n元一次不定方程的计算机解法
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程来得复杂 " 特别是当未知数的个数较多时 " 计算量 急剧增加 " 用人工方法计算显然不大现实 # 因此 " 我 们给出了用计算机求解这类方程的算法及计算机程 序# 对于不定方程 %’ &" 首先我们不妨假设 "’&""& ’ +"! 全 不 为 零 # 其 次 " 如 果 ’ !$" 则 可 对 方wk.baidu.com程 %’ & 两 端 乘 以 2’ 得 到 一 个 与 方 程 %’ & 同 解 的 方 程 " 此 时 右 端 的 ’$$ # 再者 "如果某个 "-!$" 则可将 "- 反号 "从而是方 程中的 "- 全大于零 " 但反号后的方程与原方程一般 来说并不同解 " 因此 " 在求得新方程的解之后 " 要将 其还原成原来方程的解 # 鉴于以上的讨论 " 后边程序的关键是就 ’ $$+ "-"$ 求方程 %’ &的解 # 基于第一节的结论和上边的讨论 " 我们可以通 过对矩阵 # 施加列变换的方法求得不定方程 %’ & 的 解 # 这样便有了如下用 Ｔ ｕｒｂｏ Ｐａｓｃａｌ ! 语言编写的求 解程序 " 其大致的算法步骤如下 ! ",从键盘获得方程*’, 的诸系数与常数项 # ., 使方程 *’, 的常数项为正 " 得 到 一 个 与 方 程 *’, 等价的方程 # ’, 使 所 得 新 方 程 的 各 系 数 为 正 " 并 用 一 个 集 合 变量记录系数改变符号的情况 # 这时所得新方程与 原始方程不再等价 " 将来要把新方程的解还原为原 方程的解 # /, 对新方程构造定理 & 中的矩阵 ## 0, 对 矩 阵 # 不 断 施 加 定 理 0 中 的 列 变 换 !’ " !" "’ " !( 最 终 得 到 矩 阵 !# 1, 将定理 % 中对应于新方程的矩阵 ! 还原为对 应于原方程的矩阵 ! # 3, 根据定理 ５ 获得原方程的一个解 # 2, 计算原方程的任意一个特解 #
类或第三类列初等变换.&/所得到的矩阵 " !!)*’+$+ ’+$,
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# 源程序
ｃｏｎｓｔｎ＝４； ｔ ｙｐｅ ａｒｒｔ ＝ａｒｒａｙ［１． ． ｎ＋１， １． ． ｎ］ｏｆｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ａｒｒｓ＝ａｒｒａｙ［１． ． ｎ］ｏｆｉ ｎｔ ｅｇｅｒ；
% 程序模块与算法步骤说明
收稿日期： ２００５－０２－２５ !基金项目 !咸阳师范学院专项基金资助!编号"!"#$%&’!(# 作者简介：白鸿武!)(*+!$%男%陕西省佳县人%咸阳师范学院数学系副教授%西北工业大学理学院在读博士研究生%主要从事 ,-./ 的研究&
* ’ 西北工业大学理学院 " 陕西 西安 4’$$4"5 " 咸阳师范学院数学系 " 陕西 咸阳 4’"$$$,
摘 要!给出了用矩阵方法求解 ! 元一次不定方程的算法与计算机程序& 与其它方法相比% 本方法具有算法简单’易于实现以及通用性好等优点& 关键词!不定方程(解(矩阵(计算机程序 中图分类号!6’""7"5 810’0 文献标识码 ! 9 文章编号 !)*0"1"()+)"234$!+1!!!)1!5 !!!!!! 求解 ! 元一次不定方程比求解二元一次不定方
２００５ 年 ８ 月 第 "$ 卷 第 & 期
Ａ ｕｇ!"#$% !"$ Ｎ ｏ!& ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸ ｉ ａｎｙａｎｇ Ｎ ｏｒｍ ａｌＵ ｎｉ ｖｅｒｓｉ ｔ ｙ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ｖ ｏｌ
咸阳师范学院学报
(元一次不定方程的计算机解法
白鸿武 )%"
! 预备
本文中所涉及的一切常量与变量均假定在整数 的范围之内 #
定理 !"#$ 方程 %’ & "’#’(""#"($"!#!)$ 有解的充要条件是*%’&""&’ +"!,-’# 定论 % 若 *"’&""& ’ +"!,)’ 则 方 程 %’ & 对 任 意 的 ’
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第!期
