联合分布与边缘分布的关系

y
(1,1)
y= x
y = x2
O
x
当 0 ≤ y ≤ 1 时,
fY ( y ) =
y
y= x
● ●
(1,1)
∫− ∞
+∞
f ( x, y)d x
=
∫y
y
y = x2
6d x
O
+∞
x
= 6( y − y ).
当 y < 0 或 y > 1时, fY ( y ) =
∫− ∞ f ( x , y ) d x = 0.
二、连续型随机变量的条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值 引言】在条件分布中, 是确定的数.但是当 是连续型r.v.时 是确定的数.但是当Y 是连续型 时, 条件分布不能 直接定义, 用 P{ X ≤ x Y = y} 直接定义 因为P {Y = y } ≡ 0, 我们 只能讨论Y取值在 附近的条件下， 的条件分布 取值在y附近的条件下 的条件分布. 只能讨论 取值在 附近的条件下，X的条件分布 给定y, 定义 给定 对于任意固定的ε > 0, P{ y < Y ≤ y + ε } > 0. 若对于任意实数x, 若对于任意实数 极限
例7 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y ) = 1 2πσ1σ2 1 − ρ2
− 1 ( x − µ1 )2 ( x − µ1 )( y − µ2 ) ( y − µ2 )2 ⋅ exp − 2ρ + 2 2 2 σ1 σ2 σ2 2(1 − ρ ) σ1
P { X = xi , Y = y j } P {Y = y j }
∞
=
pij p• j
, i = 1, 2,L ,
为 在 Y = y j条 件 下 随 机 变 量 X 的 条 件 分 布 律 .
对于 对于固定的 i , 若 P{ X = xi } = ∑ pij > 0, 则称
j =1
P{Y = y j X = xi } =
y j ≤ y i =1
∞
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由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数 由联合概率密度求连续型 的边缘分布函数
F ( x ) = F ( x , +∞ ) = x dx +∞ f ( x , y )dy ∫−∞ ∫−∞ X y +∞ FY ( y ) = F ( +∞ , y ) = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx −∞ −∞
2
2
e
( x − µ1 )2 ( x − µ1 )( y − µ2 ) ( y − µ2 )2 − −2ρ + 2 2 2 σ 1σ 2 σ2 2(1− ρ ) σ 1 1
( x − µ ) ρ ( y − µ ) 2 ( y − µ 2 )2 1 1 2 − − + (1− ρ 2 ) 2 2 σ1 σ2 σ2 2(1− ρ )
例2 一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p(0<p<1), 一射手进行射击 每次击中目标的概率为 射击到击中目标两次为止. 设以X 射击到击中目标两次为止 设以 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 表示总共进行的射击次数. 行的射击次数 以Y 表示总共进行的射击次数 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律 的联合分布律及条件分布律.
i, j = 1,2,L
P{X = xi } = ∑ pij = ∑P{X = xi ,Y = yj }
j =1 j =1 +∞ +∞
= ∑P{X = xi Y = yj }⋅ P{Y = yj }, P{Y = yj } > 0, i = 1,2,L
j =1
+∞
P{Y = yj } = ∑ pij = ∑ P{X = xi ,Y = yj }
e
t2 − 2
dt dt = dx dx
= 1
dt
σ1 1 − ρ 2
dx
fY ( y) =
1 2π σ 2
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
dx = σ 1 1 − ρ 2 dt 2 Y ~ N ( µ2 , σ 2 )
【结论】二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态 结论】 分布, 分布 并且都不依赖于参数ρ. 即
− ∞ < x < +∞ , − ∞ < y < +∞ ,
其中 µ1 , µ2 , σ1 , σ 2 , ρ 都是常数 , 且 σ1 > 0, σ 2 > 0, − 1 < ρ < 1.
试求二维正态随机变量 的边缘概率密度 .
f ( x, y) =
1 2πσ 1σ 2 1 − ρ
1 2πσ 1σ 2 1 − ρ
j =1
+∞
+∞
P {Y = y j } = P { U ( X = xi ), Y = y j }
i =1
+∞
j =1
= ∑ P { X = xi , Y = y j } = ∑ pij ∆ p• j , j = 1, 2, ...
i =1 i =1
+∞
+∞
联合分布律及 联合分布律及边缘分布律
Y y1
i =1 i =1
+∞
+∞
= ∑P{Y = yj X = xi }⋅ P{X = xi },
i =1
+∞
P{X = xi } > 0, j = 1,2,L
类似逆概公式(求条件分布律 类似逆概公式 求条件分布律) 求条件分布律
P{X = xi Y = yj } = i = 1,2,L
P{Y = yj X = xi }⋅ P{X = xi }
现在如果限制 Y 取值为1.5m , 在这个 限制下求 X 的分布 .
一、离散型随机变量的条件分布
定义 设 ( X , Y ) 是 二 维 离 散 型 随 机 变 量 , 对 于 固 定
的 j , 若 P {Y = y j } = ∑ pij > 0, 则 称
i =1 ∞
P { X = xi Y = y j } =
+∞ −∞
y
+∞
fY ( y) = ∫
f ( x, y)d x.
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 ≤ y ≤ x , f ( x, y) = 0, 其他 . 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
fX ( x) =
∫− ∞
+∞
f ( x, y)d y
X
x1 L
p11
xi L
p• j
p•1
M
yj
M pi•
L pi1 M L M p1 j L pij M L M
p1•
L L L L
M
p•
j
M
1
L
pi
•
L
三、连续型随机变量的边缘概率密度
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率 密度为 f ( x , y ), 由于
FX ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∫ [ ∫
6( y − y ), 0 ≤ y ≤ 1, 得 fY ( y ) = 0, 其他 .
