二次型的性质及应用

唐山师范学院本科毕业论文

题目二次型的正定性及其应用

学生王倩柳

指导教师张王军讲师

年级 2012级数学专接本

专业数学与应用数学

系别数学与信息科学系

唐山师范学院数学与信息科学系

2014 年5月

郑重声明

本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。

毕业论文（设计）作者（签名）：

2014 年月日

目录

摘要 (1)

前言 (1)

1 二次型的历史及概念 (2)

1.1二次型的历史 (2)

1.1 二次型的矩阵形式 (2)

1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)

2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3)

3 二次型的应用 (6)

3.1 多元函数极值 (6)

3.2 证明不等式 (12)

3.3 因式分解 (12)

3.4 二次曲线 (13)

结论 (14)

参考文献 (14)

致谢 (15)

二次型的正定性及其应用

学生：王倩柳

指导老师：张王军

摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。

关键词：二次型；矩阵；正定性；应用

The second type of positive definite matrix and its

applications

Student: Wang qianliu

Instructor: Zhang wangjun

Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.

Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application

前言

二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、

计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

1 二次型的历史及概念

1.1二次型的历史

二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算数研究》中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。

二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将其实现应用价值.

1.2 二次型的矩阵形式

定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式

2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++

222223232222n n a x a x x a x x ++++

+

2nn n a x +

11n n ij i j

i j a x x ===∑∑ 其中),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==

称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =222

1112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.