第一节微分方程的概念

ln | y | x2 C1, y ex2 C1 eC1ex2
绝对值号可省略 y Cex2
任意常数,记为C
(2). y
x y
xy 2 x2 y
,
y |x0 1
y 1 y2
dy
x 1 x2
dx
y 1 y2
dy
x 1 x2
dx
ln(1 y2 ) ln(1 x2 ) C1 1 y2 C(1 x2 ), (C eC2 ) 定解条件代入: C=2 故特解为: 1 y2 2(1 x2 ).
注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型
例6:
y
1
x cos y sin 2 y
视 x 为 y 函数,可化成线性方程
dy
(
y )2 x
dx y 1
x
u y
x
u
u y
x
du dx
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u2 u 1
y
(1
1 )du u
1 x
dx
u ln u C1 ln x
x y Ce x
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三.一阶线性方程微分方程 自由项
一般形式:
Q(x) 0 : Q(x) 0 :
由 y |x3 1 得: C 2
故所求特解为: x y( y 2)
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四.伯努利方程
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一般形式为: dy P(x) y Q(x) yn,(n 0,1) 的方程称为伯努利方程
dx
当 n= 0 或1时,这是线性方程.
当 n 0,1 时,可以化成线性方程:
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二.齐次方程的解法
如果方程(1)可化成:
dy ( y )
dx x
齐次方程
解法:
令
u
y x
化成可分离变量方程.
y xu
dy u x du
dx
dx
u x du (u)
dx
例2:
dy dx
y2 xy x2
du 1 dx
(u) u x
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例4:
求方程( x
y2)
dy dx
y
满足初始条件y |x3 1
的特解.
将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:
dx 1 x y dy y
P(y) 1 ,Q(y) y y
x
e
1 y
dy
[
ye
1 y
dy
dy
C]
y(y C)
dy P(x) y Q(x) (2)
dx
一阶线性非齐次方程
dy P(x) y 0 (3)
dx
一阶线性齐次方程
方程(3)是可分离变量方程, 其通解为:
y Ce P(x)dx 方程(2)的通解 常数变易法 设(2)的通解: y C(x)e P(x)dx
代入方程(2):
y C(x)eP(x)dx C(x)P(x)e P(x)dx
定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解; 定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件.
5. 几何意义: 通解 积分曲线族 特解 积分曲线
例:验证 x2 y2 c 是 y x 的通解
y
对
x2
y2
c用隐函数求导法得:
y
x y
故 x2 y2 c 是方程的解, 且含有一个任意常数.
通解
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两端同除以 yn , yn dy P(x) y1n Q(x),
dx
1 d ( y1n ) P(x) y1n Q(x), 1 n dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x).
dx
关于 z 的线性方程
求出通解后再还原回 y
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例5: y xy y2
y 1 y 1 y2
x 两端同除以 y2,
x y2
y
1
y 1
1
x
x
令 z y1, z 1 z 1 ,
xx
z
e
1 x
dx
[
1
e
1 x
dx
dx
C]
x
1 (x C)
x
代入 z y1, 通解为 y x .
xc
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解法: 1.分离变量: f (x)dx g( y)dy
2.两边积分: f (x)dx g(y)dy
3.得出通解: G( y) F(x) C 只写一个任意常数
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例1:
(1). dy dx
2xy
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1 dy 2xdx y
1 y
dy
2xdx
3. 解: 如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解. 如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同 通解 必须独立 不含任意常数的解 特解
n阶方程通解一般形式:
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y y(x, c1, c2 ,, cn )
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4. 定解条件: 确定通解中任意常数值的条件.
C(x) Q(x)eP(x)dx
C(x) Q(x)e P(x)dxdx C
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则方程(2)的通解:
y e [ P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C] (4)
注:1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;.
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二. 概念 1. 微分方程: 含有未知函数的导数或微分的方程.
未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例) 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 本章内容 2. 阶: 未知函数的最高阶导数的阶数.
例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程. 必须出现 n阶方程一般形式: F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;
3. y Ce P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx
非齐次方程 解的结构
齐次方程的通解 非齐次方程的特解
例3: dy 2xy ex2 cosx dx
y e2xdx[
ex2
cos
x
e
2
xdxdx
C]
ex2 [ cosxdx C] ex2 (sin x C)
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第二节 一阶微分方程
本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.
一、可分离变量的方程
一阶微分方程一般形式: F(x, y, y) 0
我们研究其基本形式:
dy f (x, y) dx
(1)
如果可化成: f (x)dx g( y)dy 则(1)称为可分离变量的方程.