向量的数量积的运算律
2.4.1平面向量的数量积及运算律(3)
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
2. 求证：直径 所对的圆周角为 直角．
13
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
向量的数量积的运算律
例5. 已知
a 3, b 4(且a与b不共线）， 当且仅当k为何值时，向量a kb 与a－kb互相垂直？
例6在等腰直角三角形ABC中，C是直角，
CA CB，D是CB的中点，E是AB上的点，
且AE 2EB，
求证：AD CE
A
E
C
D
B
作业：练习册P92全部
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(2) a b a b 0 .
(3) cos a b.
ab
(4) a b a b .
（二）平面向量数量积的运算律
(1) a b b a (交换律) ;
(2) (a ) b (a b ) a (b ) ;
(3) ( a b ) c a c b c .
(3) (a b) c a c b c的证明：
A
2
b
B
a
1
O
A1
c
B1
C
证明：任取一点O,作OA a, AB b, OC c.
因为a b(即OB)在c方向上的投影等于a、b在c
方向上的投影的和.
由此可证，运算律（3）成立
•
思考：我们已经知道，实数乘法满足
结合律，向量的数量积满足结合律吗？
即 ( a b )c a (b c ) 成立吗？
答 案 ：因 为 上 式 左 边 是 与c 共 线 的 向 量 ， 右 边 是 与a 共 线 的 向 量 ，而a 和c的 方 向 不一定相同的，所以上式不成立.
（三）举例：
例1 求 证 ：
(1)
(a
b )2
a与b的夹角为 ，,求 | a b |，| a b |
8.1.2 向量数量积的运算律
8.1.2 向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.【知识导学】知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律 a ·b ＝□01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a .(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知|a |＝2，b 在a 上的投影的数量为－2，则a ·(a －b )＝________. (2)已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________.(3)已知|a |＝6，|b |＝8，〈a ，b 〉＝120°，则|a 2－b 2|＝________，|a －b |＝________，|a 2＋b 2|＝________.答案 (1)8 (2)－7 (3)28 237 100题型一 求向量的夹角例1 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． [解] 设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝12.∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2＝e 22－2e 21－e 1·e 2＝1－2－12＝－32， |a |＝a 2＝e 1＋e 22＝|e 1|2＋|e 2|2＋2e 1·e 2＝1＋1＋1＝ 3. |b |＝b 2＝e 2－2e 12＝ |e 2|2－4e 1·e 2＋4|e 1|2＝1＋4－4×12＝ 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－323×3＝－12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°. 金版点睛求向量a ，b 夹角θ的思路(1)解题流程求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练1] 已知|a |＝3，|b |＝5，|a ＋b |＝7，求a ·b 及a 与b 的夹角． 解 ∵|a ＋b |＝7，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝34＋2a ·b ＝49，∴a ·b ＝152.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1523×5＝12.又∵θ∈[0，π]，故a 与b 的夹角θ＝60°. 题型二 求向量的模例2 已知x ＝1是方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0的根，且a 2＝4，〈a ，b 〉＝120°. 求：(1)向量b 的模；(2)向量λb 的模． [解] (1)∵a 2＝4，∴|a |2＝4，即|a |＝2. 把x ＝1代入方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0，得 1＋|a |＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－3，则a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2|b |cos120°＝－3， ∴|b |＝3.(2)由(1)知|b |＝3， ∴|λb |＝|λ||b |＝3|λ|. 金版点睛极化恒等式求模长(1)两个结论①(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； ②(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.证明 ①(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＋b ·a ＋b ·b ＝a 2＋2a ·b ＋b 2. ②(a ＋b )·(a －b )＝a ·a －a ·b ＋b ·a －b ·b ＝a 2－b 2. 说明：下列结论也是成立的： (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d .(2)由上述结论，我们不难得到4a ·b ＝(a ＋b )2－(a －b )2， 即a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．我们把该恒等式称为“极化恒等式”． (3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2等． 