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二次函数与几何图形及运动问题

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专题六 二次函数与几何图形的综合

专题六 二次函数与几何图形的综合
∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;
若不存在,请说明理由.
+ + = ,
【解析】(1)由题意得:ቐ
−
= ,


= ,
解得ቊ
= −,
故抛物线的表达式为y=x2-5x+4①;
(2)对于y=x2-5x+4,令y=x2-5x+4=0,解得x=1或4,令x=0,则y=4,
= − +
= −
得:ቐ
,解得ቐ = ,
=
= + +
=
∴抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3;
(2)∵正方形OBDC,∴∠OBC=∠DBC,BD=OB,
∵BF=BF,∴△BOF≌△BDF,∴∠BOF=∠BDF;
(3)存在.∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,
设AB的中点为J,连接PJ,则J(-2,-2),

∴PJ= AB=2

,∴12+(n+2)2=(2 )2,解得n= -2或n=- -2,
∴P3(-1, -2),P4(-1,- -2),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-1,3)或(-1,-5)或(-1, -2)或(-1,- -2).
在Rt△BOM中,BM=tan 30°·OB= ,∴ME=BE-BM=2- ,
综上所述,ME的值为:3 -2或2- .
考点二直角三角形的存在性问题
解答二次函数中直角三角形存在性问题的方法:
(1)假设其存在,画出相应的图形.
(2)分情况讨论:当所给条件不能确定直角顶点时,应分情况讨论.分别令三角形三个

第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)

第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)

第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。

如何解答与二次函数有关的几何图形证明题

如何解答与二次函数有关的几何图形证明题

数学篇与二次函数有关的几何图形证明题通常较为复杂，需灵活运用数形结合思想，才能顺利解题.这类问题主要考查同学们综合运用二次函数和平面几何图形知识的能力.下面结合几个例题，探讨一下如何求解与二次函数有关的几何图形证明题.一、证明直线平行在解答与二次函数有关的几何图形证明题时，经常会遇到证明两条线段或直线平行的题目，要先根据二次函数的解析式和图象来确定直线上点的坐标，以确定两条直线的位置；然后结合两直线平行的判定定理：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，则两条直线平行，来证明两条直线平行.例1如图1所示，点P 是双曲线y =k 1x上的一动点（x <0，k 1<0），过点P 作y 轴和x轴的垂线，分别交y 轴和x 轴于B 、A 两点，且和双曲线y =k 2x交于F 、E 两点（0<k 1<k 2）.（1）图1中的四边形FOEP 的面积S 1为？（用k 1、k 2表达）（2）图2中，设P 点坐标为（-4,3），求证EF 和AB 平行.图1图2解：（1）略；（2）由题可得E （-4，-k 24），F （k 23，3），∴PA =3，PE =3+k 24，PB =4，PF =4+k 23，∴PA PE =33+k 24=1212+k 2，PB PF =44+k 23=1212+k 2，∴PA PE =PB PF ，又∵∠BPA =∠FPE ，∴△BPA ∽△FPE ，∴∠BAP =∠FEP ，∴EF ∥AB .二、证明三角形全等解答与二次函数有关的全等三角形证明题，大多需要先设出未知数，如二次函数的解析式、点的坐标、角的度数等，并根据二次函数的解析式建立这些未知数之间的关系式，求得两个三角形的边长、内角的大小；再利用勾股定理以及全等三角形的判定定理进行解题.例2如图3所示，在直角坐标系中，正方形CBAO 的边长为2，O 为坐标原点，A 点落在x 轴的正半轴上，C 点落在y 轴的正半轴上.一条抛物线以D 点为顶点并且经过A 点，其中D 点为OC 的中点.（1）求此抛物线的解析式；（2）正方形CBAO 的对角线BO 和抛物线相交于E 点，并且FG 经过E 点且和x 轴垂直，并且交x 轴于F 点，交BC 于G 点.请证明EG 和OB 的长度关系；（3）点H 为抛物线上在正方形CBAO 中的任意一点，线段I J 过点H 和x 轴垂直，并且交x 轴于点I ，交BC 于点J ，点K 在y 轴的正半轴上，并且OH =OK ，求证△IHO ≌△CKJ.图3学思导引如何解答与二次函数有关的几何图形证明题江苏省如皋初级中学杨扬30数学篇解：（1）由题意可得，抛物线的解析式是y =ax 2+b ，把D 点的坐标（0,1）以及A 点的坐标（2,0）代入解析式，便可得出a =-14，b =1.∴抛物线解析式为y =-14x 2+1（2）首先设E 点的坐标为（m ,m ）（0<m <2），因为E 点在正方形CBAO 的对角线BO 上，同时也在抛物线上，由此可得m =-14m 2+1.∴m 1=22-2，m 2=-22-2（舍去）.∴EO =2m =4-22，∴EG =GF -EF =2-m =2-22+2=4-22.∴OE =EG .（3）设点H 的坐标为(p ,q )(0<p <2,0<q <1).∵点H 在抛物线y =-14x 2+1上，∴p 2=4-4q ，∵OH 2=OI 2+HI 2=p 2+q 2=4-4q +q 2=(2-q )2，∴OH =2-q ，OK =OH =2-q ，∴CK =2-(2-q )=q =IH ，∵CJ =OI ，∠HIO =∠JCK =90°，∴△IHO ≌△CKJ .三、证明特殊四边形解答与二次函数有关的特殊四边形证明题，需先根据二次函数的解析式求得四边形各个点的坐标，根据两点间的距离公式求得四边形的边长，并结合二次函数的图象确定各个点的位置；然后根据两直线平行的判定定理判定四边形的对边是否平行，若四边形的对边平行且相等，则该四边形为平行四边形；若该四边形的四条边相等，邻边互相垂直，且对角线互相垂直，则该四边形为正方形；若该四边形的四条边相等，对角线互相垂直，则该四边形为菱形.例3如图4，在直角坐标系xOy 中，点P 是函数y =14x 2在第一象限内的任意一点，A点坐标是（0，1），直线l 交y 轴于点B（0，-1）且和x 轴平行，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点C ，交直线l 于点Q ，连接QA 交x 轴于点H ，直线PH 交y 轴于R .（1）求证点H 是AQ 的中点；（2）求证四边形RQPA 是平行四边形；（3）证明平行四边形RQPA 是菱形.图4解：（1）已知A （0,1），B （0，-1），∴OA =OB ，又∵BQ 和x 轴平行，∴HQ =HA ，由此可得H 是AQ 的中点.（2）根据（1）可知AH =QH ，∠RHA =∠QHP ，∵PQ ∥AR ，∴∠HAR =∠HQP ，∴△HAR ≌△HQP ，∴AR =PQ ，∴四边形RQPA 是平行四边形.（3）设P 的坐标为（m ，14m 2），∵PQ 和y 轴平行，可得Q （m ，-1），PQ =1+14m 2,过P 作PG 垂直于y 轴，垂足为G ，在Rt△GPA 中，AP =AG 2+PG 2===14m 2+1=PQ .RQPA 是菱形.总之，解答与二次函数有关的几何图形证明题，需能够将所学的函数知识、平面几何知识等融会贯通起来，通过数形结合，将问题转化为几何图形的长度、角度问题，以及直线和图形的位置关系问题.学思导引31。

