知其然,更要知其所以然

知其然，更要知其所以然——观摩《课题学习：简单平面图形的重心》课例的反思兴宁中学汪佳明新课程标准的出台和新教材的实验与推广，加大了教学改革的力度，为培养学生的创新意识和实践能力提供了良好的空间。

新教材无论从内容设计上还是呈现形式上，都给传统的教学模式以冲击，也给我们教师带来了一个新挑战——如何上好“课题学习”课。

“课题学习”是新课程标准的一大特色，也是新教材的亮点之一，由于它是一块新增的内容，一种新型的教学活动，没有现成的教学方法可以遵循，许多教师都是边实践，边教学，从中努力寻求好的教学手段和方法。

为此，今年四月份江东区教研室组织了一次初二数学教师的教研活动，由一名教师上一节优质示范课，执教的课例是浙教版八年级下册的课题学习：简单平面图形的重心。

一、课例教学片段回顾与评析（一）创设情境，激发兴趣1、欣赏杂技演员顶举多个圆形瓷盘进行表演的照片2、教师示范杂技，用一个手指头平衡地顶起一本书，并以手指头为支点让书本旋转起来3、让学生也模仿教师的动作，尝试着表演顶书杂技，多数学生表演失败3、发问学生，演员和教师为何有这样的杂技本领4、引出重心的物理含义：物体的各部分都受到重力作用，从效果上看整个物体所受的重力就集中作用在一点上，这一点叫做物体的重心评析：1、通过欣赏杂技演员和教师的精彩表演，引起学生的好奇心，跃跃欲试之后的失败更是加重了他们的疑惑：为何演员和教师能使圆盘和书本不掉下来而旋转呢？激发了学生学习本课题的兴趣。

2、教师介绍重心的物理含义后可让学生再次尝试顶书杂技，通过重心使竖直向上和竖直向下的力平衡即可，让他们在感受成功的喜悦的同时对重心的含义产生感性认识，感受重心是客观存在，为后面从物体重心到几何图形重心的抽象作好铺垫。

（二）实践活动，探求方法1、活动一：寻找一支粗细均匀的木条的重心位置（1）如图所示，两手分开把均匀木条水平地架在左右手的食指上，把两食指相对交替靠拢直到并在一起为止．用一个食指支在此处木条能水平平衡的位置．（2）用刻度尺量出平衡点的位置．得出均匀木条的重心在木条的中点处．（3）学生由圆形瓷盘、书本、铅笔的重心探求经历，得到确定物体重心的方法之一：顶举法（支撑法），关键是使以重心为作用点的竖直向上和竖直向下的力平衡即可2、活动二：不用顶举法来寻找不规则外形薄板的重心位置（1）任选两点A 、C 作为悬挂点 （2）静止时在薄板上描下两重垂线AB 、CD 的位置（3）两重垂线的交点即为重心G（4）解释此法的合理性，关键是重心必在重垂线上，得到确定物体重心的方法之二：悬挂法评析：教师设置的两个课堂活动，充分提供了学生实验、观察、测量的机会，培养了他们的探究意识，使他们在动手的过程中感受数学活动的乐趣，并且为三角形重心位置的验证做好方法上的准备。

（三）经历抽象，获得新知1、把物体抽象成平面几何图形（圆形瓷盘——圆，书本——长方形，木条——线段），得到圆的重心是圆心，长方形的重心是对角线的交点，线段的重心是中点，由此得到平面几何图形的重心就是它的几何中心。

2、根据重力的物理意义，借助数学推理，探究三角形的重心位置。

因为三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两部分。

如果把三角形看成一块均匀的薄板，那么这两部分所受的重力应当相等。

因此，三角形的重心在这条中线上。

由此可得重心应是三角形三条中线的交点。

3、依据三角形重心的数学推理思路，教师引导学生总结出命题：“平分平面几何图形面积的两条直线的交点是重心。

”（注：此命题为假命题，但该授课教师却将它当作是真命题来使用，导致以下所有的重心问题的解决都建立在一个假命题之上，这成为了本节课最大的败笔）评析：1、把物体的重心概念抽象成几何图形的重心概念，关键是把物体抽象成几何图形。

由于教师先前创设了照片展示、杂技表演、实验活动等一系列的课堂环节，使得学生在经历抽象的过程中显得轻松自然，突破了难点。

特别是对于长方形的重心与其对角线交点关系的得出体现了“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

”发展了几何直觉和合情推理的能力。

2、如何用数学推理求一个三角形的重心，浙教版八年级下册的教学参考书中确实有一段这样的说明：“因为三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两部分。

如果把三角形看成一块均匀的薄板，那么这两部分所受的重力应当相等。

因此，三角形的重心在这条中线上。

由此可得重心应是三角形三条中线的交点。

”但是，该教师却未能把教参中的只言片语理解透彻，正所谓知其然，更要知其所以然。

如图，把∆ABC 看成一块均匀的薄板，由悬挂法可验证中线AD 把∆ABC 分成面积相等的两部分∆ABD 与∆ACD ，因此两部分所受的重力F 1=F 2，它们分别集中作用于点G 1与G 2，且F 1与F 2到重垂线AD 的距离（即力臂）分别为L 1与L 2。

事实上，悬挂法的物理依据就是力矩平衡原理，由公式：F 1×L 1=F 2×L 2可知，必有L 1=L 2。

所以若仅有F 1=F 2（F 1=F 2在平面几何上表现为两部分面积相等）而L 1≠L 2是不能保证∆ABC 获得平衡的（平衡表现为用悬挂法时三角形薄板保持静止状态），此时，重心就不在AD 上了。