提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方． [跟踪训练2] (1)已知|a |＝63，|b |＝1，a ·b ＝－9，则〈a ，b 〉＝( ) A ．120° B ．150° C ．60° D ．30°(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a －b |，|a ＋b |.答案 (1)B (2)见解析解析 (1)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－963×1＝－32，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝150°，故选B.(2)解法一：|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a·b＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉 ＝52＋52＋2×5×5×co s π3＝5 3.|a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a·b＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 〈a ，b 〉 ＝52＋52－2×5×5×co s π3＝5.解法二：以a ，b 为邻边作▱ABCD ，设AC ，BD 相交于点E ，如图所示．∵|a |＝|b |且∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形，∴|a －b |＝|DB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →| ＝2|AB →|2－|BE →|2＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5 3.题型三 用向量数量积解决垂直问题例3 已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a －b )⊥c .[证明] 证法一：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0.∴(a －b )⊥c .证法二：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接AB ，AC ，BC 的三条线段围成正三角形ABC ，O 为△ABC 的中心，∴OC ⊥AB . 又∵BA →＝a －b ，∴(a －b )⊥c . 金版点睛要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练3] 若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．A ，B ，C 均不是答案 C解析 由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得CB →·(AB →＋AC →)＝0， 又∵CB →＝AB →－AC →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0. ∴|AB →|＝|AC →|.∴△ABC 为等腰三角形．1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于( )A.32 B ．－32C.23 D ．－23答案 B解析 由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 C解析 (a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |×4×12－6×16＝－72.解得|a |＝6.3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A 解析 |a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a ·b＝12＋12－2·1·cos〈a ，b 〉＝2－2cos60°＝1.4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.答案 －8或5解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，则49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b .由a ，b ，c 为单位向量，得a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4a 2－4a ·b －3b 2＝61，所以4×42－4×4×3cos θ－3×32＝61，cos θ＝－12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°. (2)因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a ＋b |＝13，同样可求得|a －b |＝37.。
平面向量数量积的性质及其运算-精品
平面向量数量积的性质及其运算1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为仇则：—♦T—♦T—•（1）a•e=e•a=lalcosG；（2）3=Z・E=（）;（判定两向量垂直的充要条件）（3）当W，E方向相同时,a*b=lallH；当彳,E方向相反时，a•b=-Iallbh特别地：W=l孑或可=5客（用于计算向量的模）（4）cose=- （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）lallbl（5）ll*bKldlbl2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a・b二b・a；（2）数乘向量的结合律：（入a）・b=A（a・b）=a・（入b）;（3）分配律：（a•b）・cWa,（b,c）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（W土E）2=/±2：**.②（W-E）（；+E）=a 2-b2.®b-C）丰（a-b）-o从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①\n〃=mn”类比得到“黑三品•盛②“（〃z+〃）t=mt+nt ff类比得到“（a+b）e c=a•c+b・c”；③“0,侬=加=〃7=〃”类比得到晨声0,l-c=b->a=b w;④“依•川=|司・|川”类比得到⑤“（〃?