《数学分析》第十一章 广义积分
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第十一章 广义积分（ 6 时 ）
问题的提出: 针对Riemann 积分的缺陷⑴要求积分区间有限;⑵被积函数有界再结合[1]
P 264两例. 广义积分亦称为Cauchy —Riemann 积分,或C —R 积分. 一. 无穷限广义积分:
1． 概念和几何意义： 定义 ⎰
=
A
a
A F )(，
⎰+∞
-+∞=a a F F f
)()(.
几何意义:
例1 ⑴ 讨论积分 ⎰+∞
+021x dx , ⎰∞-+021x dx , ⎰+∞
∞-+21x
dx
的敛散性 . ⑵ 计算积分
⎰+∞
++025
2x x dx
. 例 2 讨论以下积分的敛散性 :
⑴ ⎰+∞
1p x
dx
; ⑵
⎰+∞
2)
(ln p x x dx
. 例3 讨论积分⎰
+∞
a
xdx cos 的敛散性 .
2. 无穷积分的性质:
⑴)(x f 在区间) , [∞+a 上可积,k 为常数,则函数k )(x f 在区间) , [∞+a 上可
积,且
⎰+∞
=a
k dx x kf )(⎰+∞
a
dx x f )(.
⑵)(x f 和)(x g 在区间) , [∞+a 上可积⇒)(x f ±)(x g 在区间) , [∞+a 上可积,
且⎰+∞
=
±a
g f )(⎰+∞
±a
f ⎰+∞
a
g .
⑶无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )
Th 积分
⎰+∞
a
dx x f )(收敛εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'
''
A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .
⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.
绝对收敛⇒收敛,( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法:
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法. ⑴ 比较判敛法:设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积.则
⎰+∞
a
g < ∞+⇒⎰+∞
a
f < ∞+；⎰+∞
a
f
=∞+⇒⎰+∞
a
g =∞+. ( 证 )
例4 判断积分⎰+∞
++0
2
25)
1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式:设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c g
f
x =+∞
→lim
.则 ⅰ> 0< c < ∞+⇒
⎰+∞
a
f 与 ⎰+∞
a g 共敛散;
ⅱ> c =0⇒
⎰+∞
a
g < ∞+时,⎰+∞
a
f < ∞+；
ⅲ> c =∞+, ⇒
⎰+∞
a
g = ∞+时, ⎰+∞
a
f
=∞+. ( 证 )
⑵ Cauchy 判敛法: ( 以
⎰+∞
1
p x dx
为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 ) 设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤p x 1
且p 1>, ⇒
⎰+∞
a
f < ∞+；
若)(x f ≥p x
1
且p 1≤, ⇒
⎰+∞
a
f
=∞+.
Cauchy 判敛法的极限形式:设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数.且
λ=+∞
→)(lim x f x p x . 则
ⅰ>
,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞
a f < ∞+；
ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp ⎰+∞
a
f
=∞+. ( 证 )
例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :
ⅰ> ⎰+∞
->0
);0( ,αα
dx e x
x
ⅱ>
⎰
+∞
+0
5
2.1
dx x x [1]P 324 E6
Ex [1]P 331—332 1，4，5.
⑶ 其他判敛法:
Abel 判敛法: 若)(x f 在区间) , [∞+a 上可积,)(x g 单调有界,则积分
⎰
+∞
a
dx x g x f )()(收敛.
Dirichlet 判敛法: 设⎰
=
A
a
f A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界，)(x
g 在) , [∞+a 上
单调,且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分
⎰
+∞
a
dx x g x f )()(收敛.
例6 讨论无穷积分⎰+∞
1sin dx x
x
p 与⎰+∞
1cos dx x x p ) 0 (>p 的敛散性.
例7 例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :
⎰+∞
1
2
sin dx x , ⎰
+∞
1
2
cos dx x ,
⎰+∞
1
4
sin dx x x . 例8 (乘积不可积的例) 设)(x f x
x sin =
, ∈x ) , 1 [∞+.由例6的结果,积分
⎰+∞
1
)(dx
x f 收敛.但积分
⎰
+∞
1
)()(dx x f x f ⎰+∞
=1
2sin dx x x
却发散.( 参阅例6 )