 设 D: ,
D r 2 ( )

D f (r cos , r sin )r d r d
d

o

o

r 1 ( )
2 ( )
1 ( )
f (r cos , r sin )r d r
b y2 ( x )
1
则
D f ( x, y) d a d x y ( x)
• 若积分区域为
f ( x, y ) d y
பைடு நூலகம்
y x x2 ( y ) d
D
c
则
D f ( x, y) d c d y x ( y )
1
d
x2 ( y )
f ( x, y ) d x
x x1 ( y ) x
2
y2

y2 2 1 2 x y 2 dy 2 y 1

1

y2
xy d x
o 1
D
y x2
4 x
1 2 2 5 [ y ( y 2) y ] d y 2 1
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一、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为