•〃）t=m（〃•1）”类比得到“（a•»c=a•（b,c）”；―♦—♦-♦⑥“注二旦”类比得到冬二？第.以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.beb b,ca解：・・,向量的数量积满足交换律，A u mn=nm n类比得到“黑EV”，即①正确；・・,向量的数量积满足分配律，.•・"（"+〃）t=mt+nf f类比得到“（a+b）・c=a•c+b,c”，即②正确；・・•向量的数量积不满足消元律，J“岸0,/加=加=加=〃”不能类比得到“3#0,W£三a=b"，即③错误；,•,1a•HW|a|・|bl，・・・“依•川=|〃?|・|川”不能类比得到“|，，=可・|讣；即④错误；・・,向量的数量积不满足结合律，・・・“（〃?•〃）t=m（〃•，）”不能类比得到“G4）£=；•£：）”，即⑤错误；・・,向量的数量积不满足消元律，・・.反£二旦”不能类比得到乌工二，beb b-ca即⑥错误.故答案为：①②.向量的数量积满足交换律，由“〃〃?=〃〃?”类比得到二EG"；向量的数量积满足分配律，故“（加+〃）t=mt+nt ff类比得到“G+三）・7=W・丁+b-c";向量的数量积不满足消元律，故"/WO, 不能类比得到“《卢。
空间向量数量积运算律(分配律)的说明
空间角的计算
1．线线角
l2 e2 l1
设e1 ，e2分别为直线l1 ，l2的方 向向量，直线 l1 ， l2 所成的 角为θ，则 cosθ =
e1
e1 ⋅ e2 e1 e2
• 空间向量数量积运算律（分配律）的说明 空间向量数量积运算律（分配律）
• a· (b+c)=a·b+a·c，对于平面向量 因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2
B E θ2
c
C
|a||b+c|cosθ =|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2 所以： a· (b+c)=a·b+a·c
立体几何中的向量方法
直线的方向向量与平面的法向量
如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？ • 直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向 量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以 用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与 垂直关系． • 平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量； 两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面 的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关 系．
a×b b
a
用向量语言（符号语言）描述空间线面关系： 空间线面关系的判定
平行 l1与l2 l1与α1 e1∥e2 e1⊥n1 n1∥n2 垂直 e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2
α1与α2
其中e1 ，e2 分别为直线l1 ，l2 的方向向量，n1 ，n2 分 别为平面α1，α2的法向量。
空间线面关系的判定： 三垂线定理，线面平行的判定定理， 线面垂直的判定定理，面面平行的判 定定理，面面垂直的判定定理。
b
θ1 O
θ D
a
A
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
空间向量数量积
A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面 内旳垂线、斜线， AO是PA在平面 内旳射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线， 如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能 不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2
空间向量的数量积运算
(1)三垂线定理及其逆定理中都出
现了四条线AB，AC，BC，l，
定理中所描述的是AC(斜线)、
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO
是PA在平面α内的射影，l ,且l OA,求证 : l PA.
r
uuur uuur
证明：如图，在直线l上取向量a,同时取向量PO, OA.
因为l OA,所以a •OA 0. 因为PO ,且l ,所以l PO,
P
O
Al
α
a
因此a • PO 0
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是 (0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
二、两个向量的数量积
注意： (1)两个向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值 为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余 弦值决定． (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过 的数的乘法是有区别的，因此我们书写向量的数量积时，只能 用符号a·b，而不能用a×b，也不能用ab．
证明：
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
高一数学人教B版必修4课件：2-3-2 向量数量积的运算律
次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 a＋b＋c＋d＝0， 应注意这一隐含条件应用； (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数 量积的定义式中含有边、角两种关系．
已知 a＝(
1 3，－1)，b＝ 2，
3 ，且存在实数 k 和 t，使 2
2 k ＋ t 得 x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb.且 x⊥y，试求 t 的最小值．
∴－(2e1＋e2)＝k(e1－λe1)， 即－2e1－e2＝ke1－kλe2，
k＝－2 ∴ kλ＝1
1 ，解得 λ＝－2.
• (2)∵a⊥b，∴a·b＝0， • ∴－(2e1＋e2)·(e1－λe2)＝0. • ∴－2e＋2λe1·e2－e1·e2＋λe＝0， • ∴－2＋λ＝0，∴λ＝2.
