基于元胞自动机模型对交通流的分析(2016数学建模B题)
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表 7 一致性检验所得数据表 K CI CR λ 1 0.119 0.112 4.327 2 0.129 0.146 4.418 3 0.119 0.146 4.377 4 0.423 0.477 4.003 5 0.104 0.159 4.302 6 0.206 0.221 4.610 7 0.138 0.257 4.703 8 0.004 0.153 4.002 9 0.712 0.231 4.207
u T Y0 vT X 0
max E0
s.t
u 0, v 0 s ui 1 i 1 s vi 1 i 1 uTY T i 1, i 1,2, , n v X i
然后用离散型数学变量 的数学期望为：
E i P i
关键词：层次分析法；模糊分析法，元胞自动机模型，偶尔模型
1
一、问题重述
1.1 引言 2016 年 2 月 21 日，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作 的若干意见》的第十六条中提出有关逐步开放封闭住宅小区和单位大院的意见， 在社会上引起了广泛的关注和讨论。 除了存在物业管理的问题， 开放小区的路网 结构，道路通行的能力，交通状况会不会有好的发展趋势也是一个议论的焦点。 有观点认为开放小区对路网密度会有所提高，道路面积、通行会有增加和提升。 也有人觉得这要联系小区面积、位置、外部和内部道路状况等因素来分析。还有 些人认为小区开放后随着道路增多交叉路口也会增多从而可能会影响主路通行 1.2 问题的提出 1． 请选择合适的评价指标体系， 用以评价小区开放对周边道路通行的影响。 2． 请建立关于车辆通行的数学模型， 用以研究小区开放对周边道路的影响。 3． 小区开放产生的效果， 可能会与小区结构及周边道路结构、 车流量有关。 4．根据你们的研究结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门 提出你们关于小区开放的合理化建议。
表 4 道路网拥堵里程比例与道路交通运行指数关系及道路交通运行水平分类
5.1.3 行程时间可靠性指标
行程时间可靠性指数能表示交通运行状况的波动性。在概率为 95%条件下， 其值等于若通过干路段所用时间与平均行程所用时间的差值和道路畅通状态下 通过所用时间的比值。该值越小表明交通道路运行越不可靠。
其中， 为 i 等级道路中 j 路段的长度。
边交通的影响情况。
2.3 问题四的分析 我们国家很多城市一定程度上出现道路堵车情况， 并且出现的范围和频率在 不断的增加，因此城市中的小区最好建设成开放型小区， 开放性小区能在一定程 度上增加道路的通行能力，能够有效缓解城市交通的压力。
三、模型假设与符号说明
3.1 模型假设 1.假设我们忽略的小的影响因素所占的权重可以忽略不记。忽略的小的影响 因素会对交通产生微小的影响，对我们评价过程产生影响，但不影响结果。 2.假设不考虑人类活动对交通的影响。人的活动将会占据道的空间，影响车 道的通行能力 3.假设交叉路口不发生事故。交叉路口的事故将极大影响城市的交通通行量， 会对我们的研究差生误差。 4.假设忽略对交通流模拟影响小的因素。模拟仿真中，有些因素并不影响仿 真的结果，我们可以将其忽略。 3.2 符号说明 表 1 符号说明
6
4.1.2 模型的求解 （ 1）本文针对每个递归层次结构设置为：
表 5 递归层结构设置 目标层 准则层 开放后小区对周边交通的影响 A C1， C2， C3
设目标 A 的重要性为：C1，C2,， C3，…… Cn
A (aij )n*n, aij CC 0
aij 1 a ji
ci : c j aij
n 当且，仅当 n 时 A 为一致阵。
由于 λ 对 aij 的依赖性大，当 n 时，A 严重不一致。=，此时引起的 判断误差就越大。我们可以用 —n 的大小来衡量 A 的不一致程度。
