四边形的性质及证明

儒洋教育学科教师辅导讲义

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一、多边形

多边形的内角和：

多边形内角和等于0180)2n (- 多边形的外角和： 多边形外角和等于3600

过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有2

)

3(-n n 条对角线．

过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．

二、平行四边形

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．

2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．

两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

3．平行四边形的性质：

文字表达：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分．

符号语言表达：

四边形ABCD 是平行四边形

4．平行四边形的判定：

文字表达：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言表达：

AB∥CD，BC∥AD⇒四边形ABCD是平行四边形

AB=CD，BC=AD⇒四边形ABCD是平行四边形．

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD⇒四边形ABCD是平行四边形．

OA=OC，OB=OD⇒四边形ABCD是平行四边形．

∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB⇒四边形ABCD是平行四边形．

三、矩形、菱形、正方形

1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③

具有平行四边形所有性质．

2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．

5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

四、梯形

1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．

2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相等的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。

（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．

（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。

五、中位线

定义；

几何证明中经常用到中位线。

六、平面向量

定义：要素

加减法则。

七、常见辅助线用语：

1、连结XX

延长XX至X，使XX=XX

延长XX与XX，交于点X

2、过点X作XX∥XX

3、过点X作XX⊥XX于X

巩固练习：

一、填空题

1．六边形共有（）条对角线.

2．一个多边形内角和为540°，则其边数为（）.

3．一个多边形每一个外角都是30°，则这个多边形是（）边形.

4．从凸n边形一个顶点出发，有（）条对角线.

5．一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数，则边数为（）.

6．任意多边形的外角和为（）度.

二、选择题（把正确答案的序号字母填入括号中）

1．一个凸n边形的n个角中，至多有几个角是锐角.结论应该是至多有（）个.

（A）4个（B）3个（C）2个（D）不能确定

2．一个凸多边形内角和900°，则这个多边形边数为（）条.

（A）8 （B）5 （C）7 （D）10

3．如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多边形内角和为（）.

（A）1800°（B）2400°（C）3240°（D）4206°

4．平行四边形对角线将其分成全等三角形（）对.

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

三、求解题

1．一个多边形的内角和是其外角和的2倍，求边数.

2．多边形每一个内角都是150°，求对角线的条数.

3．两个角的两边分别垂直，且一个角是另一个角的4倍还少30°，求这两个角的度数.

4．一个多边形的各内角都相等，且内外角之差的绝对值为60°，求边数.

5．一个多边形的内角和与其一个外角的总和为1350°，求边数.

6．多边形的一个外角与其余各内角和为600°，求边数.

提高练习：

一、选择题

1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．

（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;

（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD

2．在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）

A.60°

B.80°

C.100°

D.120°

3．平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

4．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（）

A．外角和等于360° B．对角线互相平分

C．内角和等于360° D．有两条对角线

5．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）

A、①④⑤

B、②⑤⑥

C、①②③

D、①②⑤

6．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（）

A、小明、小亮都正确

B、小明正确，小亮错误

C、小明错误，小亮正确

D、小明、小亮都错误

7．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）

（A）邻角互补（B）内角和为360°（C）对角线相等（D）对角线互相垂直