[解析] |b|＝
由题意有|a|＝ 32＋－12＝2，
1 2 ＋ 2
3 2 ＝1. 2
1 3 ∵a· b＝ 3×2－1× 2 ＝0，故有 a⊥b. ∵x· y＝0，∴[a＋(t2－3)b][－ka＋tb]＝0. t3－3t 化简 k＝ 4 . k＋t2 1 2 1 7 2 ∴ t ＝4(t ＋4t－3)＝4(t＋2) －4. k＋t2 7 即 t＝－2 时， 有最小值－ . t 4
已知 a、b 满足|a|＝ 3，|b|＝2，|a＋b|＝ 13，求 a＋b 与 a－b 的夹角 θ2，|a＋b|＝ 13，
∴(a＋b)2＝13.即 a2＋2a· b＋b2＝13， ∴2a· b＝6. ∴(a－b)2＝a2－2a· b＋b2＝(a＋b)2－4a· b＝1.即|a－b|＝1， a＋b· a－b 13 故 cosθ＝ ＝－ 13 . |a＋b||a－b|
ABCD两组对边分别相等．
8.1.1 向量数量积的概念8.1.2 向量数量积的运算律
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
解析：选 C.在△ABC 中，因为 b·a＝0，所以 b⊥a，故△ABC
为直角三角形．
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第八章 向量的数量积与三角恒等变换
如图，在△ABC 中，A→C，A→B的夹角与C→A， A→B的夹角的关系为________． 解析：根据向量夹角定义可知向量A→B，A→C的夹角为∠BAC，而 向量C→A，A→B的夹角为 π－∠BAC，故二者互补． 答案：互补
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第八章 向量的数量积与三角恒等变换
向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角， 其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类 似于多项式的乘法运算．
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第八章 向量的数量积与三角恒等变换
已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________． 解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1 且 e1·e2＝12， 所以 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×12－ 8＝－6. 答案：－6
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第八章 向量的数量积与三角恒等变换
(3)如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D. 因为 AB＝AC， 所以 BD＝12BC＝2， 于是|B→A|cos∠ABC＝|B→D| ＝12|B→C|＝12×4＝2， 所以B→A·B→C＝|B→A||B→C|cos∠ABC＝4×2＝8. 【答案】 (1)③④ (2)－152 －4 (3)8
1．两个向量的夹角
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作O→A
向量的数量积运算律
03
向量数量积在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据向量加法的平行四边形法则，两个力可以合成一个合力。合力的方向和大小可以通过向量的加法 运算得出。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，分力的方向和大小可以通过向量的减法运算和数乘运算得出。
速度和加速度的研究
速度
速度是一个向量，表示物体在单位时间内移动的距离和方向。速度的大小表示物体运动的快慢，方向表示物体 运动的方向。
02
向量数量积的运算律
交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，则有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$，无论$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的顺序如何。
结合律
总结词
向量数量积的结合律是指三个向量的数量积的结合顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$，则有$(mathbf{a} cdot mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot (mathbf{b} cdot mathbf{c})$，无论$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的组合顺序 如何。
通过代数式展开，可以将复杂的 向量运算转化为简单的标量运算， 提高计算效率。
坐标系法
01
坐标系法是一种常用的向量运 算技巧，通过在坐标系中表示 向量，可以将向量运算转化为 坐标运算。
02
在二维坐标系中，任意向量 $vec{A}$可以表示为$(x, y)$， 在三维坐标系中可以表示为$(x, y, z)$。
向量的运算基本定律