CI
n
n 1 , e ˆT (1,1, ,1) Em , eT (1,1, ,1) Es
k
aij
目标 矩阵元素
ni
打分值 i 的人数
特征ຫໍສະໝຸດ Baidu 正互矩阵
A
w3k
组合权向量
数据矩阵
ij x
3
C1,C2 , C3
C1,C2 , C3
隶属度
因素
N
n
数学期望 被调查者的总人数
非零特征根
CI
X n pCI
lk
一致性指标
样本矩阵
特征向量
四、模型的建立与求解
4.1 问题一模型的建立与求解 根据北京市地方标准《城市道路交通运行评价指标体系》[1]，建立相应的评 价指标体系。该评价体系主要由道路交通运行指数 TPI，道路交通拥堵率 TCR， 行车时间可靠性指标 TBI 三大方面构成。如图 1 结果框图所示。
（1） 定义 CI=0，有完全的一致 。 CI 接近于 0，有满意的一致性。 CI 越大，不一致越严重 （2） 查找相应的平均随机一致性指标 RI 构造 100 个成对比较矩阵 A1 ,A2 ,A3 … A100 程度， 可得一致性指标 CI1 ， CI2 …CI100。
8
1 2 ... 100 n CI1 CI 2 ...CI100 100 RI 100 n 1 一致性检验： 根据一致性比率 CR 和一致性指标小于 0.1 及一致性指标的数值 表，对 A 进行检验的过程。 根据我们得到的最大特征值，一致性比率，一致性指针及特征向量如下表所 示 ：
经检验，所有矩阵的结果一致性检验均通过，因此得到的ωk 可以作为权向量。 4.1.3 模糊评价模型 （ 1）评价标准的选择 按照道路通行状况的不同，我们可以将道路通行划分为五个级别，分别为不 拥堵、低度拥堵、一般拥堵、中度拥堵和高度拥堵五个指标，如下：
表 8 拥堵程度指标表
等级 一级 二级 三级 四级 五级
基于元胞自动机模型对交通流的分析
摘要
小区开放将会影响城市的交通，一方面使路网密度增加，另一方面使车流量 增多，那么小区开放是否为影响城市的交通呢， 我们就以元胞自动机模型通过仿 真模拟来解决问题。 针对问题一：通过对问题的分析，影响道路交通的因素有很多，我们主成分 分析法，在忽略次要影响因素的前提下，首先利用层次矩阵赋权重，从而而确定 了影响的主要指标，然后利用模糊分析法对所确定的指标进行分析， 从而可以研 究小区开放后对交通的影响程度。 针对问题二：通过对问题的分析，建立元胞自动机模型对问题进行求解。首 先我们对交通流进行分析，我们以 BML 模型为基础，结合 Nash 模型提出了一种 偶尔模型来对小区开放对交通进行刻画， 在小区开放后， 考虑小区与城市的节点， 建立城市道路与小区连接模型，来反映小区开放前后对交通的影响。 针对问题三，我们选择三种小区，分别是网状道路小区、树状道路小区、大 马路道路小区， 依据问题一的评价指标和车元胞自动车辆通行模型， 对三种类型 的小区进行仿真， 分别得到不同的图像， 根据图像我们看出树状道路小区和大马 路道路小区开放前后，平均速度随车流密度相对均没有较大变化,网状道路小区 开放前后，平均速度随车流密度存在相对明显的变化， 。 为了验证我们模型的正确性， 我们建立了排队模型对上述元胞机模型进行验 证， 根据对早晚高峰期的车流的变化和小区开放前后车流的变化的分析，可以得 出网状小区的开放对交通量影响更大，更加验证了我们模型的正确性。 针对于问题四， 我们根据对不同类型道路小区的仿真模拟结果的分析，我们 可以提出合理性的建议， 网状道路小区建议开放， 树状道路小区和大马路道路小 区不建议开放。
图 1.结果框图
4
道路交通运行指数（T PI ，交通指数，道路交通拥堵指数）是综合性定量反映 道路网交通总体运行状况的指标。也可以计算得到某一时间段 TPI，日高峰时段 道路交通运行指数的平均值作为日 TPI ，本文规定的日交通高峰时间段如表 所 示。
表 2. 日交通高峰时间段
