苏州大学2020届高考考前指导卷数学试题

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16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于点 P ，C ），平面 ABE 与棱 PD 交于 点 F．
（1）求证： AB ∥ EF ； （2）若 AF⊥EF，求证：平面 PAD⊥平面 ABCD．
有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问
径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，
锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部 分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦 AB 1 尺，
苏州大学 2020 届高考考前指导卷数学 Ⅰ
一、填空题 1．已知集合 A {x | 1≤ x ≤ 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ▲ ． 2．已知纯虚数 z 满足 (1 i)z 2 ai ，则实数 a 等于 ▲ ．
3．某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的车速进行检 测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间 [90 ，110) 的约有 ▲ 辆．
所以 S 52 ．
7．记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，
321．方案一坐“3
号”车可能：132，213，231，所以
P1
3 6
；方案二坐“3
号”车可能：312，321，所以
P2
2 6
．则
该嘉宾坐到“3
号”车的概率
13．设正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为原点， AB ，AD 所在直线为分别为 x ，y 轴建立平面直
角坐标系，则 A(0 ，0) ，B(a ，0) ，C(a ，a) ，D(0 ，a) ．设 P(x ，y) ，因为 CP DP 0 ，所以 (x a ，y a) (x ，y a) 0 ，
8． π 2
9． 1 3
10． 1 2
11．53066
解答与提示：
1． A B {x |1 x ≤ 2} ．
12．4
13． [1 2 ，4] 33
14． 16 5 5
2．
z
2 ai 1i
(2
ai)(1 2
i)
2
2
a
2
2
a
i
．因为
z
为纯虚数，所以
2 2
a a
0 0
， 解得
，
a
2
（1）求二面角 P EC D 的余弦值； （2）线段 PC 上是否存在一点 M ，使得异面直线 DM 和 PE 所成的角的余弦值为
6 ？若存在，指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由． 8
（第 22 题图）
23．（本小题满分 10 分） 已知非空集合 M 满足 M {0 ，1，2 ，，n} (n ≥ 2 ，n N* ) ．若存在非负整数 k (k ≤ n) ，使得当 a M 时，均有 2k a M ，则称集合 M 具有性质 P ．记具有性质 P 的集合 M 的个数为 f (n) ．
（第 18 题图）
19．（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x) x2 ax 2 ln x （其中 a 为常数）．
（1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）设函数 f (x) 有两个极值点 x1 ，x2 (x1 x2 ) ，若 f (x1)＞ mx2 恒成立，求实数 m 的取值范围．
0
x
≤
1 2
，即函数
f
(x)
的定义域为
(0 ，1] ． 2
5．离心率 e c 1 3 ，所以 2 ． a1
6．执行第一次循环 S 10 ，i 5 ；执行第二次循环 S 20 ，i 7 ；
执行第三次循环 S 34 ，i 9 ；执行第四次循环 S 52 ，i 11 ，终止循环．
4
2
，曲线
C
的参数方程为
x
y
2 cos sin
， (
2
பைடு நூலகம்
≤≤
3) 2
，求
l
与曲线
C
交点的直角坐标．
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22．（本小题满分 10 分） 在四棱锥 P ABCD 中， AB//CD ， AB 2CD 2BC 2AD 4 ， DAB 60 ， AE BE ， △PAD 为正三角 形，且平面 PAD 平面 ABCD ．
i←3
序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的
车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．则 S←S+2i
该嘉宾坐到“3 号”车的概率是 ▲ ．
8．已知函数
f
(x)
x cos
x
，则
f
(x)
在点 (
，f
( ))
处的切线的斜率为
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20．（本小题满分 16 分） 对于数列{an} ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an} 为 P 数列．
（1）若 {an} 的前 n 项和 Sn 3n 2 ，试判断{an} 是否是 P 数列，并说明理由； （2）设数列 a1 ，a2 ，a3 ，，a10 是首项为 1 ，公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 d 的取值范围； （3）设无穷数列{an} 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列，有穷数列{bn}，{cn} 是从{an} 中取出部分项按原来的顺
13． 已 知 点 P 为 正 方 形 ABCD 内 部 一 点 （ 包 含 边 界 ）， E ，F 分 别 是 线 段 BC ，CD 中 点 ． 若 CP DP 0 ， 且
AP AE AF ，则 的取值范围是 ▲ ．
14．已知 D 是 △ABC 边 AC 上一点，且 CD 3AD ，BD 2 ，cos ABC 1 ，则 3AB BC 的最大值为 ▲ ． 4
在 △BDC 中， cos BDC (3t)2 ( 2)2 a2 ， 2 2 3t