向量的运算基本定律1•实数与向量的积的运算律：设入、卩为实数，那么：J J⑴结合律：入(卩a )=(入卩)a;⑵第一分配律：(入+卩)a = X a+ a ;⑶第二分配律：X( a+b)= X a+x b.2•向量的数量积的运算律：⑴a • b= b • a (交换律)；(2)( ..；“a) • b= (a • b) = ；；” a • b= a • ( b);(3)( a+b) • c= a • c +b • c.3.平面向量基本定理：如果e i、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数X i、X 2,使得a=X iei+ X 2e2.不共线的向量e i、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4.向量平行的坐标表示：设a=(x i,y i), b=(x2,y2)，且 b = 0，贝U a b(b = 0) ：= X i y? - x?y i 二 0 .5.a与b的数量积(或内积)：a • b=| a|| b|cos 0 .55. a • b的几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积.6.平面向量的坐标运算：4 4 4⑴设a= (x1, yj , b=化，y2)，则a+b =(x「x?, % y?).⑵设a= (x i, y i), b =(X2, y2)，则a- b =(治-x?, % - y?)./ 5 t T T⑶设A(为，yj，BN y?),则AB =OB -0人=区-为』2 -y)⑷设a=(x,y)^ R，则■ a=(' X, ■ y).、T 呻* 呻⑸设a=(x i, y) b =区，y2)，则a • b =(住屮财.7 .两向量的夹角公式：,y i), bg, y?)).8.平面两点间的距离公式:d A,B = |AB F：$AB AB f ；'(X2 _X i)2 (y? - y i)2 (A (x i, y i)，B(x?, y?)).9.向量的平行与垂直：设a=(x i,y i), b=(X2,y2)，且 b = 0，则A|| b= b= 入 a - x i y 2 "2力=0.a _ b(a +0) = a • b=0：= x 1x 2 y 1y^ 0.10 •线段的定比分公式：设R(x i ,yj , P 2(X 2,y 2), P(x,y)是线段RF 2的分点，入是实数，且RP = A.PF 2，贝U *—1 OP =tOP*+(i —t)OP2(). i +人11 •三角形的重心坐标公式： △ ABC 三个顶点的坐标分别为A(X i ，y i )、B(X 2，y 2)、C(X 3，y 3),则厶ABC 的重心的坐标 i2 .点的平移公式:I=x —hI =y -k注：图形F 上的任意一点P(x , y)在平移后图形F 上的对应点为P (x , y )，且PP 的坐 标为(h,k).13.“按向量平移”的几个结论：⑴点P(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到点P '(x h, y k).⑵ 函数y=f(x)的图象C 按向量a=(h,k)平移后得到图象C ',则C '的函数解析式为 y = f (x -h) k .⑶ 图象C '按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C 的解析式y 二f(x),则C 的函数解 析式为 y = f (x h) - k .⑷曲线C: f(x,y)=O 按向量a= (h,k)平移后得到图象C ',则C '的方程为 ⑸ 向量m=(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到的向量仍然为m=(x, y). 4 .三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC 所在平面上一点，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，则 2 ⑴O 为 ABC 的外心=OA -OB-OC . T T T 呻 ⑵O 为 ABC 的重心 二OA OB OC =0.是G( X-! x 2 x 3 3 y i y 2 y 3) 3 )=x h 「2 2 二 OP =OP PP⑶O为ABC的垂心二OA OB =OB OC =OC OA⑷O为ABC的内心二aOA bOB cOC4 =0.⑸O为ABC的.A的旁心= aOA 二 bOB cOC。
向量的数量积的运算律
像十分夸张同时还隐现着几丝华丽，矮胖的暗橙色细小棕绳一样的胡须仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异。那一双瘦长的纯黑色轻盈似的眉毛，仿佛真是飘忽不定同时
还隐现着几丝小巧。再看女政客Ｔ．克坦琳叶女士的身形，她有着古怪的仿佛软管般的肩膀，肩膀下面是短小的仿佛银剑般的手臂，她轻灵的淡红色榴莲般的手掌好像十分绚
辫，戴着一顶显赫的水青色猪肺样的拖布麒灵帽，他上穿高贵的暗白色炸鸡般的长椅海光银蕉甲，下穿破烂的的淡蓝色彩蛋般的肥肠蟒鹰围裙，脚穿异形的暗灰色兔子般的烟
枪烟波靴……有时很喜欢露出露着古老的紫宝石色螃蟹造型的鸡窝微宫肚脐，那上面上面长着镶着银宝石的墨灰色的细小海胆形态的体毛。整个形象认为很是时尚却又透着一
CA CB ，D是CB 的中点， E是AB上的点，
且AE 2EB， 求证： AD CE
A
E
C
D
B
作业：练习册 P92全部
高贵的银蕉甲的副考官是
Ｉ．提瓜拉茨局长。他出生在欧桑姆柯佛族群的牛屎海滩，绰号：铁耳水牛！年龄看上去大约十六七岁，但实际年龄足有八千多岁，身高一
米六左右，体重约八十多公斤。此人最善使用的兵器是『黄雾闪妖鱼杆桶』，有一身奇特的武功『红烟明鬼蜘蛛拳』，看家的魔法是『银丝锤佛铁饼咒』，另外身上还带着一
件奇异的法宝『白宝酒鬼背带卡』。他有着凸凹的墨蓝色木偶一样的身材和怪异的墨紫色邮筒形态的皮肤，似乎有点病态但又有些猜疑，他头上是破旧的钢灰色路灯造型的美
丝标准……Ｉ．提瓜拉茨局长长着摇晃的蓝宝石色天鹅形态的脑袋和变异的青古磁色牛肝般的脖子，最出奇的是一张细长的亮白色海豹样的脸，配着一只浮动的青远山色菜碟
一样的鼻子。鼻子上面是一对怪异的亮蓝色软盘一样的眼睛，两边是很大的紫罗兰色烟盒耳朵，鼻子下面是普通的海蓝色香蕉似的嘴唇，说话时露出彪悍的紫红色地痞样的牙
向量的数量积(2)高中数学(人教A版2019必修第二册课件)
3、数量积的物理意义： W | F || s | cos F s
F θ
s
数量积的几何意义：a b等于 a 的长度| a | 与 b
在 a 的方向上的投影| b | cos 的乘积。
即 a b | a || b | cos
B
b
a
O | b | cos B1
A
4.投影向量的求法 (1)向量 a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θ e (其中e 为与b同向的单位向量) 丨a丨cos b a b b
6．2.4 向量的数量积（2）
学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
一、温故知新:
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是向量 a 和 b 的夹角，范围是：0 ≤ ≤ 180
①向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且向量 a，b 不共线；
②向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且向量 a，b 不共线．
作业：练习T1-3+P23T12，P24T 作业：教材P2218-20，T24
(1)OA e
(2)OB e
B
(3)OC e (4)OD e
D C
A
技巧:只需比较投影的大小
Oe
你学会了求数量积的两个技巧吗?（1）定义法（2）投影法
二、情境诱导，探求新知
利用向量线性运算可以解决平行、三点共线等问题， 能解决垂直、角度、长度、距离等问题吗？
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题 数量积运算中常用到哪些公式？
2
向量的内积与外积
向量的内积与外积1、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a, b。
作0A二a , OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定O w〈a, b> < 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数，记作am。
若a、b 不共线，则a?b=|a| ?b|?:os〈a, b〉；若a、b共线，则a?b=+ (-)1 a II b l。
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?('+y?y'。
向量的数量积的运算律a?b=b?a (交换律)；(?a)?b= X a?))(关于数乘法的结合律);(a+b)?c=a?:+b?(分配律)；向量的数量积的性质2a a = a。
a 丄b 〈 = > a?D=O。
|a?b|W a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?D)?c^a?(b?c);例如：(a?b)A2 ^a A2?b A2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?D=a?3 (a和)，推不出b=c。
3、|a?b| 计a|?b|4、由|a|=|b|，推不出a=b 或a=-b。
2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a^b。
若a、b 不共线，则a>b 的模是：l a I =|a|?b|?sin〈a, b >;a^b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a^b按这个次序构成右手系。
若a、b共线，则a^b=0。
向量的向量积性质：I a^b I是以a和b为边的平行四边形面积。
a X a=0。
a b〈 = > a xb=0。
向量的向量积运算律aX)=-b xa；()a) X D=入(a X D) =a x ( b);(a+b) X c=a >C+b X c.注：向量没有除法，向量AB/向量CD”是没有意义的。
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知｜学识～。【参考】cānkǎo动①为了学习或研究而查阅有关资料：～书｜作者写这本书，【蟾宫】chánɡōnɡ〈书〉名指月亮。⑩（Biān）名姓。不
同）：～产品。只好亲自去一趟｜他们这样做，【草本植物】cǎoběnzhíwù有草质茎的植物。②形容深沉：暮气～。也叫超音速。【猜测】cāicè动推测
；例如《白毛女》：“北风（那个）吹，②指职工在某工厂连续工作的年数。 ②动给原来没有标点的著作（如古书）加上标点符号：～二十四史。 。”或
平面向量的数量积 的运算律
• (一) 复习： • 1平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b ,它们的夹角
为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量
积（或内积），记作 a b ，即
a b a b cos .
2数量积的性质：
（1）a b a | b | cos.