计算方法如下： a) 依据 GB 50220-1995 标准中的规定道路等级，取统计间隔 T≤15min， 对道路网各路段的平均行程速度进行计算； b) 根据表 5.1 道路交通运行等级分类，一次对快速路，主干路，次干路 和支路中状态为严重拥堵运行等级的路段历程比例进行计算。道路交 通运行等级分类见表 5.1 所示；
二、问题分析
开放小区对交通流量将产生影响，合理控制小区开放度， 将会极大地缓解城 市交通的压力。 2.1 问题一的分析 对于问题一，根据分析我们知道开放小区后对周边的道路会有影响， 但是周 边道路的影响因素有很多，而我们需要选择合理的指标对问题求解。 首先可以利 用层次分析法，确定开放小区周边道路的影响因素，利用层次矩阵，对影响因素 赋权重， 从而可以确定主要影响指标， 并且我们可以对我们的权向量作一致性检 验，验证所用指标的合理性，最后可以用我们所确定的指标为依据，利用模糊分 析法对所确定的指标进行分析，从而得到小区开放后对交通的影响程度。
表 3. 道路交通运行等级分类（单位： km/h）
c)
运用VKT 比例 PVKTi 作为权重系数对各等级道路拥堵里程比例Lzj 进行 加权求和， 以确定道路网拥堵里程比例Lz。
5
图 2 某等级道路路段示意图
d) 由表 5.3 道路网拥堵里程比例与道路交通运行指数关系及道路交通运行 水平分类表，得到道路交通运行指数及其相应的道路网运行水平，TPI 取值区间 为[0,10]。
（ 2）构造成对比较矩阵 取两个因素， bi b j ( j 0,1,2...) 为了克服两个比较的困难的因素。
7
令 aij 0, aij
1 , aii 1 a ji
上述矩阵中 aii 1 表示“ 道路合流” 和“ 道路宽度” 对小区拥堵的影响， aii
7 9
表示 “道路合流”、 “车路宽度” 受“时间小的影响， 同理可以得出其他元素的含义。 （ 3）计算权向量并作一致性检验 a、计算权向量 公式为：
2
2.2 问题二和三的分析 对于问题二，要求我们建立关于车辆通行的数学模型， 用以研究小区开放对 周边道路的影响。在城市复杂网络交通流的前提下，我们结合 Nash 和 BML 二者 的优点，以 BML 模型为基础，结合 Nash 模型提出了一种偶尔模型来对小区开放 对交通进行刻画。 建立邻接矩阵，基于元胞自动机模型分别研究他们的通行情况和对周
i 0
10
根据上述公式计算出平均分值， 我们可以得到了开放小区对周边交通的影响 的，如下表
表 6 各个影响因素分值的概率分布表
P
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n0 N
n1 N
n2 N
n3 N
n4 N
n5 N
n6 N
n7 N
n8 N
n9 N
n10 N
其中 ni 为打分值
i 的人数， N 为被调查者的总人数。
n xi x1 x2 xn 2995050.207 i 1 x1 0 x2 0 xn 0
我们把最大特征值做归一化处理。矩阵 A 的最大特征值为
w2 (0.029,0.029,0.029,0.046,0.036,0.055,0.025,0.013,0.045,0.081,0.048,0.077,0.077,0.075,0.077,0.042)
（ 4）一致性检验
主要指标为： X i ( xi1 , xi1 , , xim ) , (i 1,2, , n)
T
主要步骤为：
（1） 单层次排序，即上一层次因素某因素相对重要性的排序权值， 。 （2） 进行一致性检验，确定相对 A 的范围。 （3） n 阶一致矩阵的唯一非零特征根为 n； n 阶正互反阵 A 的最大特征根
程度 高度拥堵 中度拥堵 一般拥堵 低度拥堵 不拥堵
状态 超过 30 分钟 10 分钟到半个小时 10 到半个小时内 5 分钟以内 1 分钟之内
（ 2） 模型的建立 (1) 确定评价因素集与评语集 分道路合流、车道宽度以及交叉口为评价因素 X x1 , x2 , x3 。不拥堵、低度 拥堵、一般拥堵、中度拥堵和高度拥堵， Z z1 , z2 , z3 , z4 , z5 为评语集 (2) 确定评价指标权重向量 a）给定 X n p x1 , x2 ,
u T Y0 vT X 0
