1.1-1.2命题与联结词

例如“如果太阳从西边出来，我就不姓张”，这句话怎么 都对。

逻辑推理研究抽象推理，p与q可以无任何内在 联系。
等价联结词

定义2.5 设p、q为命题, 复合命题“p当且仅当q”称作p、 q的等价式, 记作p↔q, “↔”称作等价联结词。p↔q真当 且仅当p、q同时为真或同时为假. p q p↔q
请你构造出同时为真的两个句子。
一、命题
逻辑主要研究推理过程，而推理过程必 须依靠命题来表达。 在命题逻辑中，“命题”被看作最小单位。 数理逻辑中最基本、最简单的部分。

命题和联结词
1。什么是命题？ 命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。 命题是或为真或为假的陈述句。 特征： ������ 陈述句 ������ 真假必居其一, 且只居其一.

0 1 0 1
p∨q 0 1 1
1
例1。2的(2)可记为q∨t, 其中q代表“2是素数”, t代表“4 是素数”.
“相容或”与“相异或”

自然语言中“或”有两种标准用法, 例1.4 （P4）:

(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐. (2)张晓静只能挑选202或203房间. (3)张晓静是江西人或安徽人。

(1)为“相容或”，(2)(3)为“相异或”。 前者可表示为p∨q，后者却不能。 注意：不能见了或就表示为p∨q。
蕴涵联结词


定义4 设p、q为命题, 复合命题“如果p, 则q”称为 p对q的蕴涵式，记作p →q。 其中又称p为此蕴涵式的前件，称q为此蕴涵式的后 件，“→”称为蕴涵联结词。“p → q” 假当且仅 当p真而q假. p q
否定联结词

定义1：设p为一个命题, 复合命题“非p”称为p的 否定式，记为¬p， “¬”称为否定联结词.“¬p”为 真当且仅当p为假。
P 0 1 ¬p 1 0

例子1.2中，如果 p： 2是有理数，则（1）可表示 为¬p
合取联结词

定义2 设p、q为两个命题，复合命题“p而且q”称为p、q的 合取式，记为p∧q，“∧”称作合取联结词。p∧q真当且仅 当p与q同时真。
（知道问题）老师手中握有一副牌（黑桃5、4、8、J； 红心A、Q、4；方块A、5；梅花K、Q、5、4），我想好 一张牌，并将该牌的花色告述学生甲，将该牌的点数告 述学生乙。
甲说：我敢肯定你不知道这张牌。
乙说：那么我现在知道了。 甲说：那么我也知道了。 请问这张牌是什么牌？
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来
逻辑与计算机科学的联系
布尔电路：布尔逻辑。 程序语义与验证技术：Intel bug: 5亿美元。 程序的自动生成与转换。 SQL: 本质上等价于一阶逻辑。 Prolog语言：以逻辑演算为基础。 LISP语言：以λ 演算为基础。 人工智能：非单调推理，缺省推理。 信息安全 „„
计算理论：可计算性，Turing机，形式语言，自动机，计算复杂性。
0 0 1 1

0 1 0 1
1 0 0 1
(p → q) ∧(q → p) 与 p↔q 的逻辑关系一样。
注意

上述五个联结词来源于日常使用的相应词汇,但 并不完全一致，在使用时要注意：



以上联结词组成的复合命题的真假值一定要根据它 们的定义去理解, 而不能据日常语言的含义去理解。 不能“对号入座”，如见到“或”就表示为“∨”。 有些词也可表示为这五个联结词，如“但是”也可 表示为“∧”。
真值分别为T，T，F，T。
例：将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值： 以下命题中出现的a是一个给定的正整数：
1. 2. 3. 4. 5. 6.
只要a能被4整除，则a一定能被2整除。 a能被4整除，仅当a能被2整除。 除非a能被2整除，a才能被4整除。 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 只有a能被2整除，a才能被4整除。 只有a能被4整除，a才能被2整除。
§1.1 现代逻辑学
现代逻辑学求助数学——符号化 现代逻辑学追随数学——公理化
现代逻辑学改造数学——形式化
逻辑发展历史——三个阶段
初始阶段：1660年代—19世纪末将数学应用于逻辑 Aristotle：形式逻辑（主词和谓词逻辑）。 Leibniz：建立直观而又精确的思维演算。 George Boole: 逻辑代数。 De Morgan: 关系逻辑。 过渡阶段：19世纪末— 1940前后, 逻辑应用于数学 非欧几何与公理化方法。 微积分与实数理论，Piano算术。 集合论与数学基础(1900年世界数学家大会) 悖论与第三次数学危机，Hilbert计划。 成熟阶段：1930s — 1970年,成为数学的独立分支 四个分支： 公理集合论：大基数，连续统问题 递归论（可计算性理论）：Turing机，不可解性 模型论：实数的非标准模型 证明论：超穷归纳法, Gentzen的数论和谐性证明
应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋
子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶 是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三 个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己 头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都 摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把 灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，沉默几 秒后其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。”

