弯曲应力及强度计算
弯曲强度的计算公式
弯曲强度的计算公式
弯曲强度是材料在受到弯曲加载时能够抵抗断裂的能力。
它是衡量材料在弯曲应力下的稳定性和可靠性的重要指标。
计算弯曲强度的公式取决于所使用的材料和几何形状。
对于简单的弯曲情况，如梁的弯曲，可以使用欧拉-伯努利理论来计算弯曲强度。
该理论假设梁在弯曲时保持线弹性，并且材料的应力分布是线性的。
根据这个理论，可以使用以下公式计算梁的最大弯曲应力：
σ = (M * c) / I
其中，σ是最大弯曲应力，M是弯矩，c是梁的截面最大距离（也称为截面臂），I是梁的截面惯性矩。
对于复杂的几何形状和非均匀材料的弯曲情况，需要使用更为复杂的公式。
例如，对于不均匀材料的弯曲，可以使用蒙特卡洛方法或有限元分析来计算弯曲强度。
此外，不同类型的材料具有不同的弯曲强度计算公式。
例如，对于金属材料，可以使用杨氏模量和屈服强度来计算弯曲强度。
对于混凝土材料，可以使用弯曲抗剪强度和弯曲抗拉强度来计算弯曲强度。
总之，计算弯曲强度需要考虑材料的机械性能、几何形状和加载条件。
准确计算弯曲强度对于工程设计和结构分析至关重要，以确保结构的稳定性和安全性。
弯曲应力及强度计算
工程背景
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1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
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由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
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小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
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* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
理论力学10弯曲的应力分析和强度计算
解 绘制弯矩图，得 M B = 10kN ⋅ m M C = 7.5kN ⋅ m
Q = Q(x)
--剪力方程
M = M (x)
--弯矩方程
梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
14
例2
如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
l−a
a
RA =
RB = P
火车轮轴简化为外伸梁
8
弯曲的应力分析和强度计算
二、剪力与弯矩
截面法求内力
∑F y =0 RA − P − Q = 01
∑M c = 0 M + P ( x − a ) − RA x =
01
Q = RA − P1
剪力
M = RA x − P ( x − a ) 弯矩1
9
弯曲的应力分析和强度计算
剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针 转动时为正，反之为负。
横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。
34
弯曲的应力分析和强度计算
} 1 M
=
ρ EI xz
σ =E y ρ
M
σ=y
IZ
--纯弯曲梁横截面正应力计算公式
横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。
σ max M
=
σ max M
=
ymax
WZ
IZIZ WZ =
弯曲截面系数
ymax 35
σa
−
σb
⊕
σc
−
混凝土弯曲强度计算公式
混凝土弯曲强度计算公式
1. 杨氏模量公式
杨氏模量是衡量混凝土弯曲强度的重要参数之一。
在弯曲计算中，可以使用以下公式计算混凝土的杨氏模量：
E = 0.043 * sqrt(f'c)
其中，E为混凝土的杨氏模量（单位为GPa），f'c为混凝土的抗压强度（单位为MPa）。
2. 抗弯承载力公式
混凝土在受弯载荷作用下的抗弯承载力可以使用以下公式进行计算：
M = f'b * W * d^2 / 6
其中，M为混凝土的抗弯弯矩（单位为kNm），f'b为混凝土
的轴心抗压强度（单位为MPa），W为截面的宽度（单位为mm），d为截面的有效高度（单位为mm）。
3. 弯曲应力公式
在已知抗弯弯矩和截面属性的情况下，可以使用以下公式计算
混凝土的弯曲应力：
f' = 6 * M / (b * d^2)
其中，f'为混凝土的弯曲应力（单位为MPa），M为混凝土的
抗弯弯矩（单位为kNm），b为截面的宽度（单位为mm），d为
截面的有效高度（单位为mm）。
请注意，以上公式仅为常用的混凝土弯曲强度计算公式之一，
实际计算应结合具体工程情况和规范要求进行。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
弯曲梁的剪应力计算及强度计算PPT精选文档
b
M D yb Iz
28.3MPa
c
M B yc Iz
33.6MPa
c,m ax a5.9 8M P ac
t,m axc3.3 6MP at
梁的弯曲强度符合要求
20
例6.5 悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端 有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知 钢的许用应力[σ]=170Mpa，略去梁的自重， (1)试计算集中荷载F的最大许可值。 (2)若集中荷载为45 kN，确定工字钢的型号。
解： 1.最大弯曲剪应力。
最大弯曲剪应力发生 在中性轴上。中性轴 一侧的部分截面对中 性轴的静矩为：
Sz yc A
S z,m a (2 x m 0 1 m m 2 0 4 m m 5 )2 m 2m 0 9 m .0 2 14 5 m 03m 2
8
最大弯曲剪应力：
(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力
Z
Izd
腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物 线规律变化(翼板上的剪应力很小 )
最大剪应力发生在中性轴上，工字形截面翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板 上承担绝大部分剪力。
最大剪应力实用计算公式
(三 )、圆截面梁的最大剪应力
max
4 3
V A
最大剪应力发生在中性轴上
腹板 面积 近似均匀分布
7
例 梁截面如图所示，横截面上剪力V=15KN。 试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与 翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩 Iz=8.84×10-6m4。
WZ
bh 2 6
l2
l2
Fs m ax
F 2
F
