交流电路的功率

2.4 交流电路的功率

2.4.1 瞬时功率

如图2-30所示，若通过阻抗Z的电流为i=I m sinωt，则Z两端的电压为u=U m sin（ωt+φ），在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率为

p=ui=U m sin（ωt+φ）×I m sinωt=UI cosφ-UI cos（2ωt+φ）（2-54）

图2-30 正弦交流电路

在式（2-54）中，第一项为不变的部分，总是大于等于零，是耗能元件上瞬时功率；第二项为变化的部分，是储能元件上瞬时功率。由此可见，在每一瞬间，电源提供的功率一部分被耗能元件消耗，另一部分与储能元件进行能量交换。

2.4.2 有功功率与功率因数

一个周期内瞬时功率的平均值称为平均功率，也称有功功率。

式中，λ=cosφ称为电路的功率因数。可见，正弦交流电路中的有功功率不但与电压、电流有关，还与电压和电流相位差的余弦值有关。

可见，在正弦交流电路中，电感、电容元件实际不消耗电能，而电阻总是消耗电能的。

有功功率是电路实际消耗的功率，即二端网络中，各电阻所消耗的有功功率之和。有功功率的单位是瓦特（W）。

2.4.3 无功功率

电路中的电感元件与电容元件要与电源之间进行能量交换，根据电感元件、电容元件的无功功率，考虑到与相位相反，于是

Q=（U L-U C）I=（X L-X C）I2=UI sinφ（2-56）

单个电感元件，

Q L=U L I L sinφ=U L I L>0

单个电容元件，

Q C=U C I C sinφ=-U C I C<0

即电感的无功功率取正值，而电容的无功功率取负值，以便区别。在既有电感又有电容的电路中，总的无功功率为Q L与Q C的代数和，即

Q=Q L-Q C

无功功率的单位是乏（var）。

2.4.4 视在功率

在交流电路中，电压与电流有效值的乘积，只能表示电源可能提供的最大功率，叫视在功率，用字母S表示。即

S=UI=I2|Z| （2-57）

视在功率的单位是伏安（V·A），常用来表示电气设备的容量。

根据上面对有功功率P、无功功率Q和视在功率S的分析，将交流电路表示电压间关系的电压三角形的各边乘以电流I即成为功率三角形，如图2-31所示。

图2-31 功率三角形

由功率三角形可得到P、Q、S三者之间的关系为

P=UI cosφ

Q=UI sinφ

【例2-17】已知电阻R=30Ω，电感L=382mH，电容C=40μF，串联后接到电压u=

sin（314t+30°）V的电源上。求电路的P、Q和S。

解：电路的阻抗为

电压相量

因此电流相量

电路的平均功率

P=UI cosφ=220×4.4cos53°=583W

电路的无功功率

Q=UI sinφ=220×4.4sin53°=773var

电路的视在功率

S=UI=220×4.4=968V·A

由上可见，φ=53°>0，电压相位超前于电流相位。因此电路为感性。

【例2-18】在RLC元件串联电路中，已知R=20Ω，L=100mH，C=40μF，电源电压u=311sin （314t+30°）V。求：①电流的瞬时值i与有效值I；②各部分电压的瞬时值及有效值；③P 和Q。

解：求电路的阻抗

X L=ωL=314×100×10-3=31.4Ω

Z=R+j（X L-X C）=（20-j48.6）Ω

①电流的瞬时值与有效值

②电压的瞬时值及有效值

U R=RI=20×4.2=84V

因电阻的电压与电流同相，故

U L=X L I=31.4×4.2=131.9V

因电感上的电压超前流过的电流90°，故

因电容上的电压滞后流过的电流90°，故

③有功功率、无功功率

P=UI cosφ=220×4.2×cos（-67.6°）=352W

Q=UI sinφ=220×4.2×sin（-67.6°）=-854var

因无功功率小于零，所以电路呈现电容性质。

2.4.5 功率因数的提高

由功率三角形可得

cosφ=P/S（2-58）

由式（2-58）可见，功率因数表示的是有功功率占视在功率的份额。而有功功率为

P=UI cosφ=S cosφ，是用电设备（负载）吸收的功率。视在功率S=UI表示供电设备的容量，也是电源提供的功率。如果P=S，则cosφ=1，表明电源提供的功率全部被负载利用做了有用功。一般情况下，P总是小于等于S，所以cosφ的取值范围为0≤cosφ≤1。cosφ越大，电源提供的有功功率越多。可见，功率因数cosφ的大小，直接影响供电设备的有效利用。而决定cosφ大小的是负载的电压和电流的相位差φ，即与负载的性质有关。如在纯电阻电路中Q=0，P=S，λ=1，功率因数最高，电源提供的功率被负载全部利用了；在纯电容和纯电感电路中P=0，Q=S，λ=0，功率因数最低。

功率因数低会带来下面两个问题。

（1）电源设备的容量不能充分利用

交流电源设备（发电机、变压器等）一般是根据额定电压和额定电流进行设计、制造和使用的。它能够提供给负载的有功功率为P=U N I N cosφ。如果cosφ低，则负载吸收的有功功率低，电源的潜力没有得到充分发挥。例如额定容量1000kV·A的变压器，若负载的功率因数cosφ=1，则变压器额定运行时可供给有功功率1000kW；若负载的功率因数为0.5，则变压器额定运行时只能输出有功功率500kW。如果增加输出，则电流必定过载，此时变压器远没有得到充分利用。

（2）增加线路的损耗

由公式I=P/（U cosφ）知，当电源电压U及输出有功功率P一定时，负载的功率因数cosφ越低，线路电流I越大。而线路的功率和电压损耗分别为P0=I2R0及U0=IR0（R0为线路电阻），线路电流I越大，两种损耗越大。功率因数越高，则线路电流越小，两种损耗越低。如果能够设法补偿感性负载的这部分无功功率，减少感性负载与电源之间的能量交换，就能使电源的容量被充分利用。所以，研究如何提高电路的功率因数具有实际意义。

提高电感性电路的功率因数，除尽量提高负载本身的功率因数外，还可以采取与电感性负载并联电容的办法。可以在电力用户变电所的高压侧并联电力电容，也可以在用户的低压进线处并联低压电容。

电路如图2-32所示。

图2-32 提高功率因数的电路