静态场边值问题的解法
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
第5章 静态场边值问题的解法
两边同乘 sin
b
b m y n y m y 0 V sin b dy 0 Cn sin b sin b dy n 1 b m y n y
b
并从0 → b积分：
C
n 1
n 0
sin
0 m y n y ∵ sin sin dy 0 b b b / 2
，即
n
具有轴对称性，通解为
P0 1
bn ( R, ) (a n R n 1 ) Pn (cos ) R n
若 与
P1 (cos ) cos
Pn (cos ) -----为勒让德函数
1 P2 (cos ) (3 cos 2 1) 2
三 、求解场方法
（一）、直接积分法（一维场）
适用条件：一些简单对称的问题 例：5.1
（二）.
拉普拉斯方程
—— 分离变量法
•分离变量法的适用条件 •拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 •解题步骤 •应用实例
•拉普拉斯方程的适用条件 1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导
体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 0 0 为已知自由电荷产生 ， 的电势， 不满足 2 0 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 2 0 但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
福州大学电磁场 第四章 静态场边值问题的解法(1)
4U0 Fn ' = nπsh(nπ)
代入通解
∞
n =1,3,5.....
接地金属槽内 的等位线分布
4U0 1 nπ nπ φ(x, y) = ∑, nsh(nπ) sin( a x)sh( a y) π n=1,3
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下 页
例： 一导体槽，槽的宽度在x方向和z方向均为无穷 一导体槽，槽的宽度在x方向和z 槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 大，槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 上导体板的电压为U 试求导体槽内的电位。 上导体板的电压为U0 ，试求导体槽内的电位。
上 页 下 页
Cn = 0
nπ nπ φ(x, y) = ∑BnDn sin( x)sh y a a n=1
nπ nπ = ∑Fn ' sin( x)sh( y) a a n=1 π 由边界条件（ φ 由边界条件（4） =100 sin x代入通解得 y=a,0<x<a a
∞
∞
πx ∞ nπ 100sin = ∑Fn 'sh(nπ) sin x a n=1 a
把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的 乘积表示， 乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求 最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。 解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。
分离变量法解题的一般步骤： 分离变量法解题的一般步骤： 解题的一般步骤 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解； 解常微分方程，并叠加得到通解；
静态场中的边值问题
方程（4-47）的通解为
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理
l 2π
ln
r0 r
l 2π
ln
1 r
C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷. l
第3 章
若令镜像线电荷 产 生的电位也取相同的 l
作r0为参考点，则
及l
在 圆柱面上 P 点共同产生的电位为
R
l
h
R′
x
-h
l ln x2 (z h)2 ， z 0
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
3、对于均匀分布在球面上的-q'电荷，可用另一个镜像电荷q"= q' 代替，但必须位于球心。
第3 章
结论：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：
镜像电荷1： 电量：q ' a q
位置： d ' a2
d
镜像电荷2： d
电量： q '' q ' a q
d
r r'
q O
'' d'
q' d
q
4 0 r
0
q q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了
导体上的感应电荷。
在z>0区域内，P点的电位为
静态场的边值问题
a
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
第四章静态场边值问题的解法精品PPT课件
nx
a
sinh
ny
a
U
sinh b
sin
x
a
sinh
y
a
a
16
当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，