二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版

二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版

二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。

专题二次函数与几何图形

专题二次函数与几何图形

yA xB OCD 专题：二次函数与几何图形 一、二次函数与平行四边形1．已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值；(3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求点M 的坐标.2．已知一次函数1y x =+的图像和二次函数2y x bx c =++的图像都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式；（2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积； （3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点 的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标.二、二次函数与相似三角形3.如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标； （2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014徐汇区】12345-1-1-2123456xyO 图8xyOO NC MBA4.已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。

（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区） （2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。

初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决

初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决

初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决动点问题一直是初中热点，近几年往往考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

今天老师针对初中数学的二次函数及动点问题整理了这篇文章，并通过中考真题的详细讲解让同学们掌握所有知识点。

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动点问题题型方法归纳总结动态几何特点——问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）共同点：1.特殊四边形为背景2.点动带线动得出动三角形；3.探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；4.求直线、抛物线解析式；5.探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用 t 表示，在讨论分析R t△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。

点评：此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1,2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的事在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的 t 值与题目中的0＜t＜1矛盾，应舍去点评：这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

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除以上内容，老师还整理了关于初中数学各模块题型的精讲，上面展示的题型库+配套练习，课堂中关于如何学好数学的视频课，希望你们认真领会并按照课程中所讲坚持下去，必见成效。

2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)

2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)

热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。

此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。

只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。

二次函数与几何图形结合题及问题详解

二次函数与几何图形结合题及问题详解

1.如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标;（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45o∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45o过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3……………………………………………………………………………5分∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分 2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）…………………1分∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B(4,5)∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分（2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5)∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数223y x x =--∴设点E(t ， t+1),则F （t ，223t t --）………………………5分∴EF= 2(1)(23)t t t +---………………………………………6分 =2325()24t --+∴当32t =时，EF 的最大值=254∴点E 的坐标为（32，52）………………………………7分 （3）①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F 的坐标（32，154-）,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行 = S BEF V + S DEF V=12531253(4)(1)242242⨯-+⨯- =758 ………………………………………………10分 ②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,223m m --)则有：25232m m --= 解得:1226m =－,2226m += ∴12265(,)2p －, 22265(,)2p + ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，223n n --）则有：215423n n --=- 解得：112n = ，232n =（与点F 重合，舍去） ∴3P 11524（，－） 综上所述：所有点P 的坐标：12265(,)2p －，22265(,)2p +3P （11524（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分3.如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，－2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D.若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（1）∵c bx x y ++=2的顶点为C （1，－2），∴2)1(2--=x y ，122--=x x y ． ……………2分（2）设直线PE 对应的函数关系式为b kx y +=由题意，四边形ACBD 是菱形.２６题备用图故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M ． ………3分由P (0，－1)，M （1，0），得⎩⎨⎧=+-=01b k b ．从而1-=x y ， …5分设E (x ，1-x )，代入122--=x x y ，得1212--=-x x x ．解之得01=x ，32=x ，根据题意，得点E (3，2) …………………………………7分．4如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为Q （2，－1）∴设()122--=x ay 将C （0，3）代入上式，得()12032--=a1=a ∴()122--=x y ， 即342+-=x x y …（3分）（2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)令y =0, 得0342=+-x x解之得11=x , 32=x∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0) （5分）②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)∵OA=OC, ∠AOC=ο90, ∴∠OAD 2=ο45当∠D 2AP 2=ο90时, ∠OAP 2=ο45, ∴AO 平分∠D 2AP 2又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称设直线AC 的函数关系式为b kx y +=将A(3,0), C(0,3)代入上式得⎩⎨⎧=+=b b k 330, ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴3+-=x y ……………（7分） ∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴(3+-x )+(342+-x x )=0 0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=－1 ∴P 2的坐标为P 2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,－1) …………………………………………………（9分）(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………（10分）当点P 的坐标为P 2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形∵P(2,－1), ∴可令F(x ,1)∴1342=+-x x 解之得: 221-=x , 222+=x ∴F 点有两点,即F 1(22-,1), F 2(22+,1) ……………（13分）3. （2011，25，10分）如图，抛物线212y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上.(1)求a 的值；(2)求A ,B 两点的坐标;(3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,则点D 关于x 轴的对称点D ´是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

