隐函数存在定理
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方程组确定的隐函数(北工大)
FF12((
x, x,
y, u, v ) y, u, v )
x y
x(u, v ) y(u, v )
0, 0.
显然,函数 F1,F2 的所有偏导数在点
M( x0 , y0,u0,v0 ) 的邻域连续,且
F1 ( F2 (
x0 x0
, ,
y0 , u0 ,v0 ) y0 , u0 ,v0 )
x2
xm M
则存在点 N ( xm0 1, xm0 2 , , xm0 n ) 的邻域V，在V存在
唯一一组有连续偏导数的n元m值隐函数组
x1 f1( xm1 ,L , xmn ),
x2
f2( xm1,L LL
, xmn ),
xm fm ( xm1 ,L , xmn ),
偏导数的反函数组 u u( x, y),v v( x, y).
证毕.
4.隐函数组偏导数的求法
设方程组
F1 F2
( (
x, x,
y, y,
u, u,
v v
) )
0, 0,
确定了隐函数组 u u( x, y),v v( x, y),
有
FF12[[
x, x,
y, y,
域D满足定理 的所有偏导数在D连续．
因为 F2 F2 v , F2 F2 v ,
x x v x y y v y
F2 F2 v . ( v f )
u u v u u u
F[ x1, x2 , , xn , f ( x1, x2 , , xn )] 0, y0 f ( x10 , x20 , xn0 ),
14-6隐含数定理
2
( iii ) 在D内存在连续的偏导数F y ( x , y ); ( iv ) F y ( x0 , y0 ) 0,
则在点P0的某邻域U ( P0 ) D内, 方程F ( x, y ) 0 唯一确定了一个定义在 某区间( x0 , x0 )内
的函数y f ( x ), 使得
10 f ( x0 ) y0 , x ( x0 , x0 )时
( x, f ( x )) U ( P0 )且F ( x, f ( x )) 0;
2 0 f ( x )在( x0 , x0 )内连续.
证明 : 由条件( iv ), 不妨设F y x0 , y0 0,
所以
Fx ( x , y ) y f ' ( x ) lim x 0 x Fy ( x, y)
且 f ' ( x )在 ( x0 , x0 )内连续.
若方程F ( x , y ) 0 存在连续可微隐函数, 则对 F ( x, y ) 0 复合函数求导 可得 ,
若函数F ( x, y, z )满足下列条件:
(i ) 函数F在以P0 ( x0 , y0 , z0 )为内点的某一区域
D R 上连续;
3
(ii ) F ( x0 , y0 , z0 ) 0;
( iii ) 在D内存在连续的偏导数Fx , F y , Fz ;
(iv ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0,
2010／04／28
§14.6 隐函数定理
显函数
y 2 x,
zx y .
2 2
隐函数 F : X Y R, F ( x , y ) 0
如对于 x I X , 恒有唯一确定的 J Y , y 它与x一起满足F ( x, y ) 0, 就称F ( x, y ) 0
( iii ) 在D内存在连续的偏导数F y ( x , y ); ( iv ) F y ( x0 , y0 ) 0,
则在点P0的某邻域U ( P0 ) D内, 方程F ( x, y ) 0 唯一确定了一个定义在 某区间( x0 , x0 )内
的函数y f ( x ), 使得
10 f ( x0 ) y0 , x ( x0 , x0 )时
( x, f ( x )) U ( P0 )且F ( x, f ( x )) 0;
2 0 f ( x )在( x0 , x0 )内连续.
证明 : 由条件( iv ), 不妨设F y x0 , y0 0,
所以
Fx ( x , y ) y f ' ( x ) lim x 0 x Fy ( x, y)
且 f ' ( x )在 ( x0 , x0 )内连续.
若方程F ( x , y ) 0 存在连续可微隐函数, 则对 F ( x, y ) 0 复合函数求导 可得 ,
若函数F ( x, y, z )满足下列条件:
(i ) 函数F在以P0 ( x0 , y0 , z0 )为内点的某一区域
D R 上连续;
3
(ii ) F ( x0 , y0 , z0 ) 0;
( iii ) 在D内存在连续的偏导数Fx , F y , Fz ;
(iv ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0,
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§14.6 隐函数定理
显函数
y 2 x,
zx y .
