八年级数学全等三角形证明题(辅助线)
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2.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
B A O N C A2 M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
3.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法 ----“周长问题”的转化
Hale Waihona Puke Baidu
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形
适用情况:图中已经存在两个点—X和Y
语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B A C
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
E A
过点D作DE⊥AB
B D C
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
过点D作DE⊥AB 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
B E D C A
思考: 若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
过点E作EF⊥BC 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
A
B
C D
E
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠CAB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE BE+BD+CD BE+BC BE+AC BE+AE AB
A E B C D
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
AB+AC+BC AM+ BM+AN+NC+6 AM+ MP+AN+NP+6 AM+AN+MN+6 13+6
B M P N C A
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点. A 连结AC、AD
构造全等三角形
B E
C
M
D
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD 的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC A 连结AD
C B F E
A
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
1.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长. 连接AM AB+BC+AC AB+ BM+MC+6 AB+ BM+AM+6 13+6
B A N
M
C
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造全等三角形 适用情况:图中已经存在一条线段BC 和线段的中点X 语言描述:延长AX到Y，使得AX=XY 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线，求证2AD<AB+AC. 延长AD到点E，使DE=AE， 连结CE.
构造全等三角形
B M D N C
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=CB， OB=5cm，求OD的长. C A 连结BD
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
AB+AC+BC
A1
B A O N C A2 M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
3.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法 ----“周长问题”的转化
Hale Waihona Puke Baidu
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形
适用情况:图中已经存在两个点—X和Y
语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B A C
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
E A
过点D作DE⊥AB
B D C
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
过点D作DE⊥AB 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
B E D C A
思考: 若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
过点E作EF⊥BC 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
A
B
C D
E
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠CAB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE BE+BD+CD BE+BC BE+AC BE+AE AB
A E B C D
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
AB+AC+BC AM+ BM+AN+NC+6 AM+ MP+AN+NP+6 AM+AN+MN+6 13+6
B M P N C A
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点. A 连结AC、AD
构造全等三角形
B E
C
M
D
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD 的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC A 连结AD
C B F E
A
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
1.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长. 连接AM AB+BC+AC AB+ BM+MC+6 AB+ BM+AM+6 13+6
B A N
M
C
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造全等三角形 适用情况:图中已经存在一条线段BC 和线段的中点X 语言描述:延长AX到Y，使得AX=XY 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线，求证2AD<AB+AC. 延长AD到点E，使DE=AE， 连结CE.
构造全等三角形
B M D N C
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=CB， OB=5cm，求OD的长. C A 连结BD
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法