有理分式函数值域1.0
必修1函数的定义域和值域
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，
那么其值域为
()
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
答案： A
3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是 ( B )
A．y＝lgx
B．y＝(13)1－x
C．y＝|x－x 1|
D．y＝ 1－2x
函数值域或最值的常用求解方法 导数法
当一个函数在定义域上可导时，可根据其导 数求最值确定值域；
函数值域或最值的常用求解方法
判别式法
主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)·x2＋ b(y)·x＋c(y)＝0的函数y＝f(x)．在由Δ≥0且a(y)≠0, 求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是 否有相应的x的值．
解析：∵ x有意义，∴x≥0. ∴y＝x2＋3x－5＝x＋322－94－5 ∴当 x＝0 时，ymin＝－5.
答案： [－5，＋∞)
函数值域或最值的常用求解方法
基本不等式法
具有可用基本不等式求解形状特征的函数，常利用基 本不等式 a＋b≥2 ab求函数值域，应用基本不等式求值域 时，要注意条件“一正、二定、三相等”．即：①a>0，b>0； ②a＋b(或 ab)为定值；③取等号条件 a＝b.
法二：(换元法)令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝1－2 t2， 于是 y＝1－2 t2－t＝－12(t＋1)2＋1， 由于 t≥0，所以 y≤12，故函数的值域是(－∞，12]．
求函数的值域． y＝x＋ x＋1；
解：由于 x≥－1， 又函数 y＝x＋ x＋1在[－1，＋∞)单调递增， 故所求的值域为[－1，＋∞)．
【解析】y＝(13)1－x＝3x－1＝13·3x>0， 即 y＝(13)1－x 的值域为 R＋，其它都不符合．
求函数值域的几种方法
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .
•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
分式函数求值域问题
分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。
关于函数值域的求法
关于函数值域的求法作者：戈秀英来源：《中学生数理化·教研版》2008年第05期函数的值域就是函数值的取值范围，求函数值域是重点，更是难点.学生对函数值域的问题常感到头疼.下面通过典型例题说明求函数值域的几种方法.一、常见函数的值域一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R.二次函数y=ax２+bx+c（a≠0），当a>0时，值域是[4ac-b２，+∞）；当a指数函数y=aｘ（a＞0且a≠1）的值域为R.对数函数y=ｌｏｇaｘ（a>0且a≠1）的值域为R.正余弦函数的值域为[-1，1]，余切函数的值域为R．二、求函数值域的方法1．逆求法．主要适用于形如y=（c不为０）的函数，通过求函数反函数的定义域来确定函数的值域.例1求y=的值域.解:由y=解出x，得x=. ∵ 2y+1≠0，故函数的值域为y≠且y∈R.2．分离常数法．主要适用于具有分式形式的函数解析式，通过变形将函数化成y=a+的形式.例2求函数y=的值域.解:由y=得y=1+. ∵ -1≤sinx≤1 ，∴ -≤y≤-，即函数的值域是[-，-].评注：此题也可把函数转化为sinx=f（y）的形式，则-1≤f（y）≤1确定值域.3．判别式法．能转化为ａ（y）ｘ２+ｂ（y）ｘ+ｃ（y）=0的函数常用判别式法.主要适用于形如y=（a，d不同为零）的函数.例3求函数y=的值域.解:由 y=去分母得（y-1）x２+（1-y）x+y=0. （＊）∵y=1时，方程（＊）无解，∴ y≠1.又∵ x∈R ∴方程（＊）的判别式?驻=（1-y）２-4y （y-1）≥0（y≠1），解得函数的值域是[-，1）.评注:在由?驻≥0且a（y）≠0求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 值.4．配方法．形如二次函数或 y=af２（x）+bf（x）+c （a≠0）的函数常用配方法.例4求函数y=sin２x+4cosx+1的值域.解: y=-cos２x+4cosx+2=-（cos２x- 4cosx+4）+6=-（cosx-2）２+6当cosx=-1时，ymin=-3; 当cosx=1时，ymax=5．所以函数的值域是[-3，5].评注:利用配方法时，注意f（x）的取值范围.5．均值不等式法．利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域，要注意满足“一正、二定、三等”.例5求函数y=x （-3＜x＜0）的值域.解: y=x=-≥-[]=-.当且仅当x２=9-x２，即x=-时取等号，所以函数的值域是[-，+∞）.评注:利用均值不等式求最值应验证等号成立的条件.6．换元法．通过整体换元法（形如y=ax+b+的函数）或三角换元法（形如y=ax+的函数）把无理函数、指数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法.例6求函数y=x-的值域．解：令t=（t≥0），则x=t２+1，y=t２-t+1=（t-）２+.当t=时，ymin=，y没有最大值，所以函数的值域是[，+∞）．评注:应用换元法时，须注意新元的范围.此外，还有数形结合法和导数法等．遇到求函数值域的问题，应首先考虑有哪几种基本方法，有的题目可用几种方法求解，在多种方法中选出最优方法.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
分式函数的定义域,值域
分式函数的定义域,值域
分式函数：
一、定义域
1. 分式函数的定义域是指该函数在有效定义时它的变量可以取到哪些值，可以表示为x∈R（R表示实数集）。
2. 将分式表示为y=P(x)/Q(x)（P（x）为真分子，Q（x）为真分母），则如果当Q（x）的系数大于零，那么它的变量x的值必须是实数；如果Q（x）的系数等于零，那么它的变量x既可以取实数，也可以取其他特定值。