白鸿武 $! 元一次不定方程的计算机解法
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ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｉ ｆｋ［１， ｉ ］＜０ ｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｋ［１， ｉ ］： ＝－ｋ［１， ｉ ］； ｊ ｈ： ＝ｊ ｈ＋［ｉ ］ ｅｎｄ； ｉ ｎｉ （ｋ）； ｄ： ＝ｇｃｄ（ｋ）； ｉ ｆｃｔｍ ｏｄ ｄ＜＞０ ｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ｎ ｏ ｓｏｌ ｕｔ ｉ ｏｎ！＇ ）； ｅｘｉ ｔ ｅｎｄ； ｃｔ ： ＝ｃｔｄｉ ｖ ｄ； ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｋ［１， ｉ ］： ＝ｋ［１， ｉ ］ｄｉ ｖ ｄ； ｗ ｈｉ ｌ ｅ ｎｏｔｌ ｓｎ（ｋ， ｆｉ ｘ）ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｉ ｆｆｉ ｘ＜＞１ ｔ ｈｅｎ ｍ ｅｘｃ（ｋ， １， ｆｉ ｘ）； ｔ ｒａｎｓ（ｋ） ｅｎｄ； ｆｏｒｉ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ｉ ｆｉ －１ ｉ ｎｊ ｈｔ ｈｅｎ ｓｉ ｇ（ｋ， ｉ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ａ ｓｐｅｃｉ ａｌｓｏｌ ｕｔ ｉ ｏｎ Ｘ ０ ｉ ｓ： ＇ ）； ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｘ０［ｉ ］： ＝ｋ［ｉ ＋１， １］＊ｃｔ ； ｗ ｒｉ ｔ ｅ（ｘ０［ｉ ］： ９） ｅｎｄ； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ｔ ｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌ ｕｔ ｉ ｏｎ Ｘ ｉ ｓ ｏｆｔ ｈｅ ｆｏｒｍ ： ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ｘ ＝Ｘ ０＋Ｄ ＊Ｔ ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ｗ ｈｅｒｅ Ｄ ｉ ｓ ｏｆｔ ｈｅ ｆｏｒｍ ＇ ）； ｓｈｏｗ （ｋ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ａ ｎｄ Ｔ ｉ ｓ ｏｆｔ ｈｅ ｆｏｒｍ ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅ（＇ （＇ ）； ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ－１ ｄｏ ｗ ｒｉ ｔ ｅ（＇ ｔ ＇ ， ｉ ， ＇ ， ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（ｃｈｒ（８）， ＇ ）＇ ＇ ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅ（＇ Ｐｌ ｅａｓｅ ｉ ｎｐｕｔＴ ： ＇ ）； ｆｏｒｉ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｒｅａｄ（ｔ ［ｉ ］）； ｒｅａｄｌ ｎ； ｐｒｏｄ（ｄｔ ）； ｓｕｍ （ｄｔ ， ｘ０）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ｔ ｈｅ ｇｉ ｖｅｎ ｓｐｅｃｉ ａｌｓｏｌ ｕｔ ｉ ｏｎ Ｘ ｉ ｓ： ＇ ） ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｗ ｒｉ ｔ ｅ（ｄｔ ［ｉ ］： ９）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ ＥＮ Ｄ ．
!!!