max
3 2
Fs A
32 2 bh
3 F 4 bh
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
弯曲强度计算
I y 令
Wz
Iz ymax
则
z max
max
M Wz
式中 Wz——抗弯截面系数。在M相同的情况
下，Wz 愈大， max就愈小，梁便不容易破坏。可见
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。
（2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生
在同一截面，所以，最大正应力公式表示为
RA 26 KN
RB 34 KN
M max 136 KN m
Wz
M max
2
136 106 2 170
400 cm3
a z
b
y
M
τmin
τmax τmin
二、强度计算
1. 强度校核
max
M max Wz
2. 设计截面
max
FQ
S* z max
Iz b
Wz M max
圆截面：
Wz
Iz ymax
d 4
d
64 2
d3
32
矩形截面：
Wz
Iz ymax
bh3 12 h2
bh2 6
3. 确定许用荷载
M max Wz
力强度，甚至由切应力强度条件来控制：
（1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。
（2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板梁
），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相应
比值时。
（3）木梁或玻璃等复合材料梁。
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
mmaxaxMM2I1Iyzyzmmaaxx
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
弯曲正应力强度条件的内容
弯曲正应力强度条件的内容弯曲正应力强度条件的内容一、弯曲正应力强度条件的定义弯曲正应力强度条件是指在材料受到弯曲时，其最大正应力不能超过该材料的屈服极限。
这个条件是一种基本的材料设计原则，它可以用来保证材料在使用过程中不会发生破坏。
二、弯曲正应力强度条件的计算公式在进行弯曲试验时，我们通常会测量出受试样件上的最大正应力。
这个最大正应力可以通过下面的公式来计算：σ = M*y/I其中，σ表示最大正应力；M表示试样受到的最大弯矩；y表示试样截面上离中性轴距离最远的点到中性轴距离；I表示试样截面对中性轴的惯性矩。
三、弯曲正应力强度条件与屈服极限之间的关系根据材料学理论，屈服极限是指材料在受到外部载荷作用下开始发生塑性变形并且无法恢复原来形态时所承受的最大载荷。
因此，在进行材料设计时，我们需要确保所选用的材料的屈服极限大于或等于试样受到的最大正应力。
四、弯曲正应力强度条件的应用弯曲正应力强度条件是一种非常重要的材料设计原则，它可以用来保证材料在使用过程中不会发生破坏。
这个原则在许多不同领域都有广泛的应用，例如：1. 桥梁设计：在桥梁设计中，我们需要确保桥梁所使用的材料能够承受车辆和行人的重量。
因此，在进行桥梁设计时，我们需要计算出桥梁受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
2. 航空航天工业：在航空航天工业中，我们需要确保飞机和火箭等载具所使用的材料能够承受高速飞行时产生的巨大载荷。
因此，在进行航空航天工业设计时，我们需要计算出载具受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
3. 机械制造业：在机械制造业中，我们需要确保机械零件所使用的材料能够承受工作时所产生的载荷。
因此，在进行机械设计时，我们需要计算出机械零件受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
五、弯曲正应力强度条件的局限性尽管弯曲正应力强度条件是一种非常重要的材料设计原则，但是它仍然存在一些局限性。
工程力学：第9章 弯曲应力及强度计算(新)
P1
例如：
P2
纵向对称面
aP
Pa
A
P FS P
B P
x
P Pa M
x
3、纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。
纯弯曲：AB段
三.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
x
t max
1.5
FS max A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
x
s max M max 2 A L 16.7
t max Wz 3FS h
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m RA
1m 1m RB
2.5kNm
x
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
(sdA)z
A
Eyz dA E
A
yzdA EI yz 0
A
（对称面）
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y2dA
A
EI z
MZ
A y2dA I Z
• IZ—横截面对中性轴的惯性矩
1 Mz
EI z
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
sx
M y Iz
...... (4)
M(x)+d M(x) 在梁上取微段如图b；
z
t1
x
在微段上取一块如图c，平衡
sI
t
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算
（1）矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用，工字形截
z
面更合理。
（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择：
为了比较各种截面的合理性，以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z， A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。
（一）矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法（截面法）：ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开，
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7．1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS
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