弓形高 CD 1寸，估算该木材的体积约为 ▲ （立方寸）．
（注：1 丈 10 尺 100 寸， π 3.14 ）
12．已知函数
f
(x)
|
log2
x
2
|
，0
x
≤1 ， 若存在互不相等的正实数
3 x ， x 1，
x1
，x2
，x3
，满足
（第 11 题图）
x1 x2 x3 且 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) ，则 x3 f (x1) 的最大值为 ▲ ．
在平面直角坐标系
xOy
中，设点
P(x
，5)
在矩阵
M
1 3
2 4
对应的变换下得到点
Q(
y
2
，y)
，求
M
1
x y
．
B ．选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
sin(
)
P
P1
P2
5 6
．
8． f (x) cos x x sin x ，所以在 x π 处的切线的斜率为 k f ( π ) π ．
2
22
a1[1 (q2 )3 ]
9． a1 a3 a5 S6
1 q2 a1(1 q6 )
1 1． 1 q 3
1 q
10．因为
2
sin
cos(
π) 4
（1）求 f (2) 的值； （2）求 f (n) 的表达式．
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苏州大学 2020 届高考考前指导卷
参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1．{x |1 x ≤ 2} 2．2
3．280
4． (0 ，1] 2
5．2
6．52
7． 5 6
2 sin(
)
，由 P 为正方形
ABCD 内部一点（包含边界），
3a
3a 2 2
3
4
可得 [ ，2] ，所以 [ ， ] ，所以 1
2
sin(
)
[1
2 ，4] ．
4 44
3
4
33
14．法一：设 AD t ，则 CD 3t ， AC 4t ，
在 △ABD 中， cos ADB t2 ( 2)2 c2 ， 2 2t
4．函数 f (x) 1 2x lg x 的定义域为 ▲ ．
5．在直角坐标系
xOy
中，已知双曲线 x2
y2
1
(
0)
的离心率为
3 ，则 的值为
▲
．
开始
6．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 ▲ ．
S←4
7．展览会会务组安排了分别标有序号为“1 号”、“2 号”、“3 号”的三辆车，采用等可能随机的顺
12．函数 f (x) 的图象如右图所示，由题意，0 f (x3) 2 ，即1 x3 9 ，因为 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) 所以 x3 f (x1) x3 (3 x3 ) ，令 t x3 (1,3) ，构造函数 g (t) t3 3t 2 ， g (t) 3t 2 6t ， 所以当 t 2 时， g(t)max g(2) 4 ，所以 x3 f (x1) 的最大值为 4．
．
3．由图可知，时速在区间 [80 ，90) ，[110 ，120) 的频率为 (0.01 0.02) 10 0.3 ，所以时速在区间 [90 ，110) 的频率为 1 0.3 ，所以时速在区间 [90,110) 的车辆约为 400 0.7 280 辆．
4．由
1 2x≥ x 0 ，
0
， 解得
序所组成的不同数列，其所有项和分别为 T1 ，T2 ，求{an} 是 P 数列时 a 与 q 所满足的条件，并证明命题“若 a 0 且 T1 T2 ，则 {an} 不是 P 数列”．
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苏州大学 2020 届高考考前指导卷数学Ⅱ（附加题） 21． A ．选修 4 2：矩阵与变换
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18．（本小题满分 16 分）
如图，已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
的离心率为
2 ， 短 轴 长 为 2 ， 左 、 右 顶 点 分 别 为 A，B ． 设 点 2
M ( 2 ，m) (m 0) ，连接 MA 交椭圆于点 C ．
（1）求该椭圆的标准方程； （2）若 OC CM ，求四边形 OBMC 的面积．
（第 16 题图）
17．（本小题满分 14 分） 如图，某公园内有一半圆形人工湖，O 为圆心，半径为 1 千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实 事，拟规划在 △OCD 区域种荷花，在 △OBD 区域建小型水上项目．已知 AOC COD ．
（1）求四边形 OCDB 的面积（用 表示）； （2）当四边形 OCDB 的面积最大时，求 BD 的长（最终结果可保留根号）．
▲
．
22
9．已知 Sn
是等比数列{an} 前 n 项的和，若公比 q
2 ，则
a1
a3 a5 S6
的值是
▲
．
10．已知
2
sin
cos(
)
，则
tan(
)
的值是
▲
．
4
4
i←i＋2
i≤10 Y N
输出 S
结束 （第 6 题图）
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．里面对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a 1， 3 cos C c sin A ．
（1）求 C ； （2）若 b 3 ， D 是 AB 上的点， CD 平分 ACB ，求 △ACD 的面积．
，解得
tan
1 3
，所以
tan(
π) 4
1 1 3 1 1
1 2
．
3
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11．如图，AB 10（寸），则 AD 5（寸），CD 1（寸），设圆 O 的半径为 x（寸），则 OD (x 1) （寸）．在 Rt△ADO ，由勾股定理可得 52 (x 1)2 x2 ，解得 x 13 （寸），则该木材的体 积约为x2 100 132 16900 （立方寸）．
即(x
a)2
(y
a)2
a2
，设
x
a 2
a cos ， 2
2
4
y
a
a 2
sin
．
又因为
E(a ，a) ，F ( a ，a) 22
，
AP
AE AF
，所以
(x ，y) (a ，a ) ( a ，a) 22
，即
x y
a a 2
a a 2
， 所
，
以
2 (x y) 2 [3a a (sin cos )] 1