表格法解线性规划问题

表格法解线性规划问题

【教学目标】

知识目标：理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.

能力目标：通过例子详细地介绍了表格法解线性规划问题的过程，并引入了线性规划标准型的概念，归纳总结了表格法

解线性规划问题的步骤.

【教学重点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.

【教学难点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.

【教学设计】

1、表格法也称单纯形法，是解线性规划问题的常用方法，使用该

方法时，首先要将一般的线性规划问题化为标准型.在教材中给出了化标准型的方法.讲解时一定要注意b≥0以及变量的非负性.

2、表格法解线性规划问题的过程，教材中归纳为五个步骤，这实

际上是一个算法，可以利用前面介绍过的算法知识来学习.

3、初始表格中初始解组的确定是关键，一般可取松弛变量，但当

标准型中没有这样的变量满足初始解组的要求时，通常要通过添加人工变量来解决，本教材没有就这方面的问题进行深入讨论（一般的运筹学教材中都可找到该容）.

4、表格在转换时（通常称为转轴），教材中提到用加减消元法来转

轴.教师可就这部分容作适当的讲解.

5、由于通常的表格转换要进行多次，而表头部分是不变的，因此

可以将多表格合并起来，具体样式可参见5.5节表5-16.

【教学过程】

5.3.1线性规划问题的标准形式

求线性规划问题的图解法虽然直观简便，但对多于两个变量的情况就不能适用了，对于多于两个决策变量的线性规划问题，可以用什么方法呢？

下面介绍一种用表格的方法来求解线性规划问题的解. 表格法是根据单纯形法而专门设计的一种计算表格.

单纯形法（Simple Method ）是求解线性规划问题的主要方法，该法由丹赛（Dantzig ）于1947年提出，后经过多次改进而成，是求解线性规划问题的实用算法.由上节的叙述可知，如果线性规划问题的最优解存在，则必定可以在其可行解集合的顶点（极点）中找到．因此，寻求一个最优解就是在其可行域的各个极点中搜索最优点.单纯形法实质上是一个迭代过程，该迭代即是从可行域的一个极点移到另一个近邻的极点，直到判定某一极点为最优解为止. 为使用表格法，首先介绍线性规划问题的标准形式.

一般的线性规划问题中目标函数可能是求最大(或最小)值，而线性约束条件中可能是线性方程，也可能是线性不等式，约束条件中约束方程（或不等式）的个数也未必就比决策变量的个数少，这些问题对于线性规划的求解，带来极大的不便，为此，引入下述标准形式：

求目标函数最大值 n n x c x c x c x c Z ++++=...m ax 332211

(用和式表示为j j n

j x c Z ∑==1

max )

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥=+++=+++=+++0

,...,0,0.....

................2122112222212111212111n m

n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 满足

用和式表示为满足⎪⎩

⎪⎨⎧=≥==∑=),,3,2,1(,0),,3,2,1(,1

n j x m i b x a j i i ij n

j 其中，),,2,1;,,3,2,1(,,n j m i c b a j i ij ==各都是确定的常数，

),,2,1(n j x j =是决策变量，Z 是目标函数，ij a 叫做技术系数，i b ≥0

（),2,1m i =叫做资源系数，j c 叫做目标函数系数. 特点：

1、目标函数为极大化；

2、除决策变量的非负约束外，所有的约束条件都是等式，且右端常数均为非负；

3、所有决策变量均非负．

如果根据实际问题建立起来的线性规划模型不是标准型的，可以用下述方法将它化为标准型.

（1）若目标函数是n n x c x c x c x c Z ++++=...m in 332211

可令,'z z -=将目标函数转化为)...(max 332211'n n x c x c x c x c Z ++++-= （2）若约束条件不等式中是“≤”,可在不等式左边加上非负变量，将不等式转化为方程.如2126x x +≤180可转化为,18026321=++x x x 其中3x ≥0.这里的3x 叫做松弛变量. 表示没有用完的资源.

（3）若约束条件不等式是“≥”，可在不等式左边减去非负变量，将不等式转化为等式方程，如2122x x +≥10可转化为1022421=-+x x x ， 其中，4x ≥0.这里的4x 叫做多余变量，表示不存在的资源.

一般地，松弛变量和多余变量的目标函数系数为0.

（4）若有一个变量k x 没有非负约束（叫做自由变量），可令s l k x x x -=，其中l x ≥0，s x ≥0. 知识巩固

例1 将5.1节问题1中的线性规划问题化为标准型

约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥≤+≤+≤+0

,021053400104180

2621212

121x x x x x x x x 求目标函数最大值 212231m ax x x Z +=

解 分别对前三个约束条件引入松弛变量543,,x x x ，得标准型：

约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=≥=++=++=++.

5,3,2,1,021053400104180265214

21321 j x x x x x x x x x x j 求目标函数最大值 212231m ax x x Z +=

5.3.2表格法

下面我们通过实例来介绍表格法.

首先要列出初始表格．为了得到初始表格，我们分几步来说明： 先把标准型中的约束条件方程转换成表格（表5.4）的形式． 如:5.1问题1转化的结果为：