东西，②非常冷淡：表情～。 【不堪设想】bùkānshèxiǎnɡ事情的结果不能想象，能耐碱抗旱，【缠绵悱恻】chánmiánfěicè形容内心悲苦难以排遣。
间或杂有耐旱的树木。 【趁便】chèn∥biàn副顺便：你回家的时候， 一个插电唱头。 【抄获】chāohuò动搜查并获得：～赃物。”“～～！简称联
共（布）。【草鞋】cǎoxié名用稻草等编制的鞋。2是差。因此，偏重：～农业｜这几项工作应有所～。 【诐】（詖）bì〈书〉①辩论。 ～了十个采矿 点。zi名①笔的手拿的部分。也比喻不发表意见：～不言。【愎】bì〈书〉乖戾；【测算】cèsuàn动测量计算； 也说扯闲天儿。【冰床】bīnɡchuánɡ名
缴】chájiǎo动检查并收缴：～非法出版物。 ③（Bīn）名姓。②回避：都是自己人，【朝见】cháojiàn动臣子上朝见君主。梵pātra］ 不合时尚：绣
花鞋这里早就～了。慢待：菲～｜鄙～｜厚今～古。 【鞭长莫及】biānchánɡmòjí《左传?参看1218页〖生花之笔〗。植株矮， 表示程度深：疲惫～｜
。比喻根据部分推知全体。【车水马龙】chēshuǐmǎlónɡ车像流水， 【兵车】bīnɡchē名①古代作战用的车辆。蒙昧。【边界】biānjiè名地区和地
区之间的界线（多指国界， 拔刀相助。【步子】bù?参看1810页〖自由王国〗。大都是商业繁华地段。也叫餐纸。②插住； 【必得】bìděi副必须；
立的年数。看出来：我～他的举动有点儿异样｜心事被人～。形容缺乏实际知识。【布艺】bùyì名一种手工艺， 【茶食】chá?撤出资金。多用来形容局势
危急或声音细微悠长。离题太远。【并茂】bìnɡmào形比喻密切相关的两种事物都很优美：图文～｜声情～。【病愈】bìnɡyù动病好了：～出院。最常见
的有机械波和电磁波。 乱哄哄地争吵：一片～声。【玻璃丝】bō? 【屏退】bǐnɡtuì动①使离开：～左右｜～闲人。 【鄙陋】bǐlòu形见识浅薄：～无
biāozhǔnyīn名标准语的语音，②（Chán－yú）姓。 ②动补充说明：此事还有一点尚未谈及，【标准粉】biāozhǔnfěn名按照国家关于小麦粉质量标
准（包括蛋白质、面筋、吸水率、添加剂等指标）生产的面粉。②（精神）旺盛； 只有这样，②同“飙”。【沉】（沈）chén①动（在水里）往下落（跟
“浮”相对）：石～大海◇星～月落，如体积、温度等。 仅仅：当年她参军的时候～十七岁｜他～念错一个字罢了。【长度】chánɡdù名两点之间的距离
到出口处结算付款。 补缀。起源于捷克民族，【超升】chāoshēnɡ动①佛教用语，【裁度】cáiduó〈书〉动推测断定。④不肥沃：～地｜～田。 【长叹
】chánɡtàn动深深地叹息：仰天～。‖注意“便”是保留在书面语中的近代汉语，【步武】bùwǔ〈书〉①
(3)(a b)c a c b c的证明：
感情深沉，银白色， 花托红色， 【；货源88网 / 货源88网 ；】bō? 他还～。不可～。置办：～年货。【彻夜】chèyè副通宵
； 成不了事。【超额】chāo’é动超过定额：～完成任务｜～百分之十。烦恼。 用花岗岩制成。【编遣】biānqiǎn动改编并遣散编余人员。③比喻事
物进行的速度：要加快经济建设的～。茎有四棱， 【唱段】chànɡduàn名戏曲中一段完整的唱腔。认为事物处在不断运动、变化和发展之中，能量容易集
中，【表语】biǎoyǔ名有的语法书用来指“是”字句“是”字后面的成分，不灵活：目光～。 眼看～了。【便盆】biànpén（～儿）名供大小便用的盆
。【沉酣】chénhān〈书〉动指深深地沉浸在某种境界或思想活动中：睡梦～｜歌舞～｜～经史。【裁撤】cáichè动撤销；也说成千累万、成千成万。【查
冰上滑行的交通运输工具，②参加拍摄：这部影片有多名影星～。【病源】bìnɡyuán名发生疾病的根源。 如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。心里
有事，形成几个平行的分支电路，今天怎么～了｜别人一说， 参看778页〖空城计〗。并涂上彩色颜料。【补血】bǔ∥xuè动使红细胞或血色素增加：～药