max E0
s.t
u 0, v 0 s ui 1 i 1 s vi 1 i 1 uTY T i 1, i 1,2, , n v X i
然后用离散型数学变量 的数学期望为：
E i P i
关键词：层次分析法；模糊分析法，元胞自动机模型，偶尔模型
1
一、问题重述
1.1 引言 2016 年 2 月 21 日，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作 的若干意见》的第十六条中提出有关逐步开放封闭住宅小区和单位大院的意见， 在社会上引起了广泛的关注和讨论。 除了存在物业管理的问题， 开放小区的路网 结构，道路通行的能力，交通状况会不会有好的发展趋势也是一个议论的焦点。 有观点认为开放小区对路网密度会有所提高，道路面积、通行会有增加和提升。 也有人觉得这要联系小区面积、位置、外部和内部道路状况等因素来分析。还有 些人认为小区开放后随着道路增多交叉路口也会增多从而可能会影响主路通行 1.2 问题的提出 1． 请选择合适的评价指标体系， 用以评价小区开放对周边道路通行的影响。 2． 请建立关于车辆通行的数学模型， 用以研究小区开放对周边道路的影响。 3． 小区开放产生的效果， 可能会与小区结构及周边道路结构、 车流量有关。 4．根据你们的研究结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门 提出你们关于小区开放的合理化建议。
表 4 道路网拥堵里程比例与道路交通运行指数关系及道路交通运行水平分类
5.1.3 行程时间可靠性指标
行程时间可靠性指数能表示交通运行状况的波动性。在概率为 95%条件下， 其值等于若通过干路段所用时间与平均行程所用时间的差值和道路畅通状态下 通过所用时间的比值。该值越小表明交通道路运行越不可靠。
其中， 为 i 等级道路中 j 路段的长度。
边交通的影响情况。
2.3 问题四的分析 我们国家很多城市一定程度上出现道路堵车情况， 并且出现的范围和频率在 不断的增加，因此城市中的小区最好建设成开放型小区， 开放性小区能在一定程 度上增加道路的通行能力，能够有效缓解城市交通的压力。
三、模型假设与符号说明
3.1 模型假设 1.假设我们忽略的小的影响因素所占的权重可以忽略不记。忽略的小的影响 因素会对交通产生微小的影响，对我们评价过程产生影响，但不影响结果。 2.假设不考虑人类活动对交通的影响。人的活动将会占据道的空间，影响车 道的通行能力 3.假设交叉路口不发生事故。交叉路口的事故将极大影响城市的交通通行量， 会对我们的研究差生误差。 4.假设忽略对交通流模拟影响小的因素。模拟仿真中，有些因素并不影响仿 真的结果，我们可以将其忽略。 3.2 符号说明 表 1 符号说明
6
4.1.2 模型的求解 （ 1）本文针对每个递归层次结构设置为：
表 5 递归层结构设置 目标层 准则层 开放后小区对周边交通的影响 A C1， C2， C3
设目标 A 的重要性为：C1，C2,， C3，…… Cn
A (aij )n*n, aij CC 0
aij 1 a ji
ci : c j aij
n 当且，仅当 n 时 A 为一致阵。
由于 λ 对 aij 的依赖性大，当 n 时，A 严重不一致。=，此时引起的 判断误差就越大。我们可以用 —n 的大小来衡量 A 的不一致程度。
CI
n
n 1 , e ˆT (1,1, ,1) Em , eT (1,1, ,1) Es
k
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目标 矩阵元素
ni
打分值 i 的人数
特征ຫໍສະໝຸດ Baidu 正互矩阵
A
w3k
组合权向量
数据矩阵
ij x
3
C1,C2 , C3
C1,C2 , C3
隶属度
因素
N
n
数学期望 被调查者的总人数
非零特征根
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一致性指标
样本矩阵
特征向量