第四章 静态场边值问题的解法
直角坐标中的分离变量法 镜像法 有限差分法
1
第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边
界条件：,,与 拉普拉斯方程 2＝0 有唯一解。
n n
求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确 解，其中分离变量法是最基本的解法； 另一类是数值法，如时域有限差
分法（FDTD），有限元（FEM），矩量法（MOM）等只 能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分 明显，因为其简单方便。
右边s
in
my在 b
b 0
d
y上积分＝ b 0 n1
Cn
sinhnasin
b
nbysin
my
b
dy
＝0bCn
sinhnasin2
b
nyd
b
y
b
0 Cn
sinhna1c
b
os2ny
b 2
dy
b 2Cn
sinhna
b
从而
b 2
C
n
sinh
na
b
2U 0b
n 2
sin
n
2
Cn
n
b
考虑到在 x 方向是有限区域，且0,y0
取
Xn
si
nhn
b
x，这是因为
选f A1sinh(xx)A2coshx(x)
当x0, f A10A2121A2 0
静态场及其边值问题的解课件
6.3.2 接地导体平面的镜像 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
h
h
14
q
R
R
镜像电荷 电位函数
q q, h h
q ( 1 1 ) （z 0） 4π R R
h
q
因 z = 0 时，R R z0 0
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
第6章 静态场的边值问题
例：
y
b 0 x
O
U0 0 x
ax
2
x2
2
y2
0
x
x0 0,
x
xa 0
(x, 0) 0,(x,b) U0
（第三类边值问题）
第6章 静态场的边值问题
6.2 唯一性定理 唯一性定理的表述
在场域V 的边界面S上给定 或 的
n 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具 有唯一值。
5
V S
21
例6.3.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移
至无穷远处，需要做多少功？
x
解：移动电荷q时，外力需要克服电
q
场力做功，而电荷q受的电场力来源于导 0
d
体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至 无穷远时电场力所做的功。
=∞
-d q'
由镜像法，感应电荷可以用像电荷 q q替代。当电荷q 移 至x时，像电荷 q应位于－x，则像电荷产生的电场强度
E ( x)
ex
q
4π0 (2x)2
q2
Wo We 16π0d
We
qE(x) dx
d
q2
4π 0
d
1 (2x)2
dx
静态场边致问题的解法
第四章静态场边值问题的解法主 要 内 容z4.1边值问题的分类边值问题 是指存在边界面的电磁问题。
边值问题、分离变量法、数值解法等 7学时z根据给定边界条件对边值问题分类：第一类边值问题： 已知电位函数在全部边界面上的分布值1. 边值问题的分类 2. 唯一性定理 3. 直角坐标系中的 分离变量法 4. 圆柱坐标系中的 分离变量法HFUTHFUT-FZG5. 球坐标系中的 分离变量法 6. 镜像法 7. 有限差分法φ∂φ ∂nS= f= fS狄里赫利问题（Dirichlet）第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法向导数值 诺埃曼问题 （Neumann）第三类边值问题：已知一部分边界面上的电位函数值,和另一 部分边界面上电位函数的法向导数．φS1= f1HFUTHFUT-FZG∂φ ∂n= f2S2S = S1 + S 2 混合边值问题边值问题 微分方程 边界条件 解析法积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法ρ ∇ ϕ = − ε 2 ∇ ϕ = 02场域 边界条件分界面 衔接条件自然 边界条件计算法保角变换法• • • •ϕ1 = ϕ 2 ε1∂ϕ1 ∂ϕ − ε 2 2 = ρS ∂n ∂n有限差分法 参考点电位 limϕ = 有限值r →∞有限元法 数值法 边值问题 研究方法 实测法 实验法 模拟法 定性 边界元法 矩量法 模拟电荷法• • • •第一类 边界条件第二类 边界条件第三类 边界条件已知场域边界 上各点电位值ϕ S = f1 ( s)HFUTHFUT-FZG已知场域边界 上各点电位 的法向导数 ∂ϕ = f 2 ( s) ∂n S∂ϕ (ϕ + β ) = f3 (s) ∂n S一、二类边界 条件的线性组 合，即数学模拟法 物理模拟法• • • •边值问题框图HFUTHFUT-FZG作图法 定量边值问题研究方法框图4.2唯一性定理（Uniquness Theorem）∂φ4.3直角坐标系中的分离变量法唯一性定理：在场域V的边界面S上给定电位 φ 或 ∂ n 的值， 则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。
电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
n × (E1 − E2 ) = 0 ⇔ E1t = E2t
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