二次函数在几何图形中的应用

二次函数在几何图形中的应用

15 7 r r 1 1 设窗户的面积为 S，则 S＝ π r2＋2ry＝ π r2＋2r× ＝－3.5r2＋7.5r， 2 2 4
因为－3.5＜0，所以 S 有最大值。 －（7.5）2 7.5 当 r＝－ ≈1.07（m）时，S 最大值＝ ≈4.02（m2）。 2×（－3.5） 4×（－3.5） 即当半径约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为 4.02m2。 点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二 次函数的关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和 函数，推导出函数关系式，再求出相应最值。 三、 二次函数与几何图形的实际应用 首先，能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。其次，会利用二次函数解决与几 何图形相关的实际应用问题。建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时， 关键是找出三角形或四边形的高，用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长 与高之间的关系不明显时，常常把几何图形分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题 转化。 例题 3 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为 AB（单位：米），现以 AB 所在
二次函数在几何图形中的应用 一、 二次函数与三角形的综合应用 在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其 面积是这一边长的二次函数。 例题 1 如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形 ABCD，其中 ） B. 3m C. 2m D. 5 m 2
AB 和 BC 分别在两直角边上， 设 AB＝x m， 长方形的面积为 y m2， 要使长方形的面积最大， 其边长 x 应为（ A. 4m
料总长（图中所有黑线的长度和）为 15m．当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最 多？（结果精确到 0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到 0.01m2）

二次函数与几何图形综合训练题精选(含19题)

二次函数与几何图形综合训练题精选(含19题)

二次函数与几何图形综合训练题精选（含19题）1．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（3，0）两点，动点D 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AC方向运动，以AD为边作矩形ADEF（点E在x轴上），设运动的时间为t秒．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的表达式；（2）过点D作DN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当t＝时，求点M的坐标；（3）如图2，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA方向运动，以BP为边作等腰直角三角形BPQ（∠BPQ＝90°），EF与PQ交于点G．给出如下定义：在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，当矩形ADEF和等腰三角形BPQ重叠的四边形是“筝形”时，求“筝形”的面积．2．如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y＝mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM＝，直接写出l，P表示的函数解析式．3．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点，直线DF为该抛物线的对称轴，连接线段AC，∠CAB的平分线AE交抛物线C1于点E．（1）求抛物线C1的表达式；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，将原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线C2，在射线AE上取点Q，连接CQ，将射线QC绕点Q逆时针旋转120°交抛物线C2于点P，当△CAQ为等腰三角形时，求点P的横坐标；（3）如图2，将抛物线C1沿一定方向平移，使顶点D′落在射线AE上，平移后的抛物线C3与线段CB相交于点M、N，线段CB与DF相交于点Q，当点Q恰好为线段MN 的中点时，求抛物线C3的顶点坐标．4．如图抛物线y＝﹣x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M 作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM+MN+NF的最小值；（2）如图2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，P A交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连接NF，求证：NF∥y轴．6．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G 面积最大时点G的横坐标；（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C（0，5），点D是该抛物线上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是线段AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN，设点P的坐标为（t，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若点Q在线段AD上时，延长PQ与抛物线交于点G，求t为何值时，线段QG最长；（3）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求P点坐标，若不存在，请说明理由；（4）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．8．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．10．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点在直线上，且过点A（4，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OP AB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD﹣CD|的值最大，请直接写出点D的坐标．11．已知抛物线过点（8，0），（1）求m的值；（2）如图a，在抛物线内作矩形ABCD，使点C、D落在抛物线上，点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；（3）如图b，抛物线的顶点为E，对称轴与直线y＝﹣x+1交于点F．将直线EF向右平移n个单位后（n＞0），交直线y＝﹣x+1于点M，交抛物线于点N，若以E、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求n的值．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；（2）点E是线段BC上方抛物线上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC 的面积分为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD 的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B．（1）求点A，点B的坐标及AB的长；（2）已知M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以点M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n．①求n随m变化的函数解析式；②若点E（﹣k﹣1，﹣k2+1）在抛物线y＝﹣x2+x+4上，且点E不在坐标轴上，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点E？17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O（0，0），A（﹣1，﹣），B（﹣3，）三个点．（1）求抛物线解析式；（2）若点P（﹣4，p），Q（t，q）为该抛物线上的两点，且q＜p．求t的取值范围．（3）在线段AB上是否存在一点C（不与点A，点B重合），使点A，点B到直线OC的距离之和最大？若存在，求∠BOC的度数，并直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB＝1：5，OB＝OC，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）点P（2，﹣3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F．以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．第11页（共11页）。

