第六章第5讲PPT课件

第六章 不等式、推理与证明
[规律方法] (1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件 出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证 结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2 ⇒…⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”； (2)利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不 等式的性质为依据，进行推理论证的．因此，关键是找到 与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
法二：由均值不等式知，当 x>1 时，2 x<x＋1， 故 x<x2＋12.① 令 k(x)＝ln x－x＋1，则 k(1)＝0， k′(x)＝1x－1<0， 故 k(x)<0，即 ln x<x－1.② 由①②得，当 x>1 时，f(x)<32(x－1)．
栏目 导引
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
[解] (1)①由已知得 2Sn＝a2n＋an，且 an>0，当 n＝1 时， 2a1＝a21＋a1，解得 a1＝1(a1＝0 舍去)； 当 n≥2 时，有 2Sn－1＝a2n－1＋an－1. 于是 2Sn－2Sn－1＝a2n－a2n－1＋an－an－1， 即 2an＝an2－an2－1＋an－an－1. 于是 an2－an2－1＝an＋an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1. 因为 an＋an－1>0，所以 an－an－1＝1(n≥2)． 故数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 所以数列{an}的通项公式为 an＝n.
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
2．证题的三种思路 (1)分析法证题的一般思路： 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发， 倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问 题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分 条件． (2)综合法证题的一般思路： 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就 是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想 已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步 推出结论．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
②证明：因为 an＝n，所以 Sn＝n（n2＋1），
则S1n＝n（n2＋1）＝2n1－n＋1 1， 所以S11＋S12＋…＋S1n ＝21－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1＝21－n＋1 1<2.
(2)证明：法一：记 g(x)＝ln x＋ x－1－32(x－1)， 则当 x>1 时，g′(x)＝1x＋21 x－32<0. 又 g(1)＝0，所以 g(x)<0， 即 f(x)<32(x－1)．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止， 这种证明方法叫做分析法．
分析法又称为：__执__果__索__因__法______ (逆推证法)． 2．间接证明
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(3)反证法证题的一般思路： 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主 要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A，或者是非 A，即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有 一个是正确的，不能有第三种情况出现．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(1)(2015·山 东 烟 台 模 拟 ) 设 数 列 {an} 的 各 项 都 为 正 数，其前 n 项和为 Sn，已知对任意 n∈N*，Sn 是 a2n和 an 的等差中项． ①证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； ②证明S11＋S12＋…＋S1n<2. (2)设 f(x)＝ln x＋ x－1，证明：当 x>1 时，f(x)<32(x－1)．
间接证法．其中正确的有( D )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析：由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都
正确．
2．(2015·山西太原模拟)用反证法证明“若 x2－1＝0，则 x ＝－1 或 x＝1”时，应假设__x_≠__－__1_且__x_≠__1_______．
解析：“x＝－1 或 x＝1”的否定是“x≠－1 且 x≠1”．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
1．辨明两个易误点 (1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性， 常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到 一个明显成立的结论； (2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假 设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果， 其推理过程是错误的
[做一做] 3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角 的结论，三边 a，b，c 应满足_____a_2_>_b_2＋__c_2______． 解析：由余弦定理 cos A＝b2＋2cb2c－a2<0，所以 b2＋c2－a2<0， 即 a2>b2＋c2.
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
反证法：假设原命题_不__成__立_____，经过正确的推理，最后 得出___矛__盾_____，因此说明假设错误，从而证明了原命题
成立，这样的证明方法叫做反证法．
栏目 导引
第六章 不等式、推ห้องสมุดไป่ตู้与证明
[做一做]
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是
第六章 不等式、推理与证明
第5讲 直接证明和间接证明
第六章 不等式、推理与证明
1．直接证明 直 接 证 明 中 最 基 本 的 两 种 证 明 方 法 是 __综__合__法____ 和 __分__析__法____． (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法． 综合法又称为：__由___因__导__果__法______ (顺推证法)．
考点一 考点二 考点三
综合法的应用(高频考点) 分析法 反证法
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点一 综合法的应用(高频考点) 综合法证明是历年高考的热点问题，也是必考问题之一．通 常在解答题中某一问出现，一般为中高档题，高考对综合 法的考查常有以下三个命题角度： (1)三角函数、数列证明题； (2)几何证明题； (3)与函数、方程、不等式结合的证明题．