例6 设(X,Y)在区域 G = {( x , y ) 0 < x < 1, y < x } 上服从 ) 均匀分布, 的边缘概率密度. 均匀分布,求(X,Y)关于 和Y的边缘概率密度. )关于X和 的边缘概率密度
边缘分布均为正态分布的随机变量, 思考 边缘分布均为正态分布的随机变量 其联合分布 一定是二维正态分布吗? 一定是二维正态分布吗
【结论】 联合分布 结论】
边缘分布
在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？ 在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？
3.3 条件分布 问题
考虑一大群人 , 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量 , 他们都有自己的分布 .
t 2
2
2
=
1 2πσ 1σ 2 1 − ρ
+∞ −∞
2
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
令
( x − µ1 )
e
e
−
t=
σ1
−
ρ ( y − µ2 ) σ2
fY ( y ) = ∫
= 1
f ( x , y ) dx
2 2σ 2
= 2π
1− ρ2
−
( y − µ 2 )2
2πσ 2 e
∫
e
+∞
−∞
∑P{Y = y
k=1
+∞
,
j
X = xk }⋅ P{X = xk }
【练习】已知(X,Y)的联合分布律 练习】已知 的联合分布律
Y X 0 1 2 0 3/28 1/14 1/28 1 9/28 5/14 0 2 3/28 0 0
求:Y=1时, X的条件分布律 的条件分布律. 时 的条件分布律
例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子 每盒可容球数无限. 号盒的球数, 中, 每盒可容球数无限 记 X 为落入 1 号盒的球数 Y 为落入 2 号盒的球数，求 号盒的球数， (1) 在Y = 0 的条件下，X 的条件分布律； 的条件下， 的条件分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的条件分布律 的条件下， 的条件分布律.
=
e
=
1 2πσ 1σ 2 1 − ρ
2
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
e
( x − µ1 ) ρ ( y − µ2 ) − σ1 σ2 − 2 (1− ρ 2 )
2
f ( x, y)
= 1 2πσ 1σ 2 1 − ρ
2
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
−
e
( x − µ1 ) ρ ( y − µ2 ) − σ1 σ2 − 2 (1− ρ 2 )
(1) P{ X = xi Y = y j } =
+∞
pij p• j
≥ 0, i = 1, 2,L ;
+∞
(2) ∑ P { X = xi Y = y j } = ∑
i =1 i =1
1 = p• j p• j
pij
∑p
i =1
+∞
ij
=
p• j p• j
= 1.
类似乘法公式(求联合分布律 类似乘法公式 求联合分布律) 求联合分布律
3.2 边缘分布
联合分布函数与边缘分布函数的关系
FX ( x ) = F ( x , +∞ ) ; FY ( y ) = F ( +∞, y ).
由联合分布律求边缘分布函数
FX ( x) = F( x, ∞) = ∑∑ pij , F ( y) = F(∞, y) = ∑∑ pij . Y
xi ≤ x j =1
P{X = xi ,Y = yj } = P{X = xi }⋅ P{Y = yj X = xi }, P{X = xi } > 0
或
= P{Y = yj }⋅ P{X = xi Y = yj }, P{Y = yj } > 0
类似全概率公式(求边缘分布律 类似全概率公式 求边缘分布律) 求边缘分布律
y y = x●
●
(1,1)
当 0 ≤ x ≤ 1 时,
fX ( x) =
∫− ∞ f ( x , y ) d y
+∞
y = x2
x
=
∫
x
O
x2
6d y
2
= 6( x − x ).
当 x < 0 或 x > 1时,
fX ( x) =
∫− ∞ f ( x , y ) d y = 0.
+∞
因而得
6( x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1, f X ( x) = 其他 . 0,
−∞ x ∞ −∞
f ( x , y ) d y ]d x ,
记
f X ( x) = ∫
∞
−∞
f ( x, y ) d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 . 同理可得Y 同理可得 的边缘概率密度
FY ( y ) = F ( ∞ , y ) =
∫−∞ ∫−∞ f ( x , y ) d x d y ,
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
的联合分布律P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,… 由(X,Y)的联合分布律 的联合分布律 ＝ ＝ ， ＝
P{ X = xi } = P{ X = xi , U (Y = y j )}
j =1
+∞
= ∑ P{ X = xi , Y = y j } = ∑ pij ∆ pi • , i = 1, 2, ...
P { X = xi , Y = y j } P { X = xi }
=
pij pi •
, j = 1, 2,L ,
为 在 X = x i 条件 下 随 机 变量 Y 的 条 件 分布 律 .
【说明】 说明】 条件分布的本质是条件概率, 离散型r.v.X在{Y=yj}发 ① 条件分布的本质是条件概率 离散型 在 发 生的条件下的条件分布律, 就是在{Y=yj}发生条件下将 生的条件下的条件分布律 就是在 发生条件下将 X每一个可能取值及取值的条件概率列出 每一个可能取值及取值的条件概率列出. 每一个可能取值及取值的条件概率列出 ②条件分布律满足分布律的充要条件: 条件分布律满足分布律的充要条件
( X , Y ) ~ N ( µ1 , µ2 , σ 12 , σ 2 2 , ρ )
X ~ N ( µ 1 , σ ), Y ~ N ( µ 2 , σ )
2 1 2 2
不同时, 【说明】 对于确定的µ1, µ2, σ1, σ2, 当ρ不同时 对应了 说明】 不同的二维正态分布. 在下一章将指出, 不同的二维正态分布 在下一章将指出 对于二维正态 分布而言, 正好刻画了X和 之间关系的密切程度 之间关系的密切程度. 分布而言 参数ρ正好刻画了 和Y之间关系的密切程度.