二次函数与几何图形相结合训练试题

二次函数与几何图形相结合训练试题

二次函数与几何图形相结合训练试题一、与三角形形状问题 1.1.如图，直线如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,03,0））. ⑴ 求抛物线的解析式求抛物线的解析式; ;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△，使△ABQ ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由点坐标；若不存在，请说明理由. .2.如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．三点的抛物线的解析式．（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．与抛物线的交点坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ，c 的值；的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；的坐标； （3）在（2）的条件下：）的条件下：①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．的坐标；若不存在，说明理由．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=a （x+1）2+c （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为M ，若直线MC 的函数表达式为y=kx-3，与x 轴的交点为N ，且cos ∠BCO=10103． （1）求此抛物线的函数表达式；）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q ．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？个单位长度？5.如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．）求抛物线的解析式；（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；坐标；（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．直接写出所有符合条件的值．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．）求抛物线的解析式；（1）求抛物线的解析式；的坐标；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．EN MDCBAOyx2.二次函数与四边形1.1.已知抛物线已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)(-1,0)，与，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴ 直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；的坐标； ⑵ 当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；上时，求抛物线的解析式；⑶ 坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4)，抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m=´-+ ∴∴16m =-∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+（2）在Rt △ABO 中，OA =3=3，，OB =4=4，∴，∴225AB OA OB =+=∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD =DA =AB =5 =5 （（5分）分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（两点的坐标分别是（55，4）、（2，0）． （（6分）分）当5x =时，2210554433y =´-´+= 当当2x =时，2210224033y =´-´+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上．（7分）分）（3）设直线C:y kx b =+，则5420k b k b +=ìí+=î解得：48,33k b ==-．∴4833y x =- （（9分）分）∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，（10分）分）∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t æö=-=---+=-+-=--+ç÷èø∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）．（12分）分） 3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点．三点． （1）求此抛物线的函数表达式；）求此抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为27？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m ，则OB=OC=5m ，AB=6m ，由△ABC =AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值）， ∴A （﹣1，0），B （5，0），C （0，﹣5）， 设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣5），将C 点坐标代入，得a=1， ∴抛物线解析式为y=（x+1）（x ﹣5），即y=x 2﹣4x ﹣5； （2）设E 点坐标为（m ，m 2﹣4m ﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（m ﹣2）=EH ，得2（m ﹣2）=﹣（m 2﹣4m ﹣5）或2（m ﹣2）=m 2﹣4m ﹣5，解得m=1±或m=3±， ∵m ＞2，∴m=1+或m=3+，边长EF=2（m ﹣2）=2﹣2或2+2；（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，∴△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 解析式为y=x ﹣5，依题意，直线y=x+9或直线y=x ﹣19与BC 的距离为7，联立，，解得或，∴M 点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．4.如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+¹经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．的长． 解：（1）抛物线2(1)33(0)y a x a =-+¹经过点(20)A -，，309333a a \=+\=-\二次函数的解析式为：232383333y x x =-++ （2）D 为抛物线的顶点(133)D \，过D 作DN OB ^于N ，则33DN =，222233(33)660AN AD DAO =\=+=\Ð=，°OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形是平行四边形 66(s)OP t \=\=②当DP OM ^时，四边形DAOP 是直角梯形是直角梯形过O 作OH AD ^于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO Ð=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t \===③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t \=-=-=\=xyM CDPQO AB xyM CDPQO AB N E H综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB Ð==°，，△是等边三角形是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====\=-<<，，，过P 作PE OQ ^于E ，则32PE t =113633(62)222BCPQ S t t \=´´-´-´=233633228t æö-+ç÷èø 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338\此时3339333324444OQ OP OE QE PE ==\=-==，=， 222233933442PQ PE QE æöæö\=+=+=ç÷ç÷ç÷èøèø三.能力提升1.如图，抛物线y=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．的值．解：（1）把点A （﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x 2+bx ﹣2， 整理后解得，所以抛物线的解析式为．（2分）分）顶点D；（3分）分） （2）AB=5．AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形．（6分）分）（3）作出点C 关于x 轴的对称点Cʹ，则Cʹ（0，2），OCʹ=2． 连接CʹD 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E ，△CʹOM ∽△DEM ．∴，∴， ∴m=．（10分）分）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、直角三角形的性质及判定、直角三角形的性质及判定、轴对称性轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形． 2.2.如图（如图（如图（11），矩形ABCD 的一边BC 在直角坐标系中x 轴上，折叠边AD,AD,使点使点D 落在x 轴上点F 处，折痕为AE AE，已知，已知AB=8AB=8，，AD=10AD=10，并设点，并设点B 坐标为（坐标为（m,0m,0m,0）），其中m ＞0.（1）求点E 、F 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）连接OA OA，若△，若△，若△OAF OAF 是等腰三角形，求m 的值；的值；（3）如图（2），设抛物线y=a(x y=a(x－－m －6)2+h 经过A 、E 两点，其顶点为M ，连接AM AM，，若∠若∠OAM=90OAM=90OAM=90°，°，求a 、h 、m 的值的值. .解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴是矩形，∴AD=BC=10AD=BC=10AD=BC=10，，AB=CD=8AB=CD=8，∠，∠，∠D=D=D=∠∠DCB=DCB=∠ABC=90°.∠ABC=90°.∠ABC=90°. 由折叠对称性：AF=AD=10AF=AD=10，，FE=DE.FE=DE.在在Rt Rt△△ABF 中，BF=22221086AF AB -=-=.∴FC=4. 在Rt Rt△△ECF 中，42+（8-x 8-x））2=x 2，解得x=5.x=5.∴∴CE=8-x=3.CE=8-x=3.∵∵B （m ，0）,∴E(m+10,3),F （m+6,0m+6,0））. （2）分三种情形讨论：）分三种情形讨论：若AO=AF AO=AF，∵，∵，∵AB AB AB⊥⊥OF OF，∴，∴，∴OB=BF=6.OB=BF=6.OB=BF=6.∴∴m=6. 若OF=AF OF=AF，则，则m+6=10m+6=10，解得，解得m=4.若AO=OF AO=OF，在，在Rt Rt△△AOB 中，中，AO AO 2=OB 2+AB 2=m 2+64+64，， ∴（∴（m+6m+6m+6））2= m 2+64+64，解得，解得m=73. 综合得m=6或4或73. （3）由（）由（11）知A(m,8)A(m,8)，，E(m+10,3).依题意，得22(6)8(106)3a m m h a m m h ì--+=ïí+--+=ïî，解得1,41.a h ì=ïíï=-î ∴M （m+6m+6，﹣，﹣，﹣11）.设对称轴交AD 于G. G. ∴∴G （m+6,8m+6,8）），∴，∴AG=6AG=6AG=6，，GM=8GM=8－（﹣－（﹣－（﹣11）=9. ∵∠∵∠OAB+OAB+OAB+∠BAM=90°，∠∠BAM=90°，∠∠BAM=90°，∠BAM+BAM+BAM+∠MAG=90°，∠MAG=90°，∠MAG=90°， ∴∠∴∠∴∠OAB=OAB=OAB=∠∠MAG.又∵∠又∵∠ABO=ABO=ABO=∠MGA=90°，∠MGA=90°，∠MGA=90°， ∴△∴△∴△AOB AOB AOB∽△∽△∽△AMG. AMG. AMG. ∴∴OB AB MG AG =，即896m =. . ∴∴m=12. 3.如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由． 解：解： (1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =090 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ·=2∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴49=AO 3=OC∴OB 4932=∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得三点坐标代入得3127312++-=x x y(3) ①OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题

