高等数学中求极限方法总结
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
高等数学极限求法总结
04 极限求法之洛必达法则
洛必达法则基本思想
利用导数求解极限
在一定条件下，通过分子分母分别求导的方式，简化极限运 算。
转化无穷大比无穷大型
对于0/0型或∞/∞型的极限，通过洛必达法则可转化为其他 类型进行求解。
适用条件及典型例题
适用条件
适用于0/0型和∞/∞型的极限，且分子分母 在求导后极限存在或为无穷大。
05 极限求法之泰勒公式法
泰勒公式基本概念及展开式
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个在闭区间上可导的函数展开成多项式 的形式。
泰勒展开式
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + ... + f^n(a)/n! * (x-a)^n + Rn(x)，其 中Rn(x)为余项。
适用于连续函数情况
连续函数定义
若函数在某点的极限值等于该点的函 数值，则称函数在该点连续。对于连 续函数，我们可以直接将其自变量代 入函数表达式来求解极限。
适用范围
直接代入法适用于一元和多元函数的 极限求解，但要求函数在求极限的点 是连续的。
注意事项及典型例题
注意事项：在使用直接代入 法求极限时，需要注意以下
该方法不需要复杂的数学变换和技巧，易于掌握。
缺点
直接代入法仅适用于连续函数的极限问题，对于非连续函 数或复杂函数可能无法求解。
在某些情况下，即使函数在求极限的点连续，直接代入也 可能导致分母为零等无法计算的情况，需要结合其他方法 进行处理。
03 极限求法之因式分解法
适用于多项式函数情况
0/0型极限
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学中的一个重要概念，常常用于研究各种复杂的数学问题。
在求解函数极限的过程中，有一些常用的技巧，可以使计算更加简洁、高效。
下面简要介绍一些常用的函数极限求法技巧。
一、分子分母同除分子分母同除是一种常用的技巧，可以化简分式，便于计算。
具体操作如下：假设要求的函数极限为：lim f(x) / g(x)当分子和分母都含有相同的项时，可以将它们同除以这个公共项，得到新的分式。
例如：将分子和分母都除以 (x+1) ，得到：这样就将原问题化简成了一个更简单的问题。
二、恒等式变形在计算函数极限时，可以通过运用一些基本恒等式进行变形，以使计算更加简单。
例如：1、三角函数的基本恒等式：sin^2 x + cos^2 x = 1这些恒等式可以用于化简三角函数的表达式，使计算更加简便。
2、指数运算的恒等式：a^x / a^y = a^(x-y)三、用等价无穷小代替函数极限中经常会涉及到等价无穷小的概念。
如果 lim f(x) = 0，lim g(x) = 0，且lim f(x) / g(x) = 1，那么就可以将 f(x) 用 g(x) 的等价无穷小代替，求解新的函数极限。
例如：可以用等价无穷小代替 sin x，得到：lim 1 / x = 0四、洛必达法则洛必达法则是一种用于求解 0/0 或∞/∞ 型无穷小的极限的方法，也是求导数时的基本工具。
该法则的核心思想是将原问题转化成一个求导数的问题，并通过对导数的求解来解决原问题。
具体操作如下：且在极限点 x0 处，f(x0) = 0，g(x0) = 0。
1、求出 f'(x0) 和 g'(x0)，如果两者都存在且g'(x0) ≠ 0，则原极限等于 f'(x0) / g'(x0)。
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0)其中 o(x-x0) 表示 x -> x0 时比 (x-x0) 高阶的无穷小量。
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【最新整理，下载后即可编辑】高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（2）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((3) A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理）(6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况： （1）“00”“∞∞”时候直接用(2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。
下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
高等数学 求极限方法小结及举例
11
x = f ′( t ) d2y 例 12 . f ′′( t ) ≠ 0 求 . 2 dx y = t f ′( t ) − f ( t ) d y y′( t ) f ′( t ) + t f ′′( t ) − f ′( t ) 解. = = =t d x x′( t ) f ′′( t )
2
t =π − x −1 2 t ========= lim t →0 cot t
tan t = − lim = −1 . t →0 t
"∞" ∞
例 7 . lim ( x ⋅ cot x )
x →0
x = lim =1. x →0 tan x
( 有界量乘无穷小 )
"0⋅ ∞"
lim x cos 1 = 0 . x x →0
4 . "∞ ± ∞" 型 ,
1 ± 1 = f ( x ) ± g( x ) . f ( x ) g( x ) f ( x ) ⋅ g( x )
5 . " ( 1 ± 0 ) ∞ " 型 , 0 " "0 型, u( x ) v ( x ) = e v ( x )⋅ln u( x ) 6. (指数型) " ∞0 " 型 , 7. lim [v ( x )⋅ln u( x ) ] v( x )
n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 x>0 x x f ′( x ) = 0 x=0 n x n −1 x<0 ′( x ) = lim n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 lim f x x x → +0 x →+0
高数中求极限的16种方法
千里之行，始于足下。
高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。
为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。
以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。
2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。
3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。
4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。
5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。
6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。
7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。
8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。
9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。
10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。
12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。
13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。
14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。
15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。
16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。
除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。
这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
函数极限的求法总结
函数极限的求法总结函数极限是高等数学中的一个重要概念，其在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
函数极限的求法相对而言较为复杂，但通过理解一些基本的求极限的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种极限问题。