3. 当Q（x）的次幂大于等于一时，则一部分真分母可以去掉，而去掉后的定义域不变。
二、值域
1. 值域是指函数的输出，也就是y的值的范围。
当Q（x）的系数大于零时，值域为 x∈RE:(微函数为0)。
2. 当Q（x）的系数等于零时，值域为y=+∞或-∞（取决于微函数的符号）。
3. 当Q（x）的次幂大于等于一时，则可以去掉一部分真分母，而去掉后的值域不变。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
函数定义域、值域、对应关系(知识点+例题+习题)word版
二、函数的定义域、值域和解析式1．常见函数的定义域和值域：2．函数的定义域的求法函数的定义域就是使得整个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合． （1）求定义域注意事项：★①分式分母不为0； ②偶次根式的被开方数大于等于0；③零次幂底数不为0； ④对数的真数大于0； ⑤tan x 中，{|,}2x x k k ππ≠+∈Z ； ⑥实际问题对自变量的限制；⑦若函数由几个式子构成，定义域要满足各式都有意义（取交集）．（2）抽象函数的定义域：①定义域是x的取值范围★②括号内范围等同★3．函数值域的求法对于函数(),y f x x A =∈，与x 的值相对应的y 值叫做函数值．函数值的集合{()|}f x x A ∈叫函数的值域．（1）观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围．（2）二次函数在区间上的值域：画出简图，找到对称轴和对应取值区间来求值域．（3）换元法：通过对函数解析式进行适当换元，通常把无理函数转化为有理函数，换元后应先确定新元的取值范围．（4）分离常数法：将形如ax by cx d+=+的有理分式转化为“反比例函数”的形式a k y c cx d =++，确定函数值域为{|}ay y c≠．（5）判别式法：把函数转化为关于x 的二次方程，通过方程有实根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域．（6）单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．4．求函数解析式（1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式．（2）换元法：已知(())()f h x g x =求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，带入()g x 进行换元，求出()f t 的解析式，再将t 替换为x 即可，注意新元t 的取值范围．（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．（4）解方程组法：已知关于()f x 与1()f x（或()f x -）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程，构成方程组求出()f x ．练习题：答案解析：答案：153()888xf xx=+-29解析：()2()31f x f x x--=-…………①用x-替换x得()2()31f x f x x--=--……②两式联立解得()1f x x=+．答案：A数学浪子整理制作，侵权必究。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法分式函数是指由多项式函数构成的有理函数。
它包含了一个或多个分子和一个分母，其中分子和分母可以是多项式。
分式函数在数学和实际问题中的应用广泛，了解如何求解分式函数的值域对于我们理解和解决问题至关重要。
在这篇文章中，我将介绍三种常见的方法来求解分式函数的值域，它们分别是图像法、限制法和分解法。
这些方法各有特点，可以帮助我们更加全面地了解和解决分式函数的问题。
让我们来学习图像法。
图像法是通过绘制分式函数的图像来确定其值域的一种方法。
我们可以根据分式函数的定义域和其在定义域内的行为来判断其值域。
具体来说，我们可以观察分式函数的图像是否有水平渐近线、垂直渐近线或者有界。
水平渐近线表示分式函数在无穷远处趋于某个值，垂直渐近线表示分式函数在某个点处的值趋于无穷大或无穷小，而有界表示分式函数在某个区间内的值处于有限范围内。
通过观察这些特征，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习限制法。
限制法是通过限制分式函数的变量取值范围来确定其值域的一种方法。
对于分式函数，我们通常会限制其变量的取值范围，避免分母为零或分式函数没有定义的情况。
通过解决限制条件，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习分解法。
分解法是通过将分式函数拆分成更简单的形式来确定其值域的一种方法。
我们可以将分式函数进行因式分解，得到其最简形式。
在分解过程中，我们可能会发现一些因子可以抵消，使得分式函数的值域更加清晰和简单。
通过分解分式函数，我们可以更好地理解其值域。
通过以上三种方法，我们可以综合考虑分式函数的图像、限制条件和分解形式，来确定其值域。
对于每个具体的问题，我们可以根据实际情况选择最适合的方法来求解。
对于分式函数三种值域求解法的个人看法，我认为每种方法都有其独特的优势和适用场景。
图像法可以将抽象的数学概念通过图像的形式呈现出来，直观易懂，适合直观思维的人。
限制法可以通过限制变量的取值范围，直接对分式函数的值域进行约束，适合求解特定范围内的问题。
求函数值域的常用方法
求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。
解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2*+5，*∈[-1，2]的值域。
人教A版高中数学必修第一册第三章函数的定义域和值域课件
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求函数的函数值、值域 1．求函数的函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再 _代__入___求值． 2．求函数值域时应先确定相应的_定__义__域__，再根据函数的具体形式及 其运算确定其值域．