函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。

类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。

二次函数与几何综合(习题及部分答案)

二次函数与几何综合(习题及部分答案)

二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．yA OB xC第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．1第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S△ACP的最大值，分析A，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即-3＜x P＜0；（2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S△ACP．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以A，B，E，F 为顶点的四边形中，A，B 为定点，E，F 为动点，定点A，B 连接成为定线段AB．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条yA Q OB xPC23件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足 EF ∥AB 且 EF =AB ，要找 EF ，可借助平移．点 E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段 AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点 E 在对称轴上，来找抛物线上的点 F ．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上 E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上 F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足 AB ， EF 互相平分，先找到定线段 AB 的中点，在旋转过程中找到 EF 恰好被 AB 中点平分的位置，因为 E 和 AB 中点都在抛物线对称轴上，说明 EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为 F 点坐标．画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形． 【过程示范】（3）①当 AB 为边时，AB ∥EF 且 AB =EF ， 如图所示，设 E 点坐标为(-1，m )， 当四边形是□ABFE 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 1(3，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 1(3，12)；当四边形是□ABEF 时，由 A (-3，0)，B (1，0)可知，F 2(-5，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 2(-5，12)．②当 AB 为对角线时，AB 与 EF 互相平分， AB 的中点 D (-1，0)，设 E (-1，m )，则 F (-1，-m )， 代入抛物线解析式，可得，m =4， ∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)．结果验证：➢巩固练习1.如图，直线y =-1x 与抛物线y =-1x2 + 6 交于A，B 两点，2 4C 是抛物线的顶点．（1）在直线AB 上方的抛物线上有一动点P，当△ABP 的面积最大时，点P 的坐标为．（2）若点M 在抛物线上，且以点M，A，B 以及另一点N 为顶点的平行四边形ABNM 的面积为240，则M，N 两点的坐标为．yCBO xAyCBO xA42.已知抛物线y=-mx2+4x+2m 与x 轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且1+1=-2 ．抛物线的对称轴为直线l，与y 轴的交点为点αβC，顶点为点D，点C 关于l 的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为．（2）连接CD，在直线CD 下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G 的坐标为．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 的坐标为．53.已知抛物线y=ax2-4ax+b 的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q，使△BCQ 与△BCP 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是抛物线上一动点，点F 是x 轴上一动点，是否存在以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．64.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b 与y 轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，点Q 是抛物线对称轴l 上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．75．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．6．已知关于二次函数y＝x2﹣（4k+2）x+4k2+3k的图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若二次函数与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），并满足（a﹣b）2＝2，求k的值，并写出二次函数的表达式；（3）如图所示，由（2）所得的抛物线与一次函数y＝﹣3x +的图象相交于点C、点D，求三角形CDP的面积．7．如图1，二次函数y＝a（x2﹣x﹣6）（a≠0）的图象过点C（1，﹣），与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），且A，C两点关于正比例函数y＝kx（k≠0）的图8象对称．（1）求二次函数与正比例函数的解析式；（2）如图2，过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D，连接AC，交正比例函数的图象于点E，连接AD，CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ，QE，PE，设运动时间为t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分别平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE＝∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．9．小明在学习时遇到这样一个问题：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，9b，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函2数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函1数y ＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C （0，4）（1）求抛物线的解析式．（2）点P为抛物线上一动点，满足S△PBC ＝S△ABC，求P点的坐标．（3）点D为抛物线对称轴上一点，若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标n的取值范围．1012．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x ＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（4）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．13．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为．（2）如图1，点P为直线y＝﹣2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y＝3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，11①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a 的取值范围．14．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D （x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E 的坐标；（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q 关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．1215．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2﹣x﹣2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．（1）判定△ABC的形状；（2）在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤90°），∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一13点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM 平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B 1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1415。