（1）4是偶数且是2的倍数。 （2）武汉不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三边相等。
原子命题和复合命题

原子命题：不能分解为更简单的命题 复合命题：由简单命题通过联结词连接而成。

2 是有理数是不对的。
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
第一章 命题逻辑的基本概念
1.1命题与联结词
思考题
1 命题逻辑中有： 2 相传在古代有一个残酷的国王，为了不准别人进入 **是*** 他的领地而制定了一个法规：“凡进入者若讲真话则 **不是*** 杀头，若讲假话则淹死”。并要求士兵严格执行上述 两句话。 命令。一天，一个人进来说了一句话，导致士兵无法 例如，“高志华是讲师”和“高志华不是讲师”。 执行命令。请问这个人说了什么？ 若其中一句是正确的，那么另一句就一定是不正确的。
2是偶素数。 2或者4是素数。 如果2是素数，则3也是素数。 2是素数当且仅当3也是素数。
二、联结词



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上述诸如“不”、“如果· · ·则· · · ”等连词称为 联结词。 由联结词和命题连接而成的更加复杂命题称为 复合命题；相对地，不能分解为更简单命题的 命题称为简单命题。 复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真 假所决定。
例1 下列句子都是命题

4是素数。 5 是无理数。 火星上有水。 2050年元旦是晴天。
例2 下面的句子不是命题。

x大于y，其中x和y是任意的两个数。 疑问句 大于 2 吗？ 请不要吸烟！ 祈使句 这朵花真美丽啊！ 感叹句 我正在说谎话。
陈述句，悖论 自相矛盾的陈述 不是命题
第一部分 数理逻辑




逻辑学是研究思维规律和思维的形式结构的一 门学科 。 数理逻辑是研究推理的科学，它运用数学的方 法研究思维形式和规律，特别是研究数学中的 思维形式和规律。 本部分只介绍数理逻辑的两个主要部分：命题 逻辑和谓词逻辑。 数理逻辑的其他内容，如证明论、模型论、递 归论、公理集合论不在本课程范围。

？（思考）
运算优先级

约定

运算次序：( ) ¬ ∧ ∨ → ↔ 相同的运算符按从左至右的次序计算 圆括号的优先级别最高
例1.7

令p：北京比天津的人口多。 q：2＋2 ＝ 4。 r：乌鸦是白色的。 求下列复合命题的真值： (1) ((¬ p∧q)∨(p ∧ ¬ q))→r (2)(q∨r) →(p → ¬ r) (3)(¬ p∨r) ↔ (p ∧ r)
是陈述句，但其 真值可真可假， 不唯一
命题的抽象


以p、q、r等表示命题。 以1表示真，0表示假。 则命题就抽象为：取值为0或1 符号（p、q、r 等）。 若p取值1，则表示p为真命题； 若p取值0，则表示p为假命题；

现实生活中的各种论述和推理，出现的命题多 数比 例1 中的命题更加复杂：
例1.7

解：首先可知p，q，r的真值为1，1，0 于是（1）为 ((¬1 ∧ 1) ∨(1 ∧ ¬ 1)) →0 ((0 ∧ 1) ∨(1 ∧ 0)) →0 (0 ∨ 0) →0 0 →0 1 (1)的真值为1
p q
0 0 1 1

0 1 0 1
p∧q 0 0 0
1
例1。2的(2)可记为q∧r, 其中q代表“2是偶数”, r代表“2 是素数”.
析取联结词

定义2 设p、q为两个命题，复合命题“p或者q”称为p、q的 析取式，记为p∨q，“∨”称作析取联结词。 p∨q 假当且 仅当p与q同时假.
p q
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
p→q 1 1 0
1


蕴涵式有时也称为条件式，“如果p，那么q”， “若p，则q”，也称“q是p的必要条件” 作为推理“如果p则q”的形式化，显然有

p为1，q为0则p → q为0 p为1，q为1则p → q为1 但是当p为0时，无论q是0或1，p → q 都为1。

在今后我们主要关心的是命题间的真假值的关 系, 而不讨论命题的内容.

例1.5将下列命题符号化，并指出各复合命题 的真值： （1）如果3+3＝6，则雪是白的。 （2）如果3+3≠6，则雪是白的。 （3）如果3+3＝6，则雪不是白的。 （4）如果3+3≠6，则雪不是白的。
解：令 p：3+3＝6， p的真值为T。 q：雪是白色的，q的真值也为T。 (1)到(4)的符号化形式分别为： p→q，┐p→q，p→┐q，┐p→┐q。