《高等数学》-各章知识点总结第1章

第1章 函数与极限总结

1、极限的概念

（1）数列极限的定义

给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有

|x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为

a x n n =∞

→lim 或xn →a (n →∞).

（2）函数极限的定义

设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时） 恒有 |f (x )-A |<ε ,

那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为

A x f x x =→)(lim 0

或f (x )→A (当x →x 0).（ 或lim ()x f x A →∞

=）

类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ∀>∃>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作

00

lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -

+→→==或

显然有0

lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=⇔==

如果存在常数A ,对0,0,X ε∀>∃>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞

→+∞

==或

显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞

→-∞

→+∞

=⇔==

2、极限的性质 （1）唯一性

若a x n n =∞

→lim ，lim n n x b →∞

=，则a b =

若0()

lim ()x x x f x A →∞→=0()

lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =

（2）有界性

（i ）若a x n n =∞

→lim ，则0M ∃>使得对,n N

+

∀∈恒有n x M ≤

（ii ）若0

lim ()x x f x A →=，则0M ∃>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤

（iii ）若lim ()x f x A →∞

=，则0,0M X ∃>>当x X >时，有()f x M ≤

（3）局部保号性

（i ）若a x n n =∞

→lim 且0(0)a a ><或则N N +∃∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或

（ii ）若0

lim ()x x f x A →=，且0(0)A A ><或，则0δ∃>当0:0x x x δ<-<时，有

()0(()0)f x f x ><或

3、极限存在的准则 （i ）夹逼准则 给定数列{},{},{}n n n x y z

若①0,n N +

∃∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤

②lim lim n n n n y z a →∞

→∞

==，

则lim n n x a →∞

=

给定函数(),(),()f x g x h x ，

若①当0

0(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()

()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，

则0()

lim ()x x x f x A →∞→=

（ii ）单调有界准则

给定数列{}n x ，若①对n N +∀∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ∃使对

n N +∀∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞

存在

若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0

lim ()x x f x -→（或0

lim ()x x f x +→）

存在

4、极限的运算法则

（1）若0()

lim ()x x x f x A →∞→=，0()

lim ()x x x g x B →∞→=

则(i)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±

(ii)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞→⋅=⋅

(iii)0()

()lim

()x x x f x A

g x B

→∞→=⋅（0B ≠） （2）设（i ）0

0()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0

0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠

（iii ）0

lim ()u u f u A →=

则0

lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==

5、两个重要极限

（1）

0sin lim

1

x x

x →=()0sin ()

lim

1()u x u x u x →=

sin lim

0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01

lim sin 0x x x

→=

（2）1lim 1x

x e x →∞⎛

⎫+= ⎪⎝⎭)

()(1lim 1;()x u u x e u x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭

1

lim(1)x

x x e

→+=()

()0

1()

lim 1();v x x v v x e →+=

6、无穷小量与无穷大量的概念

（1）

若0()

lim

()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ∀>∃>当0:0x x x δ<-<（或

x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量

（2）

若0()

lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ∀>∃>>或当0:0x x x δ

<-<（或x X >）时有()f x M >则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则 （1）00()

()

lim ()()(),lim

()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞

→∞→→=⇔=+=其中

（2）00()

()

1

lim ()0()0lim

()

x x x x x x f x f x f x →∞

→∞→→=≠⇒=∞（） （3）00

()

()

1

lim ()lim

0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞⇒= （4）0()

lim ()0,x x x f x M →∞

→=∞∃>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，

则0()

lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