第五章 静态场的边值问题
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
电荷守恒：当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时，导体表 面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点 电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个 异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电 荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，
由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一
维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变
量 x 的常微分方程的通解为
j k x j k x 或者 x x X ( x ) C sin k x D cos k x X ( x ) A e B e x x
E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
2
该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为 上式称为拉普拉斯方程。
2 0
例 求同轴电缆在空间任意一点的E。
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
坐标系及球坐标系。
此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关， 因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采 用直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边 值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程， 一种有效的方法就是分离变量法。 分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化 为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变
静态电磁场边值问题的解法
1 1 2
q q' q q''
2
1 1
q' 1 2 q
1 2 q'' q' 2 1 q
1 2
上半空间电势为 P 下半空间电势为 P
q q'
41r1 41r2
q
q''
4 r 4 r 2 1 第八页，共30页
21
2 2
q q' q q''
1
➢ 1中的电场是由 q与 q'共同产
1
上 半 空 间
E1t
q
41r 2
cos
q'
41r 2
cos
D1n
q
4r 2
sin
q'
4r 2
sin
下 半 空 间
E2t
q
42r 2
cos
q''
42r 2
cos
D2n
q
4r 2
sin
q'' sin 4r 2
第七页，共30页
2 2
q
q' q q''
q q' q q''
DE11tn
E2t D2
n
(x, y) X (x)Y ( y)
y
( A1 cos kx A2 sin kx) (B1chky B2shky)
边界条件：
U0
0
0 z
ab 0
x
x 0, 0 y b, 0 x a, y 0, x a, 0 y b, 0 x a, y b,
由（1）可得：A1 0 由（2）可得：B1 0
[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法
![[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/27deae7a26fff705cd170aa2.png)
例3.2 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位
为100 sin x ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。
a
解：选定直角坐标系 边值问题
图 接地金属槽的截面
2
2 x 2
2 y 2
0
( x0,0 ya) 0
( y0,0xa) 0
( ya,0xa)
。等式两端同乘 sin m a
x
，然后从 0到
a对 x积分
a 100sin m xdx
0
a
n1
a
n
0 Fn ' 'sin a
x sin m
a
xdx
400
Fn '' Fn ' shn n
d2 dr
)
0
(0 r a) (a r )
积分之，得通解
1( r
)
r 2 60
C1
1 r
C2
2(
r
)
C3 r
C4
边界条件
1 ra
2 ra
0
1
r
ra
0
2
r
ra
1 r0 有限值 2 r 0 参考点电位
解得 C1 0 C4 0
C3
a 2 2 0
,
C2
a3 3 0
电位：
1(r)
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
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第四章 静态场边值
问题的解法
3 分离变量法的分类 直角坐标系中的分离变量法 圆柱坐标系中的分离变量法 球坐标系中的分离变量法 4.5 复变函数法