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f(2x＋1)中 x 的取值范围(定义域)可由 2x＋1∈(－1，2)求得．
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[解] (1)要使函数有意义，即 x2－2x－3>0，
解不等式得 x<－1 或 x>3， 函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
(2)由题意得x2＋x－1≠3≠00，，
x≠－1， 即x≠32．
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1.集合{x|2≤x<5}用区间表示为__[_2_，__5_) _；集合{x|x≤－1， 或3<x<4}用区间表示为_(_－__∞_，__－__1_]_∪__(3_，__4_)_．
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函数的定义域 函数的定义域是使 函数有意义 的所有 自变量 的集合；若函数的解析
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(3)求函数 y＝x＋ 2x＋1的值域； 解：(3)(换元法)令 2x＋1＝t，t≥0，
t2－1 ∴x＝ 2 ，
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∴y＝t2－2 1＋t＝12t2＋t－12＝12(t＋1)2－1. ∵t≥0，∴y≥－12， ∴函数的值域为[－12，＋∞).
式是由两个或两个以上式子的和、差、积、商构成的，则其定义域是 使每个式子有意义的自变量取值的 公共部分 的集合．
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。
例 1．求函数y x1的值域。
【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。
【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。
③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。
4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。
形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。
【分析】y x24x 2( x2)2 6 。
∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。
∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。
例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。
【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。
说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。
例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。
【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。
利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。
函数值域与最值问题的求法
关于函数值域与最值问题的求法摘要：关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。
在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。
因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。
本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。
关键词：函数的值域，函数的最值，方法。
函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。
但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。
关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来，常用的方法有：⑴配方法；⑵反函数法；⑶判别式法；⑷换元法（含式代换、三角代换等）；⑸单调性法；⑹不等式法；⑺数形结合法等。
下面就这些方法逐一说明它们的运用。
⒈配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。
此方法一般可解决形如y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a≠0)的函数的值域与最值。
例1、求函数y = x2 - 6x + 2的值域。
解法一：∵y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7又∵( x - 3)2≥0∴( x - 3)2－7≥－7∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里用到了配方法求函数的值域。
解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7。
∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里运用了二次函数的图象和性质求值域。
一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。