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第 ２０ 卷
ｖａｒｉ ， ｃｔ ， ｄ， ｆｉ ｘ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｋ： ａｒｒｔ ；ｊ ｈ： ｓｅｔｏｆ１． ． ｎ； ｘ０， ｔ ， ｄｔ ： ａｒｒｓ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｍ ｃ（ｖａｒａ： ａｒｒｔ ； ｉ ， ｔ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）； ｖａｒｓ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｓ： ＝１ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ａ［ｓ， ｊ ］： ＝ａ［ｓ， ｊ ］＋ａ［ｓ， ｉ ］＊ｔ ； ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｍ ｅｘｃ（ｖａｒａ： ａｒｒｔ ； ｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）； ｖａｒｔ ， ｓ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｓ： ＝１ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｔ ： ＝ａ［ｓ， ｊ ］；ａ［ｓ， ｊ ］： ＝ａ［ｓ， ｉ ］；ａ［ｓ， ｉ ］： ＝ｔ ； ｅｎｄ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉ ｎｉ （ｖａｒａ： ａｒｒｔ ）； ｖａｒｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ｆｏｒｊ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｉ ｆｉ ＝ｊ ＋１ ｔ ｈｅｎ ａ［ｉ ， ｊ ］： ＝１ ｅｌ ｓｅ ａ［ｉ ， ｊ ］： ＝０ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｈｏｗ （ｖａｒａ： ａｒｒｔ ）； ｖａｒｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｊ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｗ ｒｉ ｔ ｅ（ｋ［ｉ ， ｊ ］： ９）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ ｅｎｄ； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ ｅｎｄ； ｆｕｎｃｔ ｉ ｏｎ ｌ ｓｎ（ｖａｒａ： ａｒｔ ；ｖａｒｐｏｓ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）： ｂｏｏｌ ｅａｎ； ｖａｒｆｌ ａｇ： ｂｏｏｌ ｅａｎ；ｓ， ｍｉ ｎ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｌ ａｇ： ＝ｔ ｒｕｅ；ｍ ｉ ｎ： ＝ａ［１， １］；ｐｏｓ： ＝１； ｆｏｒｓ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｉ ｆａ［１， ｓ］＜＞０ ｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｆｌ ａｇ： ＝ｆａｌ ｓｅ； ｉ ｆａ［１， ｓ］＜ｍ ｉ ｎｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｍｉ ｎ： ＝ａ［１， ｓ］；ｐｏｓ： ＝ｓ ｅｎｄ ｅｎｄ ｅｎｄ； ｌ ｓｎ： ＝ｆｌ ａｇ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔ ｒａｎｓ（ｖａｒｋ： ａｒｔ ）； ｖａｒｆｆ， ｓ， ｑ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ
ｆｆ： ＝ｋ［１， １］； ｆｏｒｓ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｑ： ＝ｋ［１， ｓ］ｄｉ ｖ ｆｆ； ｍ ｃ（ｋ， １， －ｑ， ｓ） ｅｎｄ ｅｎｄ； ｆｕｎｃｔ ｉ ｏｎ ｇｃｄ（ｋ： ａｒｒｔ ）： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｖａｒｆｉ ｘ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｗ ｈｉ ｌ ｅ ｎｏｔｌ ｓｎ（ｋ， ｆｉ ｘ）ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｉ ｆｆｉ ｘ＜＞１ ｔ ｈｅｎ ｍ ｅｘｃ（ｋ， １， ｆｉ ｘ）； ｔ ｒａｎｓ（ｋ） ｅｎｄ； ｇｃｄ： ＝ｋ［１， １］ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｐｒｏｄ（ｖａｒｄｔ ： ａｒｒｓ）； ｖａｒｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｄｔ ［ｉ ］： ＝０； ｆｏｒｊ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｄｔ ［ｉ ］： ＝ｄｔ ［ｉ ］＋ｋ［ｉ ＋１， ｊ ］＊ｔ ［ｊ ］ ｅｎｄ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｕｍ （ｖａｒｄｔ ： ａｒｒｓ；ｘ０： ａｒｒｓ）； ｖａｒｉ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｄｔ ［ｉ ］： ＝ ｄｔ ［ｉ ］＋ｘ０［ｉ ］ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｉ ｇ（ｖａｒｋ： ａｒｒｔ ；ｉ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）； ｖａｒｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｊ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｋ［ｉ ， ｊ ］： ＝－ｋ［ｉ ， ｊ ］ ｅｎｄ； Ｂ Ｅ Ｇ ＩＮ ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ｔ ｈｉ ｓ ｐｒｏｇｒａｍ ｉ ｓ ｕｓｅｄ ｔ ｏ ｆｉ ｎｄ ｔ ｈｅ ｓｏｌ ｕｔ ｉ ｏｎｓ ｆｏｒ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ ｌ ｉ ｎｅａｒＤ ｉ ｏｐｈａｎｔ ｉ ｎｅ ｅｑｕａｔ ｉ ｏｎｓ ｉ ｎ＇ ， ｎ， ＇ ｕｎｋｎｏｗ ｎｓ． ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅ（＇ Ｉｎｐｕｔ＇ ， ｎ， ＇ ｉ ｎｔ ｅｇｒａｌｃｏｅｆｆｉ ｃｉ ｅｎｔ ｓ： ＇ ）； ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｒｅａｄ（ｋ［１， ｉ ］）；ｒｅａｄｌ ｎ； ｗ ｒｉ ｔ ｅ（＇ Ｉｎｐｕｔｔ ｈｅ ｃｏｎｓｔ ａｎｔｔ ｅｒｍ ： ＇ ）； ｒｅａｄｌ ｎ（ｃｔ ）； ｉ ｆｃｔ ＜０ ｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｋ［１， ｉ ］： ＝－ｋ［１， ｉ ］； ｃｔ ： ＝－ｃｔ ； ｅｎｄ； ｊ ｈ＝［］；
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第 ２０ 卷
ｖａｒｉ ， ｃｔ ， ｄ， ｆｉ ｘ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｋ： ａｒｒｔ ；ｊ ｈ： ｓｅｔｏｆ１． ． ｎ； ｘ０， ｔ ， ｄｔ ： ａｒｒｓ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｍ ｃ（ｖａｒａ： ａｒｒｔ ； ｉ ， ｔ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）； ｖａｒｓ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｓ： ＝１ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ａ［ｓ， ｊ ］： ＝ａ［ｓ， ｊ ］＋ａ［ｓ， ｉ ］＊ｔ ； ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｍ ｅｘｃ（ｖａｒａ： ａｒｒｔ ； ｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）； ｖａｒｔ ， ｓ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｓ： ＝１ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｔ ： ＝ａ［ｓ， ｊ ］；ａ［ｓ， ｊ ］： ＝ａ［ｓ， ｉ ］；ａ［ｓ， ｉ ］： ＝ｔ ； ｅｎｄ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉ ｎｉ （ｖａｒａ： ａｒｒｔ ）； ｖａｒｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ｆｏｒｊ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｉ ｆｉ ＝ｊ ＋１ ｔ ｈｅｎ ａ［ｉ ， ｊ ］： ＝１ ｅｌ ｓｅ ａ［ｉ ， ｊ ］： ＝０ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｈｏｗ （ｖａｒａ： ａｒｒｔ ）； ｖａｒｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ＋１ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｊ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｗ ｒｉ ｔ ｅ（ｋ［ｉ ， ｊ ］： ９）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ ｅｎｄ； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ ｅｎｄ； ｆｕｎｃｔ ｉ ｏｎ ｌ ｓｎ（ｖａｒａ： ａｒｔ ；ｖａｒｐｏｓ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）： ｂｏｏｌ ｅａｎ； ｖａｒｆｌ ａｇ： ｂｏｏｌ ｅａｎ；ｓ， ｍｉ ｎ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｌ ａｇ： ＝ｔ ｒｕｅ；ｍ ｉ ｎ： ＝ａ［１， １］；ｐｏｓ： ＝１； ｆｏｒｓ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｉ ｆａ［１， ｓ］＜＞０ ｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｆｌ ａｇ： ＝ｆａｌ ｓｅ； ｉ ｆａ［１， ｓ］＜ｍ ｉ ｎｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｍｉ ｎ： ＝ａ［１， ｓ］；ｐｏｓ： ＝ｓ ｅｎｄ ｅｎｄ ｅｎｄ； ｌ ｓｎ： ＝ｆｌ ａｇ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔ ｒａｎｓ（ｖａｒｋ： ａｒｔ ）； ｖａｒｆｆ， ｓ， ｑ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ
ｆｆ： ＝ｋ［１， １］； ｆｏｒｓ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｑ： ＝ｋ［１， ｓ］ｄｉ ｖ ｆｆ； ｍ ｃ（ｋ， １， －ｑ， ｓ） ｅｎｄ ｅｎｄ； ｆｕｎｃｔ ｉ ｏｎ ｇｃｄ（ｋ： ａｒｒｔ ）： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｖａｒｆｉ ｘ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｗ ｈｉ ｌ ｅ ｎｏｔｌ ｓｎ（ｋ， ｆｉ ｘ）ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｉ ｆｆｉ ｘ＜＞１ ｔ ｈｅｎ ｍ ｅｘｃ（ｋ， １， ｆｉ ｘ）； ｔ ｒａｎｓ（ｋ） ｅｎｄ； ｇｃｄ： ＝ｋ［１， １］ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｐｒｏｄ（ｖａｒｄｔ ： ａｒｒｓ）； ｖａｒｉ ， ｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｂｅｇｉ ｎ ｄｔ ［ｉ ］： ＝０； ｆｏｒｊ ： ＝２ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｄｔ ［ｉ ］： ＝ｄｔ ［ｉ ］＋ｋ［ｉ ＋１， ｊ ］＊ｔ ［ｊ ］ ｅｎｄ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｕｍ （ｖａｒｄｔ ： ａｒｒｓ；ｘ０： ａｒｒｓ）； ｖａｒｉ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｄｔ ［ｉ ］： ＝ ｄｔ ［ｉ ］＋ｘ０［ｉ ］ ｅｎｄ； ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｉ ｇ（ｖａｒｋ： ａｒｒｔ ；ｉ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ）； ｖａｒｊ ： ｉ ｎｔ ｅｇｅｒ； ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｊ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｋ［ｉ ， ｊ ］： ＝－ｋ［ｉ ， ｊ ］ ｅｎｄ； Ｂ Ｅ Ｇ ＩＮ ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ Ｔ ｈｉ ｓ ｐｒｏｇｒａｍ ｉ ｓ ｕｓｅｄ ｔ ｏ ｆｉ ｎｄ ｔ ｈｅ ｓｏｌ ｕｔ ｉ ｏｎｓ ｆｏｒ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅｌ ｎ（＇ ｌ ｉ ｎｅａｒＤ ｉ ｏｐｈａｎｔ ｉ ｎｅ ｅｑｕａｔ ｉ ｏｎｓ ｉ ｎ＇ ， ｎ， ＇ ｕｎｋｎｏｗ ｎｓ． ＇ ）； ｗ ｒｉ ｔ ｅ（＇ Ｉｎｐｕｔ＇ ， ｎ， ＇ ｉ ｎｔ ｅｇｒａｌｃｏｅｆｆｉ ｃｉ ｅｎｔ ｓ： ＇ ）； ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｒｅａｄ（ｋ［１， ｉ ］）；ｒｅａｄｌ ｎ； ｗ ｒｉ ｔ ｅ（＇ Ｉｎｐｕｔｔ ｈｅ ｃｏｎｓｔ ａｎｔｔ ｅｒｍ ： ＇ ）； ｒｅａｄｌ ｎ（ｃｔ ）； ｉ ｆｃｔ ＜０ ｔ ｈｅｎ ｂｅｇｉ ｎ ｆｏｒｉ ： ＝１ ｔ ｏ ｎ ｄｏ ｋ［１， ｉ ］： ＝－ｋ［１， ｉ ］； ｃｔ ： ＝－ｃｔ ； ｅｎｄ； ｊ ｈ＝［］；