主要用途 用于求解复杂边界的二维边值问题，且在一般条件下 ，其解具有较简单的形式，可方便地计算电容。
第四章 静态场边值
问题的解法
4.5.1 复电位 若复变函数
边界上的边界条件已知时,空间个部分的场唯一
确定。
第四章 静态场边值
问题的解法
4.3 镜像法
1 用途 是解静电场边值问题的一种特殊方法，主要用来求解 分布在导体附近的电荷产生的场。 2 分类 平面镜像法 球面镜像法 圆柱镜像法 平面介质镜像法
第四章 静态场边值
问题的解法
4.4 分离变量法
1 内容 是数学物理方法中应用最广的一种方法，它要求所 给的边界与一个适当的坐标系的坐标表面相重合， 或分段重合，待求偏微分方程的解可表示成三个函 数的乘积，每一个函数仅是一个坐标的函数。从而 把偏微分方程化为常微分方程进行求解。
(r
r
)
G1 S 0
第四章 静态场边值
问题的解法
第二类边值问题的格林函数
2G2
(r
,
r
)
(r
r
)
G2 n
S0
第三类边值问题的格林函数
2G3
(r
,
r
)
(r
r
)
(G3
G3 ) n
S
0
第四章 静态场边值
问题的解法
4.6.2 简单边界的格林函数
V
V
s () ds
即
s
ds n
(2 )dV = ds
V
s n
第四章 静态场边值
问题的解法
2 格林第二公式
(2 2)dV = ( )ds
V
s n n
4.2.2 唯一性定理
对任意的静电场,当空间各点的电荷分布与整个
1．差分原理 有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问 题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续 场域内的真实解。 2. 差分表示法 对于函数f(x)，当独立变量x有一微小增量x＝h时， 相应f(x)的增量为： f (x) = f (x+h) - f (x)
v
v
Ex x , Ey y
如图所示，通过曲面的电通量为
v v
E dS (Exdy Eydx) ( x dy y dx)
(
u y
dy
u x
dx)
du
第四章 静态场边值
问题的解法
BE
y
dl dS
导体
E
A x 电通量函数
第四章 静态场边值
问题的解法
2 实现分离变量法的步骤 分离变量。将偏微分方程的定解问题化为常微分方 程的定解问题（线性齐次偏微分方程）； 确定固有值和固有函数。当边界条件是齐次的时， 利用其求固有值，并求出满足零边界条件的非零解； 求解其他常微分方程。得到满足齐次边界条件的偏 微分方程的特解Un（x，y）； 将所有Un（x，y）叠加，利用其中的常数使其满足 偏微分方程其余的定解条件。
4.6.1 静电场边值问题的格林函数表示方法 1 给定边界形状下一般边值问题的格林函数
(r)
V
(r )G(r ,
r)dV
s [G
(r )
n
(r )
G(r, r)]dS n
2 格林函数边界条件的分类 第一类边值问题的格林函数
2G1
(r
,
r
)
在无源区，二维静电场的电位满足拉普拉斯方 程，即二维静电场的电位可用解析函数的实部或 虚部表示。 对于解析函数 w(z) u(x, y) jv(x, y) 曲线簇 u(x, y) C1 和曲线簇 v(x, y) C2 处处相互正交 。即任意解析函数的实部和虚部均满足二维拉普 拉斯方程，且实部和虚部的等值线相互垂直。
第四章 静态场边值 问题的解法
由于二维静电问题的等位线和电力线相互 垂直，故如果用虚部表示电位，则实部 的等直线 u(x, y) C1 就表示电通量线，此时 称该实部为通量函数，称解析函数 w(z) 为 复电位。
第四章静态场边值
问题的解法
4.5.2 用复电位解二维边值问题 通量函数 若利用某一解析函数的虚部表示二维电场的电位，则
第四章 静态场边值
问题的解法
4.6 格林函数
1 格林函数的内容 是数学物理方法中的基本方法之一，可用于求解静态 场中的拉普拉斯方程，泊松方程及时变场中的亥姆霍 兹方程。 2 格林函数的要点 求出与待解问题具有相同边界形状的格林函数； 通过积分得到具有任意分布源的解。
第四章 静态场边值
问题的解法
第四章 静态场边值
问题的解法
本章内容安排
4.1 边值问题的分类 4.2 唯一性定理 4.3 镜像法 4.4 分离变量法 4.5 复变函数法 4.6 格林函数法 4.7 有限差分法
第四章 静态场边值
问题的解法
4.1 边值问题的分类
1 定义 通过微分方程及相关边界条件描述的问题 2 分类 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值； 第二类边值问题：给定边界上每一电位函数的法向 导数； 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位 ，同时给定另一部分边界上每一点电位法向导数。
无界空间的格林函数
G(r, r) 1 1
4 R 4 r r
上半空间的格林函数
G(r, r) 1 ( 1 1 ) 4 R1 R2
球内、外空间的格林函数
G(r, r) 1 ( 1 ) 4 R1 rR2
第四章 静态场边值
问题的解法
4.7 有限差分法
第四章 静态场边值
问题的解法
4.2 唯一性定理
4.2.1 格林公式
1 格林第一公式
由散度定理
V FdV s F ds
令
F =
则
F = () 2
第四章 静态场边值
问题的解法
则
FdV = 2
w(z) u(x, y) jv(x, y)
为解析函数，则实部和虚部间满足柯西-黎曼条件：
u v , v u x y x y
解析函数的实部和虚部满足二维拉普拉斯方程：
x2u2
2u y 2
0
2v 2v 0 x2 y2
第四章 静态场边值
问题的解法