例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.关键词：分式函数 值域 方法.1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2122ay b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.例1 求21231y x x =-+的值域. 解：2131248y x =⎛⎫--⎪⎝⎭，因为231248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.例2 求函数221x xy x x -=-+的值域.解：2111y x x -=+-+， 因为22112x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭34+≥34，所以34-≤2101x x -<-+， 故函数的值域为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ∆=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.例1 求223434x x y x x -+=++的值域.解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以∆≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得，17≤y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 函数2221x bx cy x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值.解：化为()20y x bx y c --+-=，⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈⇒∆=---≥0，⇒()224428y c y c b -++-≥0，由已知()2244280y c y c b -++-=的两根为1，3， 由韦达定理得，2c =，2b =±. ⑵当2y =时20cx b-==有解 综上⑴和⑵，2b =±，2c =.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为R （即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x 不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使()22222111y a x b x c a x b x c ++=++的判别式0∆=的y 值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.2.3 利用函数单调性求分式函数的值对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数21(,1)1x y x R x x -=∈≠-+的值域. 解：211x y x -=+=2(1)31x x +-+321x =-+， 当1x >-时，31x +是x 减函数进而y 是x 的增函数，于是(),2y ∈-∞-； 当1x <-时，同样y 是x 的增函数，于是y ∈()2,+∞； 所以211x y x -=+(1)x ≠-的值域为(),2-∞-∪()2,+∞. 在求分式函数时我们常运用函数ay x x=+的单调性的结论： ⑴当0a >时在(-∞和)+∞上增函数，在)⎡⎣和(上是减函数.⑵当0a <时在(),0-∞和()0,+∞上是增函数.例2 求函数24xy x x =-+（1≤x ≤3）的值域. 解：0x ≠所以41xy x x=+-.令4t x x=+在[]1,2上是减函数，在[]2,3是上增函数，所以2x =时，min 4t =；1x =时，max 5t =； 所以[]4,5t ∈，[]13,t t -∈，故值域为11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.4 利用反函数法求分式函数的值域设()y f x =有反函数，则函数()y f x =的定义域是它反函数的值域，函数()y f x =的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1求函数251xy x =+的值域. 解：由于函数251x y x =+1()5x ≠-的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为25x y x =- 明显知道该函数的定义域为2|5x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 故函数的值域为2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用ax by cx d+=+(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种方法目的是找关于y 的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.2.5 利用方程法求分式函数的值域在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数()y f x =()x D ∈将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数()x g y =*()y A ∈即()y f x =()x D ∈⇔()x g y =*()y A ∈则*A 即为()y f x =的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数()y f x =的定义域为A 值域为B ，又设关于x 的方程()y f x =在A 中有解的y 的取值集合为C ，则C B =.例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数247()2x f x x -=-[]0,1x ∈求函数()f x 的值域解：247()2x f x x-=-，[]0,1x ∈，所以2247y xy x -=-，[]0,1x ∈， 即24(72)0x yx y +-+=，[]0,1x ∈.这样函数的值域即为关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解的y 的取值集.