平面几何练习题

平面几何选讲练习题

１．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD ∥EC;

（2）若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD 的长;

2．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相

交于点G ，连接DC.

求证：BA ·DC=GC ·AD.

3． 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AE=31AC ，BD=3

1

AB ，点F 在BC 上，且CF=

3

1

BC 。求证： （1）EF ⊥BC ；

（2）∠ADE=∠EBC 。

B

E

D

O 1

O A

P C

F E

D

A

B C

４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于

F .

（1）求

FC

BF

的值； （2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面 积为2S ，求21:S S 的值．

５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点. （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC .

６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点． 求证:∠MCP=∠MPB ．

O

A B

C

D E

F

7．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，NC MN BM ==，2=AB ，求BC 的长和⊙O 的半径.

8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作

CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M. （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM ·MB=DF ·DA.

9．如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C

两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC .

（Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小.

10．如图 ，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直

线OM ，

A

B

M C

O P

垂足为P.

（Ⅰ）证明：OM ·OP=OA 2；

（Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K.证明：∠OKM=90°

11．如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD. 求证：AB ∥CD.

12．已知 ∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧

AC 上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。

（1） 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；

（2） 若∠BAC=30，∆ABC 中BC 边上的高为2+3，求∆ABC 外接圆的面积。

13．如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交 于H ，060B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =。

（I ） 证明：B,D,H,E 四点共圆：

（II ） 证明：CE 平分

DEF ∠。

A B

C

E D 14．已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝DC,过点D 作AC 的平行线DE,

交BA 的延长线于点E ．求证：

（1）△ABC ≌△DCB （2）DE ·DC ＝AE ·BD ．

15．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，A P 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°， AP ＝3，则CP ＝ ( ) A. 3 B ．2 3 C ．23－1 D ．23＋1

16．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ∶AB 等于∠BPD 的( ) A ．正弦 B ．余弦 C ．正切 D ．余切 17．如图所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE ∥BC 且交AC 于E ，EF ∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边 形BFED 的面积等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

18．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD ＝20， 则△ABC 的周长为 ( )

A ．20

B ．30

C ．40

D ．351

2

5．如图所示，AB 是半圆的直径，弦AD 、BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC ＝________.

19．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4， BD ＝8，则圆O 的半径长为________．

20．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，

BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到

AC 的距离OD ＝________.

平面几何选讲练习题答案

１．（1）证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ， 又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E 。∴AD ∥EC （4分） （2）设BP=x ，PE=y ，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，① ∵AD ∥EC ，∴2

6

9=+⇒=y x PC AP PE DP ②， 由①②可得，⎩⎨

⎧==43y x 或⎩⎨⎧-=-=1

12

y x （舍去）∴DE=9+x+y=16，

∵AD 是⊙O 2的切线， ∴AD 2=DB •DE=9×16， ∴AD=12。（6分） 2．证法一：∵ AC

OB ，∴ 90AGB ， 又 AD 是⊙Ｏ的直径，∴ 90DCA ，

又 ∵ BAG

ADC （弦切角等于同弧对圆周角）………4分

∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA …………………………………5分

∴ BA

AG

AD DC ， 又∵ OG AC ∴ GC AG …………………………7分 ∴

BA

GC

AD

DC

…………………………………………………9分 即 BA•DC=GC•AD ………………………………………10分 证法二：∵ BA 与⊙Ｏ相切于A ∴ 90BAO

又 AG

BO 于G ，