二次函数的实际应用解答题专项练习(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(人教版)

二次函数的实际应用解答题专项练习(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(人教版)

二次函数实际应用解答题专项训练类型一：几何图形的面积问题类型二：销售中的利润问题类型三：抛物线形的形状问题类型四：抛物线形的运动轨迹问题类型一：几何图形的面积问题1．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2．（1）若要围成面积为63m2的花圃，则AB的长是多少？（2）求AB为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．2．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？3．如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．（1）请用含x的代数式表示BC．（2）设矩形ABCD的面积为S．①求出S关于x的函数表达式．②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？4．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．5．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．（1）分别用含x的代数式表示BC与S；（2）若S＝54，求x的值；（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？6．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2．（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．7．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH 与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．8．小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．（1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值；（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3．①求MF，FN的长；②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值．9．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：（1）【理解探究】已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ；（2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；（3）【拓展升华】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M 从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，请直接写出△MCN的面积最大值．10．综合与实践，研究小组想利用在前面的空地围出一个，矩的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最类型二：销售中的利润问题11．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件．（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出出变量取值范围；（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．12．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？13．某文具商店用销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒40元的价格销售，平均每天销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为x（x＞40）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式： ．（2）求W与x之间的函数关系式．（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？14．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出 件；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．15．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小柳按照政策投资销售本市生产的一种网红螺蛳粉．已知这种网红螺蛳粉的成本价为每箱80元，出厂价为每箱100元，每月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+400．（1）小柳在开始销售的第1月将螺蛳粉的销售单价定为120元，这个月他销售该螺蛳粉可获利 元．（2）设小柳销售螺蛳粉获得的月利润为w（元），当销售单价为多少元时，月利润最大，最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种网红螺蛳粉的销售单价不得高于150元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？16．某商场某商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元．设售价为x元/件（x为正整数），每星期销售量为y件，每星期销售利润为W元．（1）直接写出y与x，W与x的函数解析式以及自变量x的取值范围；（26000元，那么该商品的售价是多少？（3）当该商品的售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？17．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）24 (10)市场需求量q（百千克）1210 (4)当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．18．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？19．端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店以15元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近A，B，C，D，E五个食品店近期该种粽子的售价与日销量情况．【数据整理】将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；【拓广应用】（2）①要想每天获得198元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？20．某农户在30天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量y1（件）与时间x（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量y2（件）与时间x（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．销售时间x（天）0102030日销售量y2（件）07510075（1）写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）试确定线下店铺日销售量y2与x的函数关系式并求出线下店铺日销售量y2的最大值；（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为20元，在抖音平台销售该农产品每件利润为30元，设该农户销售农产品的日销售总利润为w，写出w与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总利润w最大，并求出此时最大值．类型三：抛物线形的形状问题21．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度AB为8米，棚顶最高点距离地面高度OC为4米．以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若借助横梁DE（DE∥AB）在大棚正中建一个2米高的门（DE到地面AB的距离为2米），求横梁DE的长度是多少米？（结果保留根号）22．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平而直角坐标系．已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．23．如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度AB为2m，长廊顶部的最高点与地面的距离CD为3m，两侧的柱子OA、BE均垂直于地面，且高度为2.5m，线段OE表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离A，B两端水平距离为0.5m处的抛物线型长廊顶部各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少2.6m的安全距离，现市面上有一款长度为0.2m的小灯笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．24．如图1某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B 到水面的距离是4m．（1）按如图1所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式；（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？（3）如图2，桥拱所在的函数图象的抛物线的x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之间，且y随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．25．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点．（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．26．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，则这条桥主桥拱的半径是　m；（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．27．开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米．（1）求这条抛物线的解析式；（2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；（3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围．28．根据以下素材，探索完成任务．）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部上，根支DE根中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架上升（接问题解决29．综合与实践主题：设计高速公路的隧道高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车，车货总高度从地．为了保证行驶的安全，货车右侧某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线3.5）与隧道两侧的距离类型四：抛物线形的运动轨迹问题30．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为y（m），水流与OA之间的水平距离为x（m），y 与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置OA高度为3.5米，水流最高处离喷水装置OA的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米．（1）求水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式；（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处，才不会被喷出的水流击中？31．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02 2.53 3.54竖直高度y/m00.80.8750.90.8750.8根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．32．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为3m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至4m，则水管OA的高度增加多少米？33．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A 和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．34．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点O 的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间近似满足二次函数关系．比赛中，甲同学某次发球时如图1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度y 与此时水平距离x 的对应七组数据如下：水平距离x /m23 3.54 4.556…竖直高度y /m3.444.15 4.2 4.154 3.4…根据以上数据，回答下列问题：（1）①当羽毛球飞行到最高点时，距地面 m ，此时水平距离是 m ；②在水平距离5m 处，放置一个高1.55m 的球网，羽毛球 　（填“是”或“否”）可以过网；（2）求出y 与x 的函数解析式；（3）若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为7m 的点Q 处接住球（如图2）．此时如果乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m ）与水平距离x （m ）近似满足一次函数关系y ＝0.4x +m ．如果乙选择吊球，羽毛球的飞行高度 y （m ） x （m ） 近似满足二次函数关系y ＝n （x ﹣6）2+3.2．上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到O 点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适．35．如图1，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为y轴建立如图2所示直角坐标系．已知中间立柱顶端C到地面的距离为6m，喷水头D恰好是立柱OC的中点．若水柱上升到最高点E时，高度为4m，到中间立柱的距离为1m．（1）求图2中第一象限内抛物线的函数表达式．（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？（3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成7m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．36．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E（﹣1.5，﹣10），运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A（1，1.25），正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．（1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，入水点恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点B的正前方M，N两点，且EM＝10.5，EN＝13.5，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k且顶点C距水面4米．若该运动员的出水点D在MN之间（含M，N两点），求a的取值范围．。