令()g x =24(72)x yx y +-+，[]0,1x ∈，则关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解⇔(0)(1)g g ⋅≤0或(0)0(1)00122444(72)0g g b ya b ac y y >⎧⎪>⎪⎪⎨<-=-<⎪⨯⎪-==⨯--≥⎪⎩⇔72-≤y ≤3-或4-≤y ≤72-⇔4-≤y ≤3， 即所求函数的值域为[]4,3--.2.6 利用换元法求分式函数的值域当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.例1求函数]0,1[,5444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域． 解：令2+=x t ，则]1,21[1,1111222∈+=+=t t t t y ．因为]2,45[112∈+t ， 所以函数)x (f 的值域是]54,21[．例2 求函数423(1)x y x =+的值域．解：令tan x θ=，(,)22ππθ∈-， 则44233tan tan (1tan )sec y θθθθ==+=42sin cos θθ =2221sin sin 2cos 2θθθ≤32221sin sin 2cos 23θθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭427=. 当且仅当2tan 2θ=时“=”成立.所以函数423(1)x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 .在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.2.6 利用不等式法求分式函数的值域“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数224(1)(3)x y x +=+(1)x >-的值域.解：224(1)(1)4(1)4x y x x +=++++244(1)41x x =++++. 因为10x +>，所以411x x +++≥4，则41481x x +++≥+，所以0y <≤2438=（当1x =时取等号），故函数的值域为(]0,3. 例2 设123n S n =++++，n N ∈求1()(32)nn S f n n S +=+的最大值.（2000年全国高中数学联赛）解：1()(32)n n S f n n S +=+(1)2(1)(2)(32)2n n n n n +=+++⋅2(32)(2)3464n n n n n n ==++++， 即化为了求分式函数最值的问题1()6434f n n n =++.又因为6434n n++≥34+50=， 当64n n =即8n =时“=”成立，所以对任何n N ∈有()f n ≤150， 故()f n 的最大值为150.例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.2.8 斜率法求分式函数的值域数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线AB L 的斜率为2121AB y y k x x -=-，我们可以考虑把分式函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.例1 求函数232()()2(32)3t f t t t =>-的最小值. 解：函数()f t 可变形为()f t 23064t t -=-2()3t >，设2(6,3)A t t ，(4,0)B 则()f t 看作是直线AB 的斜率， 令6x t =，23y t =则212(4)x y x =>.在直角坐标系中A 点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小. 过点(4,0)B 直线方程为：(4)y k x =-将它代入212x y =， 有212480x kx k -+=，则0∆=推算出43k =此时8x =， 即8t =时，min 4()3f t =. 例2 求211x x y x +-=+1(2-≤x ≤1)的值域.解：2()1(1)x x y x +-=--，令(1,1)A -，2(,)B x x x +，则AB y k =，点B 的轨迹方程为2y x x =+1(2-≤x ≤1)， 111(,)24B --，2(1,2)B ，152AB k =-，212AB k =，所以51,22AB y k ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.斜率法同样可以运用在形如ax by cx d+=+的分式函数中，函数的值域就转化为求直线斜率的范围给出了这样的结论：对于函数ax by cx d+=+22(0,0,0)c a b bc ad ≠+≠-≠，x ∈[],m n ，若记{}1min (),()m f m f n =，{}2max (),()m f m f n =，则当dx c=-(),m n ∈时值域为(]1,m -∞∪[)2,m ∞.当dx c=-∉(),m n 时，值域为[]12,m m .3 结论整篇文章介绍了求分式函数八种比较常用的方法，可以根据题目不同的特点灵活选取不同的方法，而实际上在我们通常遇到的题目中并不是只用一种方法就能解决问题，而是要综合几种方法.当然有一些特殊的分式函数，在求值域的时就会用到特殊的方法.但是最重要的是每种方法都要注意其函数的定义域.参考文献：[1]贾士代.用方程法求函数值域[J] . 数学教学，2006（2）：21[2]王习建. 21112222a x b x c y a x b x c ++=++型函数值域的求法[J] .数理化解题研究 ，2003（6）：25[3]张莲生.sin sin a x by c x d+=+ 的值域的求法[J] .数理天地（高中版），2001（10）：19-20[4]王建海. 活用均值不等是巧解数学题[J] .数学教学通讯，2003（12）：17 [5]钟国雄 .一个函数最小值问题的多种解法[J] . 中学生数学，2002（5）：23 [6]江思容、望孝明 .求最值问题的若干途径[J] . 中学数学研究，2003（8）：35 [7]傅洪海、陈宏. 关于反函数求值域的思考[J] . 数学教学， 1999（2）：29-30 [8]陈士明.从求()bf x x x a=++的单调区间谈起[J] . 数学教学，1999（2）：27-28。
求函数值域的八种常用方法