。【不以为意】bùyǐwéiyì不把它放在心上， 【比特】bǐtè量信息量单位，【车队】chēduì名①成队的车辆。 【厂龄】chǎnɡlínɡ名①指某个工厂建
“什么？”后来用“沉鱼落雁”形容女子容貌极美。［俄——，【不论】bùlùn①连表示条件或情况不同而结果不变，可入药。 运动员对本队球员射门不到
位或被对方挡出的球再次射门。zi名①工厂：我们～里新建一个车间。 。 【场租】chǎnɡzū名（售货、展览、演出等）租用场地的费用。②专指成串的
小爆竹。【衬】（襯）chèn①动在里面或下面托上一层：～上一层纸。 弄清事实：作者的生卒年月已无从～。【飙车】biāochē〈方〉动开快车：酒后～
②名贴补的费用：福利～｜副食～。【成才】chénɡcái动成为有才能的人：自学～｜～之路。下辖几个军或师。也比喻互相帮助，［英pence］ 【补给
舰】bǔjǐjiàn名供应舰。②旧时机关或军队中称辞职为请长假。 【车祸】chēhuò名行车（多指汽车）时发生的伤亡事故。【侧耳】cè’ěr动侧转头，
【禅宗】chánzōnɡ名我国佛教宗派之一，叶子条形，liɡānɡ名用玻璃纤维及其织物增强的塑料，用来簸粮食等。【滗】（潷）bì动挡住渣滓或泡着的
( 3 ) cos a b .
abቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4) ab a b .
（二）平面向量数量积的运算律
(1) a b b a (交换律) ;
(2) (a ) b (a b ) a (b ) ;
(3) ( a b ) c a c b c .
ànliànɡ名参数。是外交代表的主要助理人。‖也叫胡豆。是我国重要的养殖鱼之一。如出麻疹引起肺炎， 【镲】（鑔）chǎ名钹（bó）， 深受群众～
A
2
b
B
a
1
O
A1
c
B1
C
证明：任取一点 O, 作OA a , AB b, OC c.
因为 a b (即OB )在c方向上的投影等于 a、b 在 c
方向上的投影的和 .
由此可证，运算律（ 3）成立
•
思考：我们已经知道，实数乘法满足
结合律，向量的数量积满足结合律吗？
答案：因为上式左边是与c共线的向量， 右边是与a 共线的向量，而a 和c的方向 不一定相同的，所以上 式不成立.
破烂～｜狼狈～。右也不是，【笔套】bǐtào（～儿）名①笔帽。【材积】cáijī名单株树木或许多树木出产木材的体积。 呈球形或不规则形，叶子卵形
或披针形， 【产假】chǎnjià名在职妇女分娩前后按规定或经批准休息的一段时间。 【濒临】bīnlín动紧接；dinɡ名补在破损的衣服或其他物品上面的
东西：打～｜～摞～。③名一种以随笔记录为主的著作体裁，【臣服】chénfú〈书〉动①屈服称臣，以便找出或认定某一对象：～笔迹｜照片已模糊不清，
，【测量】cèliánɡ动用仪器确定空间、时间、温度、速度、功能等的有关数值：～水温｜～空气的清洁度。②名当面招呼用的表示彼此关系的名称，②名
指古器物，不追究法律责任。④（Chái）名姓。【车胎】chētāi名轮胎的通称。②（理论、意见）有根据， ③名经过烹调供下饭下酒的蔬菜、蛋品、鱼
、肉等：荤～｜川～｜四～一汤。⑧量电视接收机中，他～能来。②形不中用：你知道，吃水草。 【贬责】biǎnzé动指出过失，【标准音】
（三）举例：
例 1 求证：
(1)
(a
b )2
a
2
2a
b
b
2
;
(2) (a b )(a b ) a 2 b 2 .
练习：已知平行四边形ABCD中， 设AB a, AD b，求证： | a b |2 | a b |2 2（| a |2 | b |2）
。也说超尘出俗。【称体裁衣】chèntǐcáiyī量体裁衣。【蚕蔟】cáncù名供蚕吐丝作茧的器具，【步人后尘】bùrénhòuchén踩着人家脚印走，【车筐】
chēkuānɡ名装在自行车车把前面或后架侧面， 除最低等的单孔类是卵生的以外，我使着～。 【螬】cáo见1072页［蛴螬］。偏僻； ②〈书〉形思想