二次函数与几何应用

二次函数与几何应用

二次函数与几何应用一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数是一种重要的数学函数，在几何学中有广泛的应用。

1. 定义与图像特点二次函数的图像通常呈现为一条开口朝上或朝下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

图像的对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为V(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 零点与根的关系二次函数的零点即为函数f(x) = 0的解，即满足ax^2 + bx + c = 0的x值。

零点与二次函数的根的关系为：当函数有两个不同的实根时，抛物线与x轴相交于两个不同的点；当函数只有一个实根时，抛物线与x 轴相切于一个点；当函数没有实根时，抛物线不与x轴相交。

二、几何应用二次函数在几何学中有多种应用，下面分别进行介绍。

1. 抛物线的应用抛物线是二次函数的图像，它在几何学中广泛应用于诸多问题的求解。

比如，在物理学中，抛物线可以用于描述抛体运动的轨迹。

当一个物体做抛体运动时，在重力的作用下，它沿着抛物线的轨迹运动。

抛物线方程可以帮助我们计算运动物体在不同时间和位置的速度、加速度等信息。

2. 最值问题二次函数可以用来解决最值问题，即找出函数在一定范围内的最大值或最小值。

抛物线的对称轴和顶点是解决最值问题的重要工具。

通过求二次函数的导数，找到导数为0的点，即可确定函数的极值点。

通过对极值点的讨论，可以确定函数的最大值或最小值。

3. 面积计算二次函数与几何图形的面积计算也有密切关联。

例如，在计算梯形或三角形的面积时，可以利用二次函数的图像。

将二次函数与x轴围成的图形，可以通过积分的方法计算其面积。

4. 曲线和直线的交点二次函数可以与直线相交于一个或两个点，这个交点的坐标可以通过联立方程求解得到。

这在几何学中经常用于求解二次函数与直线的交点坐标。

5. 平移与缩放对二次函数进行平移和缩放也是几何应用的一部分。

二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练

二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练

二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。

二次函数与几何图形

二次函数与几何图形

A 0 二次函数与几何图形一、1、线段的和差最值问题例题：已知在抛物线的对称轴上存在一点 △P ，使得 PBC 的周长最小，请求出点 P 的坐标 .2、抛物线与几何图形的面积问题例 1:已知抛物线 y=－x2+2x+3 与 x 轴交于 A,B 两点，其中 A 点位于 B 点的左侧，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P练习、如图所示，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交于两点 （x1， ） B （x2，0）（x1<x2）与 y 轴负半轴相交于点 C ，若抛物线顶点 P 的横坐标是 1，A 、 B 两点间的距离为 4，且△ABC 的面积为 6。

（1）求点 A 和 B 的坐标 （2）求此抛物线的解析式 （3）求四边形 ACPB 的面积变式（4）在抛物线上（除点 C 外）， 是否存在点 N ，使得 △S NAB = S△ABC， 若 存在，求出点 N 的坐标， 若不存在，请说明理由。

变式（5）设 M （a ，b ）（其中 0<a<3）是抛物线上的一个动点，试求四边形 OCMB 面积的最大值，及此时点 M 的坐标。

练习 2:运动中的面积问题在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点 P 沿 AB 边从点 A 出发向 B 以 2cm/秒的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向 A 以 1cm/秒的速度移动。

如果 P 、Q 同时 出发，用 t 秒表示移动的时间（0＜t ＜6）那么： (1)设运动开始后第 t 秒钟 后,五边形 QPBCD 的面积为 Scm2,写出 S 与 t 的函数关系式; t 为何值时,S 最小?最小值是多少? (2)求四边形 QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论。

①当线段 PQ = AB 时，求 tan ∠CED 的值；二、因动点产生的等腰三角形问题例 12012 年扬州市中考第 27 题如图 1，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称 轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 △M ，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．三、因动点产生的直角三角形问题例 32011 年沈阳市中考第 25 题如图 1，已知抛物线 y ＝x 2＋b x ＋c 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于 点 C(0，－3)，对称轴是直线 x ＝1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC 的函数表达式；（3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F ，交抛物线于 P 、Q 两点， 且点 P 在第三象限．3 4②当以 C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图 1四、因动点产生的平行四边形问题1、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例 1.已知抛物线 y = -ax 2 + 2ax + b 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点 C ．D x N⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．2.已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=12x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(，)，N(，)；(2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线y=x2-2x+a（a<0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.B NCyO N′BP1CyOP2x AM第（2）题AM备用图2、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）1．已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。