四、模型的建立与求解
4.1 问题一模型的建立与求解 根据北京市地方标准《城市道路交通运行评价指标体系》[1]，建立相应的评 价指标体系。该评价体系主要由道路交通运行指数 TPI，道路交通拥堵率 TCR， 行车时间可靠性指标 TBI 三大方面构成。如图 1 结果框图所示。
（1） 定义 CI=0，有完全的一致 。 CI 接近于 0，有满意的一致性。 CI 越大，不一致越严重 （2） 查找相应的平均随机一致性指标 RI 构造 100 个成对比较矩阵 A1 ,A2 ,A3 … A100 程度， 可得一致性指标 CI1 ， CI2 …CI100。
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1 2 ... 100 n CI1 CI 2 ...CI100 100 RI 100 n 1 一致性检验： 根据一致性比率 CR 和一致性指标小于 0.1 及一致性指标的数值 表，对 A 进行检验的过程。 根据我们得到的最大特征值，一致性比率，一致性指针及特征向量如下表所 示 ：
经检验，所有矩阵的结果一致性检验均通过，因此得到的ωk 可以作为权向量。 4.1.3 模糊评价模型 （ 1）评价标准的选择 按照道路通行状况的不同，我们可以将道路通行划分为五个级别，分别为不 拥堵、低度拥堵、一般拥堵、中度拥堵和高度拥堵五个指标，如下：
表 8 拥堵程度指标表
等级 一级 二级 三级 四级 五级
基于元胞自动机模型对交通流的分析
摘要
小区开放将会影响城市的交通，一方面使路网密度增加，另一方面使车流量 增多，那么小区开放是否为影响城市的交通呢， 我们就以元胞自动机模型通过仿 真模拟来解决问题。 针对问题一：通过对问题的分析，影响道路交通的因素有很多，我们主成分 分析法，在忽略次要影响因素的前提下，首先利用层次矩阵赋权重，从而而确定 了影响的主要指标，然后利用模糊分析法对所确定的指标进行分析， 从而可以研 究小区开放后对交通的影响程度。 针对问题二：通过对问题的分析，建立元胞自动机模型对问题进行求解。首 先我们对交通流进行分析，我们以 BML 模型为基础，结合 Nash 模型提出了一种 偶尔模型来对小区开放对交通进行刻画， 在小区开放后， 考虑小区与城市的节点， 建立城市道路与小区连接模型，来反映小区开放前后对交通的影响。 针对问题三，我们选择三种小区，分别是网状道路小区、树状道路小区、大 马路道路小区， 依据问题一的评价指标和车元胞自动车辆通行模型， 对三种类型 的小区进行仿真， 分别得到不同的图像， 根据图像我们看出树状道路小区和大马 路道路小区开放前后，平均速度随车流密度相对均没有较大变化,网状道路小区 开放前后，平均速度随车流密度存在相对明显的变化， 。 为了验证我们模型的正确性， 我们建立了排队模型对上述元胞机模型进行验 证， 根据对早晚高峰期的车流的变化和小区开放前后车流的变化的分析，可以得 出网状小区的开放对交通量影响更大，更加验证了我们模型的正确性。 针对于问题四， 我们根据对不同类型道路小区的仿真模拟结果的分析，我们 可以提出合理性的建议， 网状道路小区建议开放， 树状道路小区和大马路道路小 区不建议开放。
图 1.结果框图
4
道路交通运行指数（T PI ，交通指数，道路交通拥堵指数）是综合性定量反映 道路网交通总体运行状况的指标。也可以计算得到某一时间段 TPI，日高峰时段 道路交通运行指数的平均值作为日 TPI ，本文规定的日交通高峰时间段如表 所 示。
表 2. 日交通高峰时间段
计算方法如下： a) 依据 GB 50220-1995 标准中的规定道路等级，取统计间隔 T≤15min， 对道路网各路段的平均行程速度进行计算； b) 根据表 5.1 道路交通运行等级分类，一次对快速路，主干路，次干路 和支路中状态为严重拥堵运行等级的路段历程比例进行计算。道路交 通运行等级分类见表 5.1 所示；
二、问题分析