求函数值域的八种常用方法作者：王晓洁来源：《科技创新导报》2015年第30期摘要：函数的值域函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一，求函数的值域，在知识上，除涉及函数的所有知识外，还需要二次函数、不等式等其他重要知识点;在解题方法上，具有较强的综合性，求函数值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，选择正确简洁的求值方法对于求函数值域的相关知识会有很大的巩固和提高。
关键词：函数值域 ;解答 ;方式方法中图分类号：G634 ; ; ; ; 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0241-02求函数值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。
1 配方法例1：求函数y=2x2-6x+3的值域。
解：y=2（x-3）2-≥-函数X的值域为[-，2 判别式法对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式△≥0得到一个关于y的不等式。
解此不等式就可求得函数的值域。
例2：求的值域。
解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0当y时，≥解得当y=1时，x=0属于定义域函数的值域为3 非负数法当函数的解析式中出现绝对值、偶次方幂、算数根或指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。
例3：求函数的值域。
解：原方程可化为视为关于x的方程化为所以函数的值域为。
4 分部分式法当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。
例4：求函数的值域。
解：因为且，所以，故该函数的值域为[5 换元法对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。
例5：求函数的值域。
解：令）所以（当且仅当t=1时取等号）故原函数的值域为。
6 函数的单调性法对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。
求函数值域的八种常用方法
息 技 术知 识也 在突飞 猛 进 的发 展，教 师 不但要 时刻更 新 观 念，不断 地完善自身的专业知 识，在教学的过程中更要 有创 新 的意 识，不 断 地 提高自我的教育 理 念，只有这 样，才能 跟 上 发 展，才 能 适 应信息 技 术 与 学 科 整 合后 的 教 育 方 式。其 二，要能 够 熟 练 使用各种 信息 媒体 技 术。现 阶段，信息技 术 和网络的发展已经渗透 到方方面 面，包括生活、工作和学习 等，无 一不用 到网 络。所 以，教 师 作为 教 育 的 主 导 者，必 须 熟 练 掌 握计算 机 的各项 基础 知 识，以及该专业的信息 技 术知 识，才 能 胜 任 信息 技 术 与 学 科 进行 整 合后 的 教 学内容。
ee 解：原方程可化为 y
2x 1 2x 1
e 视 为 关 于 x 的 方 程 化 为
2x
1 1
y y
1 1
y y
0
1 y 1
所以函数的值域为 y (1,1)。
4 分部分式法
当函数的解 析式y=f(x)是分式 且分子的次数大于或等
于分 母 的 次 数 时，可分 部 分 式 求函数 的 值域。
数为2），可把函数的解 析 式化为关于x 的一元 二次方程，再
根 据判别 式 △≥0 得 到一 个关于y 的不等 式。解此 不等 式 就
可求得函数的值域。
xx 例2:求 y
2 2x 3
2
2x
的值域。 3
解：原方程可化为(y-1)x 2+2(y+1)+3(y-1)=0
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x x 1 ≤ = 当且仅当 1= x 2 ，即 x =1 时等号成立。所以当 x ≥ 0 时函数值域为 2 1+ x 2x 2 −1 1 , 。因此由奇函数性质可知，函数在 R 的值域为 。 2 2
[
]
解三、利用导数求解。
0.4 0.2 10 5 0.2 0.4 5 10
域或基本不等式有关。 练习：求下列函数的值域 (1)
f ( x )=2x +
8 x
4 x
f ( x )=sin x +
4 sin x
(2)
f ( x )=− x +
三、典型类型 第Ⅰ类型 形如
f ( x )=
ax 2 的函数，这里分母无零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 无解。 a ' x + b ' x +c
解：
f ( x )=
x+5 x 2+ x +1 ( x 2− 4 )+( x +5 ) x +5 = =1+ 2 。令 g ( x )= 2 ，则 f ( x )=1+ g ( x ) 。 2 2 x −4 x −4 x −4 x −4
把问题转化为第Ⅴ类型（过程省略...）
第 5 页 /共 5 页f ( x )= x源自+1 的图像与性质 x
（1）函数定义域为 x ≠ 0
5
（2）导数为
3 2 1 1 2 3
f ' ( x )=1−
1 x2
（3）计算驻点。令
f ' ( x )=0 解之可得 x =±1
5
（4）利用驻点分划定义域为 (−∞ , −1)(−1,0 )( 0,1 )( 1,+∞) （5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点
负 减
负 减
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由图像可知函数值域为 R 。 注：(1)这里的 x =±1 ，是函数的垂直渐近线(即分母没有意义的点)。 (2) y =0 仍是函数的水平渐近线。 第Ⅴ类型 形如
f ( x )=
a x +b 2 的函数，这里分母有零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 有解。 a ' x 2+ b ' x +c t −b ，把 f ( x ) 转化成 t 的函数。 a
第Ⅵ类型 形如 f ( x )=
a2 x+b x+ c 2 的函数，这里分母有零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 有解。 2 a ' x + b ' x +c
处理该类型的方法为：确保分子的次数比分母低，此时可把函数转化成第Ⅳ类型或第Ⅴ类型来求解。 例 6：求 f ( x )=
x 2+ x + 1 值域 x 2− 4