下面将对函数极限的求法进行总结。
一、基本极限求法：1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，得到一个数值。
2. 分子分母都趋于0的极限：在计算分子分母同时趋于0的极限时，可以根据问题的具体形式进行化简，然后再求极限。
3. 有界函数的极限：有界函数的极限一般可以通过夹逼定理进行求解。
即通过构造两个函数，一个逼近于函数极限的上界，另一个逼近于函数极限的下界，然后利用夹逼定理求得函数的极限。
4. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质进行极限的推导和化简。
二、重要极限法则：1. 基本极限法则：(1) 常数函数极限：lim c = c，其中c是常数；(2) 幂函数极限：lim x^n = a^n，其中a是常数，n是正整数；(3) 正比例函数极限：lim kx = ka，其中k是常数；(4) 正比例函数的乘积极限：lim k*g(x) = k*lim g(x)，其中k是常数；(5) 正比例函数的商极限：lim [g(x)/h(x)] = lim g(x) / lim h(x)，其中h(x)≠0。
2. 极限的四则运算法则：(1) 和的极限：lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)；(2) 差的极限：lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)；(3) 积的极限：lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)；(4) 商的极限：lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0。
3. 乘积极限法则：lim [f(x) * g(x)] = (lim f(x)) * (lim g(x))，其中极限存在。
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（2）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((3)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理）(6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况： （1）“00”“∞∞”时候直接用 (2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
16种求极限的方法
16种求极限的方法 <网上找的仅供参考>首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
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高等数学中求极限方法总结
高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。
一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。
故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。
1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cos
sin lim 20→。
解：x x x x 1cos
sin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=x
x x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~
sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。
2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdt
x 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 2
1211
lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→x
x x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。
罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）
3、利用2个重要极限求极限例：求极限2)1
1(lim 22x x x x +−∞→解：211(lim 22x x x x +−∞→2)121(lim 2x x x +−+=∞→12212222])1
21[(lim +−−+∞→+−+=x x x x x 12lim 22+−∞→=x x x e 2−=e 。
例：求极限x x x )(sin lim 0+
→解：x x x )ln(sin lim 0+→=x
x x )ln(sin lim 0
+→=x x x 1sin ln lim 0+→=201sin cos lim x
x x
x −+→=x
x x x sin cos lim 20−+→=0故1)(sin lim 00
==+→e x x x .注：两个重要的极限分别为1sin lim 0=→x x x 和e x
x x =+∞→2)11(lim ，对第一个而言是X 趋近0时候的sinx 与x 比值。
第2个实际上如果x 趋近无穷大和无穷小都有对有对应的形式。
当底数是1的时候要特别注意可能是用第2个重要极限。
4、利用泰勒公式求解例：求极限x
arc x x cot )11ln(lim ++∞→解：x arc x x cot )11ln(lim ++∞→x
arc x x x cot ln )1ln(lim −+=+∞→1)1(1lim 11111lim 22
=++=+−−+=+∞→+∞→x x x x x x x x 注：在求解的题目中含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候考虑是否用泰勒公式先化简然后再求解，对题目简化有很好帮助。
5、利用四则运算求解极限例：求极限2321lim
4−−+→x x x 解：2
321lim 4−−+→x x x 34321)2(2lim )321)(2()321)(321(lim 44=+++=++−++−+=→→x x x x x x x x
例：求极限49
7132lim 227−−−→x x x x 解：49
7132lim 227−−−→x x x x )7)(7()7)(12(lim 7−+−+=→x x x x x x
x
x x
x )211(211(lim −+=∞→712lim 7++=→x x x .1415=6、面对无穷大比上无穷大形式的求解极限例：求极限50
30
20)12()23()302(lim ++−∞→x x x x 解：分子分母同时除以50x ，有
503020)12()
23()302(lim ++−∞→x x x x =50
3020)12()23()302(lim x
x x x ++−∞→=3050302023(2
32=注：取大头原则，最大项除分子分母，这类题目往往看上去复杂但处理起来很简单。
7、利用初等函数的连续性求极限
例：求极限x x cos ln lim 0
→解：01ln cos ln lim 0
==→x x 注：初等函数都是连续函数，连续函数在某点的极限就是在该点的函数值，故可以利用初等函数的连续性直接求解极限。
8、利用无穷小量的性质求极限例：求极限x
x x 1sin lim 0→解：因为1|1sin |≤x ，所以x
1sin 是有界函数，又0lim 0=→x x ，故01sin lim 0=→x
x x 注：无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
9.利用左右极限来确定分段函数在分界点处的极限
例：已知⎩⎨⎧>+≤+=0,
10,12)(2x x x x x f ，求极限)(lim 0x f x →解：因为1)1(lim )(lim 200=+=+→+→x x f x x ，
又1)12(lim )(lim 00=+=+
→−→x x f x x ，故)(lim 0
x f x →=1。
注：遇到分段函数求分界点处的极限时多采用此方法。
10.利用两边夹定理求极限例：求极限n n
n n n 1021lim ⋯++∞
→解：因为对所有的n=1,2,…,有
n n n n n n n n n n n 101010101010211010=++<++<=⋯⋯，又1010lim ,101010lim ==∞
→∞→n n n ，所以n n n n n 1021lim ⋯++∞
→=10注：此类方程常常用来求数列的界限，当然对于函数极限也是同样采用放缩和扩大的方法来求极限。
此外要注意在求函数极限时往往是多种方法同时使用而不是单纯的只使用一种方法，故只有多做练习，熟悉掌握各种方法才是关键。