专题04 几何证明之三角形中的旋转综合问题(原卷版)

专题04 几何证明之三角形中的旋转综合问题

1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．

（1）求证：PA＝PB；

（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．

（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？

2、（1）问题发现：

如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．

填空：①的值为；

②∠AMB的度数为．

（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

3、已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c满足

＝0．

（1）求△ABC的面积；

（2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）．

①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF

＝β，试用含α的代数式表示β；

②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交

AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S1，S2，试用含t的代数式表示S2﹣S1．

4、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．

（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；

（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．

①求DE的长；

②证明：BF⊥CE．

（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．

5、问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B

逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；

问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；

拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．

6、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．

（1）如图，旋转中心是，∠DAE＝°；

（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了度；

（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为．

7、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点

M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：

图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明：

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

8、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．

（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是．（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

9、如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将

△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．

（1）问题发现

当α＝0°时，＝；β＝°．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．

10、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，

CE的交点．

（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）

①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）

（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：

①当∠CAE＝90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．

11、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），

在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．

（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；

（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；

（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．