开放小区对交通流量将产生影响，合理控制小区开放度， 将会极大地缓解城 市交通的压力。 2.1 问题一的分析 对于问题一，根据分析我们知道开放小区后对周边的道路会有影响， 但是周 边道路的影响因素有很多，而我们需要选择合理的指标对问题求解。 首先可以利 用层次分析法，确定开放小区周边道路的影响因素，利用层次矩阵，对影响因素 赋权重， 从而可以确定主要影响指标， 并且我们可以对我们的权向量作一致性检 验，验证所用指标的合理性，最后可以用我们所确定的指标为依据，利用模糊分 析法对所确定的指标进行分析，从而得到小区开放后对交通的影响程度。
表 3. 道路交通运行等级分类（单位： km/h）
c)
运用VKT 比例 PVKTi 作为权重系数对各等级道路拥堵里程比例Lzj 进行 加权求和， 以确定道路网拥堵里程比例Lz。
5
图 2 某等级道路路段示意图
d) 由表 5.3 道路网拥堵里程比例与道路交通运行指数关系及道路交通运行 水平分类表，得到道路交通运行指数及其相应的道路网运行水平，TPI 取值区间 为[0,10]。
（ 2）构造成对比较矩阵 取两个因素， bi b j ( j 0,1,2...) 为了克服两个比较的困难的因素。
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令 aij 0, aij
1 , aii 1 a ji
上述矩阵中 aii 1 表示“ 道路合流” 和“ 道路宽度” 对小区拥堵的影响， aii
7 9
表示 “道路合流”、 “车路宽度” 受“时间小的影响， 同理可以得出其他元素的含义。 （ 3）计算权向量并作一致性检验 a、计算权向量 公式为：
2
2.2 问题二和三的分析 对于问题二，要求我们建立关于车辆通行的数学模型， 用以研究小区开放对 周边道路的影响。在城市复杂网络交通流的前提下，我们结合 Nash 和 BML 二者 的优点，以 BML 模型为基础，结合 Nash 模型提出了一种偶尔模型来对小区开放 对交通进行刻画。 建立邻接矩阵，基于元胞自动机模型分别研究他们的通行情况和对周
i 0
10
根据上述公式计算出平均分值， 我们可以得到了开放小区对周边交通的影响 的，如下表
表 6 各个影响因素分值的概率分布表
P
0
1
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3
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5
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n0 N
n1 N
n2 N
n3 N
n4 N
n5 N
n6 N
n7 N
n8 N
n9 N
n10 N
其中 ni 为打分值
i 的人数， N 为被调查者的总人数。
n xi x1 x2 xn 2995050.207 i 1 x1 0 x2 0 xn 0
我们把最大特征值做归一化处理。矩阵 A 的最大特征值为
w2 (0.029,0.029,0.029,0.046,0.036,0.055,0.025,0.013,0.045,0.081,0.048,0.077,0.077,0.075,0.077,0.042)
（ 4）一致性检验
主要指标为： X i ( xi1 , xi1 , , xim ) , (i 1,2, , n)
T
主要步骤为：
（1） 单层次排序，即上一层次因素某因素相对重要性的排序权值， 。 （2） 进行一致性检验，确定相对 A 的范围。 （3） n 阶一致矩阵的唯一非零特征根为 n； n 阶正互反阵 A 的最大特征根
程度 高度拥堵 中度拥堵 一般拥堵 低度拥堵 不拥堵
状态 超过 30 分钟 10 分钟到半个小时 10 到半个小时内 5 分钟以内 1 分钟之内
（ 2） 模型的建立 (1) 确定评价因素集与评语集 分道路合流、车道宽度以及交叉口为评价因素 X x1 , x2 , x3 。不拥堵、低度 拥堵、一般拥堵、中度拥堵和高度拥堵， Z z1 , z2 , z3 , z4 , z5 为评语集 (2) 确定评价指标权重向量 a）给定 X n p x1 , x2 ,