2 2
隐函数 F : X Y R, F ( x , y ) 0
如对于 x I X , 恒有唯一确定的 J Y , y 它与x一起满足F ( x, y ) 0, 就称F ( x, y ) 0
隐函数存在定理
§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
2014年5月8日星期四
O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
《数学分析》(2)
第16章隐函数存在定理
第十六章
隐函数存在定理
• 第一节 隐函数存在定理
函数相关
一、F(x,y)=0 情形
定理 1 设函数 F ( x , y )满足： （1） 在区域D :| x x | a,| y x | b上，F , F 连续； （2） F ( x0 , y0 ) 0， （ 3） F y ( x 0 , y 0 ) 0 ，
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
0 0 x y
则（1）方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内唯 一确定一个函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )， （2）y=f(x)在 x 0 邻域内连续 (3) y=f(x)在 x 0 邻域内具有连续导数，且
dy F ( x, y) . dx F ( x, y)
存在,具有对各变元的连续偏导数.那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广.
dy dx 1 dx dy
于是，在( x0 , y0 ,0)附近，曲面必与平面相交， 其交线是唯一的，并且还是一条z=0面上的 光滑曲线。
1 2 n
(1)在区域D :| x x | a ( i 1,2,...,n), | y y | b
0 i i 0
隐函数存在定理
• 第一节 隐函数存在定理
函数相关
一、F(x,y)=0 情形
定理 1 设函数 F ( x , y )满足： （1） 在区域D :| x x | a,| y x | b上，F , F 连续； （2） F ( x0 , y0 ) 0， （ 3） F y ( x 0 , y 0 ) 0 ，
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
0 0 x y
则（1）方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内唯 一确定一个函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )， （2）y=f(x)在 x 0 邻域内连续 (3) y=f(x)在 x 0 邻域内具有连续导数，且
dy F ( x, y) . dx F ( x, y)
存在,具有对各变元的连续偏导数.那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广.
dy dx 1 dx dy
于是，在( x0 , y0 ,0)附近，曲面必与平面相交， 其交线是唯一的，并且还是一条z=0面上的 光滑曲线。
1 2 n
(1)在区域D :| x x | a ( i 1,2,...,n), | y y | b
0 i i 0
第十八章 隐函数存在定理
第十八章 隐函数存在定理§1 隐函数存在定理引例：221x y y +=⇒=(1,0)U ∀±的点，不能显化，是使0y F =的点。
定理1 （一元隐函数存在定理）若(,)F x y 满足1）00(,)0F x y =；2）00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤内(,)F x y 连续且连续偏导,y x F F ； 3）00(,)0y F x y ≠，则有i) 在00(,)x y 附近由(,)0F x y =唯一确定隐函数0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足(,())0F x f x =，00()y f x =；ii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续； iii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续导数，且(,)(,)x y F x y dydx F x y =-。
证明 设0y F >1）存在性 由连续函数y F 保号性，在00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤上(,)0y F x y >，在固定的0x ，0(,)F x y 在00[,]y y ββ-+↑（严格），又00(,)0F x y =，从而0000(,)0,(,)0F x y F x y ββ-<+>，由(,)F x y 连续，0ρ∃>，在00,x x x ρρ-<<+ 0y y β=+上0(,)0F x y β+>；在00,x x x ρρ-<<+0y y β=-上0(,)0F x y β-<。
对00(,)x x x ρρ∀∈-+，(,)F x y 是y 在00[,]y y ββ-+上连续函数，则0(,)0F x y β-<0(,)0F x y β+>，由零点定理，00(,)y y y ββ∃∈-+，使得(,)0F x y =，由0y F >知唯一，从而有0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足(,())0F x f x =，00()y f x =； 2）连续性 设00(,)x x x ρρ∀∈-+，对0ε∀>，由(,)0(())F x y y f x ==知(,)0F x y ε-<，(,)0F x y ε+>，则由前面讨论可知，0(,)x O x ρ∈时相应的隐函数满足()(),f x y y εε∈-+，即|()()|f x f x ε-<，连续。
6-8 隐函数存在定理概要
的z f ( x, y), 满足z0 f ( x0 , y0 )，F ( x, y, f ( x, y)) 0 z Fy Fx z 且 x F y Fz z
注意：定理1可推广到n个自变量的情况： 由F ( x1 , , xn , y ) 0确定的隐函数y f ( x1 , x2 , xn ) 满足条件时，有
Fxk y x k F y
例4
z z 已知 x y z 4z 0, 求 2 、 x x y
2
2
2
2
2
解一：利用定理2 解 令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4z 则
Fx 2 x,
Fy 2 y ,
Fz 2z 4
x y z 1
2 2 2
可解出
或
z 1 x2 y2 z 1 x2 y2
隐函数
隐函数存在定理1
设F ( x , y )在点P ( x0 , y0 )的某邻域内满足： F F 1. , 连续 x y
2.F ( x0 , y0 ) 0 但Fy( x0 , y0 ) 0. 则F ( x , y ) 0 在某邻域内 唯一确定一个 具有连续导数
Fx Gx u 1 (F , G ) Fu x J ( x, v ) Gu Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F , G ) Gu G x x J (u, x )
Fy u 1 (F , G ) Gy y J ( y, v ) Fu v 1 (F , G ) Gu y J (u, y ) Fv Gv Fy Gy
的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )，F ( x, f ( x )) 0
隐函数存在定理
换句话说, 存在函数 y f (x), 定义在
(x0 , x0 ) 上, 当 x (x0 , x0 ) 时, 有
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, 且 y0 f (x0 ); (2) y f (x) 在 (x0 , x0 ) 上连续; (3) y f (x) 在 (x0 , x0 )上有连续的导
F(x, f (x), g(x)) 0,G(x, f (x), g(x)) 0.
