初一数学绝对值典型例题精讲

第三讲 绝对值

绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质

绝对值 简单的绝对值方程

化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）

绝对值几何意义的使用

绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质：

（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0）

（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）

-a (a ＜0)

（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；

（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，

且|a|≥-a ；

（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）

（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=|

|||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2

；

（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥

|a-b|

[例1]

（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？

（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）

A.a ＜0，b ＜0

B.a ＞0，b ＜0

C.a ＜0，b ＞0

D.ab ＜0

（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）

A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b

C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|

D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2

（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

分析：

（1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个

（2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3） 选择D 。

（4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9

[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。

[巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）

A.a ＞b

B.a=b

C.a

D.无法确定

分析：选择D 。

[巩固] 若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________

分析：若|x-3|=3-x ，则x-3≤0，即x ≤3。对知识点3的复习巩固

[巩固] 若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）

A.a ＜0

B.a ＞0

C.b ＜0

D.b ＞0

分析：选择C

[巩固] 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8

[例2]

（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则

x y 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，求n x

y )4(--的值

分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，x

y =23- （2）由|x+3|+（y-1）2=0，可得x=-3，y=1。

x y --4=314+-=-1 n 为偶数时，原式=1；n 为奇数时，原式=-1

小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b 2≥0）

若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；

若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；

若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；

当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非

负数互为相反数时，两者均为0

【例3】

（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿

（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么

x+y 的值是多少？

分析：

（1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2

（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x ，x-y ≤0；

当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；

当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。

【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值

分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6

当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;

当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10

【例4】

解方程：（1）05|5|2

3=-+x （2）|4x+8|=12

（3）|3x+2|=-1

（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求

y xy x 43

12--的值 分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=310，所以有x+5=±310，进而可得：x=-35，-325； （2）4x+8=±12，x=1，x=-5

（3）此方程无解

（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x 与y 互为相反数，所以x=3，

y=-3，2443

12=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求

12+++-ab a b ab a 的值 分析：a 与b 互为相反数，那么a+b=0。

12+++-ab a b ab a =,4,4||,1

001)(±=-=--=+⨯-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；

当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；

综上可得

12+++-ab a b ab a =4

【例6】

（1） 已知a=-21，b=-3

1，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值

（3） 化简：|a-b|

分析：（1）原式=718||31|33

4|2|3221|4)3221(|341|2-=---+--------- （2）|a|=b ，我们可以知道b ≥0，当a<0时，a=-b ，|a+b|=0；当a ≥0时，a=b ，|a+b|=2b

（3）分类讨论。