由此可见，重心未必在平分几何图形面积的直线上。

从而就说明了该教师总结出的寻找重心的数学方法——命题“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”是假命题。

另外，也可以举一个简单的反例再次阐明原命题是假命题。

如图，∆ABC 中，AD 、BK 是中线，交点G 必是∆ABC 的重心，又AE AF AB AC ==，所以EF 也平分∆ABC 的面积，但EF与AD的交点G’却不是∆ABC的重心。

故在教学中可先通过数学推理，再悬挂、实验，观察出三角形的三条中线交于一点，在客观上承认了这样一个数学事实：三角形的重心是它的三条中线的交点。

（四）运用新知，巩固提高1、例1：画出正方形、平行四边形、正五边形、正六边形的重心2、例2：画出（1）（2）两图的重心（1）（2）评析：1、由于教师误把“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”当作真命题，所以在启发学生解决例1的重心问题时，仅从寻求平分几何图形面积的两直线的角度上去分析，尽管从答案的结果上看，G的位置是正确的，但却误导了学生对重心问题本质的理解。

2、例2求的是组合图形的重心，教师引导学生将它分割成几个简单的平面图形，再归结为类似例1的做法。

3、可以把假命题：“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”修改为命题（*）：“当平面几何图形是中心对称图形时，平分平面几何图形的两直线的交点是重心”，它是一个真命题。

根据力矩平衡原理，此时必有L1=L2，所以F1=F2，从而有两部分的面积相等。

例1的重心问题从而得到解决。

但命题（*）的否命题是假命题，如例2（2）的图形不是中心对称图形，但平分该图形的两条直线的交点却是重心。

所以说，求平面几何图形的重心是一个很复杂问题，不是仅仅靠画两条平分面积的直线就可以解决的，严格地说需要用到微积分的知识。

现从理论上简述任意四边形重心的作法：如图，连结四边形的一条对角线，这样四边形就变成两个三角形的组合体，分别作出两个三角形的重心A 、B 并连结，同样，连结这个四边形的另一条对角线，四边形就变成了另外两个三角形的组合体，再分别作出这两个三角形的重心C 、D 并连结，线段AB 与线段CD 交于点G ，G 就是该四边形的重心。

同理，用数学归纳法可以将此法推广到N 边形重心的作法，这里不再赘述。

3、例3：如图，G 是∆ABC 的重心（1）说明S ∆GBC =13S ∆ABC 的理由； （2）连结AG 并延长交BC 于D ，则S ∆BGD 是S ∆ABC 的几分之几？ 评析：教师对此题的分析思路也有待商榷。

由于被命题“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”的思路误导，接着又认为：过平面几何图形重心的直线平分该图形的面积。

即误认为此命题的逆命题也为真命题。

因此，教师分析认为，连结重心G 和∆ABC 各个顶点的线段必然把∆ABC 的面积三等份。

其实，命题“过平面几何图形重心的直线平分该图形的面积”是假命题，还是利用三角形的重心举一个反例来说明：如图，∆ABC 中，G 是它的重心，过G 作DE//BC 交AB 、AC 于D 、E ，但45ADEDBCES S = 四边形。

例3可以根据三角形同底等高的面积关系来求解。

（五）学有所用，分享快乐1、以学生畅谈收获感想的形式进行课堂小结2、在课堂教学的尾声中，利用分发到的工具箱内的多边形材料，学有所用，向同学们和教师展示自己的杂技表演。

二、对该课例的几点反思1、本节课例的活动流程为：提出课题——实验、猜想、探究——形成结论——巩固提高——课题小结。

在实验、猜想、探究环节中遵循从简单到复杂、从特殊到一般、从形象到抽象等原则开展活动，注重培养学生动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，进一步培养学生课题学习的意识。

所以，从课例教学情境的（1） （2）C设置，教学结构的安排上来看都是可圈可点的。

2、在课题学习的教学过程中，教师采用了情境设置，实验活动，启发探究等方式，充分调动了学生学习数学的积极性和主动性，每个学生自始至终都处于积极主动参与状态中。

学生在学习过程中，自我探究，主动参与、合作学习，充分体现了学生在学习中的主体地位，在不断获取新知识的同时，提高了学习能力，变得越来越爱学、越来越会学。

而且，此课题的教学也提高了学生合作意识和创新意识。

在数学课上，通过学生间的合作，积极建立起良好的人际关系，培养人与人相互沟通、相互协作、相互学习、相互支持的优秀品质和主动学习能力。

3、该教师向我们展示了如何在课堂教学中建立新型的师生关系。

她运用课堂语言恰如其分，声音亲切自然，如沐春风，用自己的激情吸引学生一起投入到数学学习活动中去，使学生体验到自由、尊重、信任、理解和宽容，缩短了师生间的“距离”，建立了良好的师生关系，教师成为了学生的朋友，不再是权威，而是教学过程的组织者、引导者、参与者和服务者。

从而营造了良好的育人环境，使学生在和谐愉悦的氛围中感受数学活动的乐趣，乐于参与数学活动的探究，达到了情感目标。

4、知识性的错误是本堂课题学习示范课的败笔。

教师仅凭教参中的“两部分面积相等”、“这两部分所受的重力应当相等”等几句话，就想当然的以为寻找重心只需找出平分面积的两条直线即可，却不知还有力臂是否相等的判断，归于实质，就是不理解悬挂法的力学依据。

虽然，教参上建议应把本节上成一节数学课，而不能上成力学课，但作为执教者却不能不对此课题的力学背景作一番学习，只有站在高一点的力学立场上才能正确地指导学生，避免发生不该犯的知识性错误。

而教参中的这几句话也的确容易让不明力学背景的部分教师产生如此的误解，因此，建议可在教参中加上这段力学依据。