中考复习之二次函数中问题综合-几何旋转问题[1]

中考复习之二次函数中问题综合-几何旋转问题[1]

最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：mmABmAB mnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：n mAnnnm（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m n Am nm nmmmmA m（1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________；2.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．C ．3 DBAm A B E CBD 图1A D EPB C二次函数常见压轴y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标 或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．因动点产生的三角形相似问题例1.（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．例2．如图，直线3y x=-+与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B C，两点的抛物线2y ax bx c=++与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x=．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P B Q，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线23y x bx=++与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ACO=31．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点B C，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B O D，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.A BCPOxy2x=AOBCxy和最小差最大如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.面积问题：例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．yxBA FPx＝1CO例题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．例3：已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．讨论直角三角例1：已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例2：如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中四边形存在问题研究一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1.【08湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1.如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.PEOFCDBAxyOCDBA 备用图yx二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、By ax ax c a两点，A点在B点左侧。

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专题4：二次函数与几何图形及运动问题
1、如图，抛物线y =
2
1x 2
+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， 且A （一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M(m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m 的值．．
2、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于
另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
3、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线2
23
y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线5
2
x =
上． （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C
和点D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一
个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．
4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）.
⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
参考答案
1、（1）∵点A （-1，0）在抛物线y=21x2 + bx-2上，∴21× (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0，解得b =23
-
∴抛物线的解析式为y=21x2-23x-2. y=21x2-23x-2 =21 ( x2 -3x- 4 ) =21(x-23)2-825, ∴顶点D 的坐标为 (23, -825
).
（2）当x = 0时y = -2, ∴C （0，-2），OC = 2。

当y = 0时， 21x2-23
x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 = AB2. ∴△ABC 是直角三角形.
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′=2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E.
∵ED ∥y 轴, ∴∠OC ′M=∠EDM,∠C ′OM=∠DEM ∴△C ′OM ∽△DEM.
∴
ED C O EM OM '
= ∴
8252
23=
-m m ，∴m =4124．
解法二：设直线C ′D 的解析式为y = kx + n ,
则⎪⎩⎪
⎨⎧-=+=8252
32n k n ，解得n = 2, 1241-=k . ∴
21241+-
=x y . ∴当y = 0时， 021241=+-x ，
4124=x . ∴4124=m . 2、解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c 。

∵直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，
∴A 点坐标为（-1,0）、B 点坐标为（0,3）. 又∵抛物线经过A 、B 、C 三点，
∴
09303a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
，解得：
123a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3=
2
(1)4x --+，∴该抛物线的对称轴为x=1． 设Q 点坐标为（1，m ）
，则AQ BQ ==
AB =当AB=AQ 时，
m =，
∴Q 点坐标为（1
1
，； 当AB=BQ
=120,6m m ==，
∴Q 点坐标为（1，0）或（1，6）； 当AQ=BQ
=，解得：1m =，
∴Q 点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q （1
、（1
，、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ 是等腰三角形．
3、 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为22
5()32
y x m =-+ …
（1分）
∴2254()32
m =⨯-+
∴16
m =- ……………………………………………………………（3分）
∴所求函数关系式为：22251210
()432633
y x x x =--=-+ …………（4分） （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，
∴5AB =
∵四边形ABCD 是菱形
∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）
当5x =时，2210
554433y =⨯-
⨯+=
当2x =时，2210
224033
y =⨯-⨯+=
∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分） （3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则
54
20k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得：48,33k b ==-．
∴48
33
y x =- ………（9分） ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ．
则2210433M y t t =-+， 48
33
N y t =-，……………………（10分）
∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫
=-=---+=-+-
=--+ ⎪⎝⎭
∵203
-<， ∴当72t =
时，3
2l =最大， 此时点M 的坐标为（72，1
2
）． ………………………………（12分）
4、解：⑴ x ，D 点；
⑵ ①当0＜x ≤2时，△EFG 在梯形ABCD 内部，所以y ＝4
3x 2
； ②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x ＜3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上， △EFG 与梯形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ，
∵∠FNC ＝∠FCN ＝30°,∴FN ＝FC ＝6－2x.∴GN ＝3x －6. 由于在Rt △NMG 中，∠G ＝60°， 所以，此时 y ＝
43x 2－8
3（3x －6）2＝2392398372-
+-x x .
Ⅱ.当3≤x ≤6时，如图2，点E 在线段BC 上，点F 在射线CH 上， △EFG 与梯形ABCD 重叠部分为△ECP ， ∵EC ＝6－x, ∴y ＝
8
3（6－x ）2＝239233832+
-x x . ⑶当0＜x ≤2时，∵y ＝
4
3x 2
在x ＞0时，y 随x 增大而增大， ∴x ＝2时，y 最大＝3； 当2＜x ＜3时，∵y ＝2
392398372-
+-x x 在x ＝718时，y 最大＝739； 当3≤x ≤6时，∵y ＝2
3
9233832+
-x x 在x ＜6时，y 随x 增大而减小， ∴x ＝3时，y 最大＝8
39. 综上所述：当x ＝
718时，y 最大＝7
39.
B E F C
图1
图2。

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