数理统计答案

课程名称《数理统计》 参考答案及评分标准

一 选择题（每题3分，共15分）

1、(D)

2、( D )

3、( B )

4、( C )

5、(C ) 二、填空题（每空3分，共24分）

1. 4，t

2. ,2n

3.

0.9750.975(),()X n X n ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

或者0.975()X n 4. 22

12

0(1)(1)n s n αχσ-⎧⎫->-⎨⎬⎩⎭

，α 5. 10.49022.04= 三、计算题，本题共 6小题，满分61分． 1.（10分）设总体2

~(40,5)X N ，若： （1）抽取容量为64的样本，求()

401P X -<;

（2）抽取容量n 至少为多少时，才能使()

4010.95P X -<≥. （附：0.950.975(1.5)0.9332,(1.6)0.9452, 1.65, 1.96u u Φ=Φ===）

解：

（1） 由于2

~(40,5)X N ，故2

5~(40,)X N n

对于容量为64的样本 ()

4014015588X P X P ⎛⎫-

⎪-<=< ⎪⎝

⎭ (1.6)( 1.6)=Φ-Φ-＝0.8904. …………………………4分

（2） 由于

(

)

401P X P ⎫-<=<

210.95⎛⎫=Φ-≥

即

0.975⎛⎫Φ≥ …………………………3分

从而

1.96≥，

故 97n ≥（实际计算得96.04n =） …………………………3分

2．（10分）设121(,,

,,,

,)n n n m X X X X X ++是来自正态总体2(0,)N σ容量为n m +的样本，求下列统计量

的抽样分布（1）2

2

1

1

n m i

i Y X

σ

+==

∑； （2）2121n

i i n m

j

j n m X Z n X =+=+=

∑∑ ．

解：(1)由于

~(0,1),(1,2,,)i

X N i n m σ

=+，且相互独立 …………………………2分

故2

2

1n m

i i X Y σ

+==

∑222

1

1

~()n m i

i X

n m χσ+==

+∑ …………………………2分

（2）由于

2

22

1

~()n i i X U n χσ

==

∑ …………………………1分

2

22

1

~()n m

j j n X V m χσ+=+=

∑

…………………………1分

且,U V 相互独立， …………………………2分

由F 分布的定义，有

22122

1()~(,).()

n

i i n m

j

j n U m X n Z F n m V

n X m

σσ=+=+=

=∑∑ …………………………2分 3．（10分）设总体X 的密度函数为36(),0().0

,x

x x f x others θθ

θ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

又 12(,,,)n X X X 是来自该总体的样本，

（1）求未知参数θ的矩估计量ˆθ

； （2）求上述ˆθ

的方差ˆ().D θ 解：（1）因为

()()E X xf x dx +∞

-∞

=⎰

2

30

6().2

x x dx x θ

θ

θθ=-=

=⎰

则 2x θ= …………………………3分

从而θ的矩估计量ˆ2.X θ

= …………………………2分 (2)由于

2

2()()E X x f x dx +∞

-∞

=⎰

3

2

3063()10

x x dx θ

θθθ=-=⎰ …………………………2分 2222

23()(())()10220DX E X E X θθθ=-=-= …………………………1分

故 2

4ˆ()(2)4()().5D D X D X D X n n θθ====

…………………………2分 4、（10分）设随机变量X 的密度函数为111(),0 1.f x x x θ

θ

-=<<试求参数θ的极大似然估计，并验证它是否

无偏的。 解：

(1) 1

1

1

1

1

1

1

1

1

()()

n n

n

i

i

i n

i i i L f x x

x θ

θ

θθθ--====

=

∏∏∏()= …………………………2分