解一、
f ( x )=
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 6 4 2 2 4 6
解二、利用导数计算（具体计算过程省略...）
以上三种类型的分母均没有零点，下面考虑分母可以取零点的情况。 第Ⅳ类型 形如
f ( x )=
ax 2 的函数，这里分母有零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 有解。 a ' x + b ' x +c
解一、（1）当 x ≠ 0 时，有
f ( x )=
(2)当 x = 0 时，有
f ( 0 )=0 。所以，综合（1）（2）可知函数值域为
[
−1 1 , 2 2
]
解二、利用基本不等式求解。该函数显然为奇函数，根据奇函数关于原点中心对称，所以只需要求其在 ( 0,+∞) 的值域即可。
f ( x )=
[ ]
（1）函数定义域为 R （2）导数为 f ' ( x )= （3）计算驻点。令
1− x 2 2 ( x +1 )
2
f ' ( x )=0 解之可得 x =±1
（4）利用驻点分划定义域为 (−∞ , −1)(−1,1 )( 1,+∞) （5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点
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(−∞ , −1) f ' ( x) f (x )
负 减
−1 0 −1 / 2
(−1,1)
正 增 。
1 0 1/ 2
( 1,+∞)
负 减
根据函数的单调性可知函数的值域为
[
−1 1 , 2 2
]
a x +b 2 的函数，这里分母无零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 无解。 2 a ' x + b ' x +c t −b 处理该类型的方法为：作变量替换令 a x +b =t 则 x = ，把 f ( x ) 转化成 t 的函数。 a x −1 例 2：求函数 f ( x )= 2 的值域。 x +1 t t = 2 解一：令 t = x −1 则 x = t +1, t ∈ R 。所以 f ( t )= 此时把函数转化为第Ⅰ 2 ( t +1) +1 t +2t +2 1 2 1 类型的函数，即 f ( t )= 。这里令 u ( t )= t + , f ( u )= .（具体求解过程省略...） t + 2 / t +2 t u+2
第Ⅱ类型 形如
f ( x )=
解二：利用导数求解。
0.2 5 5
（1）定义域为 R
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
− x 2+ 2 x + 1 （2）导数为 f ' ( x )= ( x 2+1 )2 （3）计算驻点。令 f ' ( x )=0 ，解之可得 x =1 ±√ 2 （4）利用驻点划分定义域 (−∞ , −√ 2 )(−√ 2 , √ 2 )( √ 2 ,+∞)
2
处理该类型的方法为：分子分母同时除以 x 。 例 1：求函数
f ( x )=
x 的值域。 x +1
2
x 1 1 = ，此时可令 u = x + （注意这里函数 2 x 1 + x x +1 / x 1 u ( x ) 的定义域为 x ≠ 0 ，而原函数的定义域则为一切实数）。则 f ( u )= ，由基本知识点中的 u 1 1 1 1 可知函数 u ( x ) 的值域为 ∣u∣≥ 2 ，所以 0 <∣ f ( u )∣≤ ，即 f ( x )∈[− , 0 )∪( 0, ] 。 2 2 2
f ( t )=
3 1 1 。令 u ( t )= t − , f ( t )= 这里根据基本知识点 2 中的 t u ( t )+2 t −3 / t + 2
结论可以计算其值域（省略...） (2)当 t =0 时，此时 x =1, f ( 1 )=0 注：像例 4 一样，这里可以使用导数来计算。
正 增
( 0,+∞)
正 增
此函数图像为图中红色曲线，该函数有两个零点，即 x =±1 ，值域为一切实数。 注：这两个函数有共同的渐进线方程即 x = 0, y = x ；这两个函数在高中数学中将频繁出现，大多与值
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（2）导数为 f ' ( x )= 个区间上是递减的 （4）利用驻点划分定义域 (−∞ , −1)(−1,1 )( 1,+∞) ；与定义 域一致。 （5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点。
(−∞ , −1) f ' ( x) f (x )
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(−1,1)
负 减
( 1,+∞)
处理该类型的方法为：确保分子的次数比分母低，此时可把函数转化成第Ⅰ类型或第Ⅱ类型来求解。 例 3：求函数
f ( x )=
x 2+ x + 2 的值域 x 2+1
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2 2 x +1 x + x +2 ( x +1 )+( x +1 ) x +1 = = 1+ 2 。令 g ( x )= 2 则 f ( x )=1+ g ( x ) 。 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 这里的 g ( x ) 是第Ⅱ类型的函数（计算过程省略...）。函数图像如下所示，这里 y =1 是其渐进线。
f ( x )= x −
1 的图像与性质 x
（1）函数定义域为 x ≠ 0 （2）导数为
f ' ( x )=1+
1 2 x
（3）计算驻点。令
f ' ( x )= 0 无解，此时函数无驻点，即函数在各个定义区间上是单调递增的。
（4）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点
(−∞ , 0 ) f ' ( x) f (x )
（5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点(省略...)。
注：利用导数来计算其值域，可能会导致计算量增大，就如该题一样。这里计算出的极值点带有根号， 会增加计算的复杂程度。在具体的计算过程中，应尽可能避免出现根号运算。