例5 点 (1,1,2)在方程 x2 ( y 2 z 2 ) 5 及
(x z)2 y 2 2 所表示的曲面上, 证明在这点
的一个邻域内, 两曲面的交线能用形如
z
f (x), y
g(x)
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 x2 y2 1 可确定如下两个隐函数
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1],
y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方 程 F(x, y, z) 0 确定的隐函数 z f (x, y).
这表明两曲面的交线在点 (1,1,2)附近能用形 如 z f (x), y g(x) 的一对方程表示.
u 1 (F,G) , u 1 (F,G) , x J (x, v) y J ( y, v)
v 1 (F,G) , v 1 (F,G) . x J (u, x) y J (u, y)
例4 问在点 (0,1) 附近是否存在连续可微函 数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足 f (0,1) 1, g(0,1) 1, 且
隐函数存在定理概要
Fy ( x0 , y0 ) 0 则它是单调减少的),再由曲面是连续的,从而 在交点 ( x0 , y0 ,0) 的附近曲面也是单调的.
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
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注3. 在方程 F(x, y) 0中, x 与 y 的地位是 平等的. 当条件(iii)改为 Fx (x0 , y0 ) 0 时, 将在 点 P0 (x0 , y0 )的局部由方程 F(x, y) 0确定唯一 的隐函数 x g(y), 定理1相应的全部结论均 成立.
例1 方程 cos y sin x exy 能否在原点的某 邻域内确定隐函数 y f (x) 或 x g( y)?
隐函数的概念
显函数: 因变量可由自变量的某一表达式 来表示的函数. 例如,
y 1 sin 3 x, z x2 y2 .
隐函数: 自变量与因变量之间的对应关系 是由某一个方程式所确定的函数. 例如,
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 , x3 y 3 z 3 3xyz 0.
数, 且
f (x) Fx (x, y) . Fy (x, y)
注1. 一方面, 定理1中的条件仅是存在隐
函数的充分条件, 而非必要条件. 例如, 方程
F (x, y) y3 x 0,
1
显然 Fy (0,0) 0, 但仍能确定唯一隐函数 y x 3 . 另一方面, 定理1中的条件又是非常重要的.
方程 F(x1, x2 , , xn , y) 0 唯一地确定一个定义
在U (Q0 )的 n元隐函数 y f (x1, x2 , , xn ), 满足
y (0)
f (x1(0) , x2(0) ,
,
x
(0) n
).
换句话说, 存在函数
y f (x1, x2 , , xn ), (x1, x2 , , xn ) U (Q0 ),
(b) 为使 y f (x) 在 x0 连续, 应要求 F(x, y) 在点 P0 连续.
(c) 为使 y f (x)在 x0可导, 即曲线 y f (x) 在点 P0 存在切线, 而此切线是曲面 z F(x, y) 在点 P0 的切平面与 z 0 的交线, 故应要求 F(x, y)在点 P0 可微, 且
隐函数存在性条件分析
当函数 F(x, y) 满足怎样一些条件时, 由方 程 F(x, y) 0 能确定一个隐函数 y f (x), 并使 该隐函数具有连续、可微等良好性质?
(a) 把上述隐函数y f (x)看作曲面 z F(x, y) 与坐标平面 z 0 的交线, 故至少要求该交集 非空, 即存在 P0 (x0 , y0 ), 满足 F (x0 , y0 ) 0.
例如, F (x, y) (x2 y 2 )2 x2 y 2 0 (双纽线),
在 (0,0) 同样不满足条件(iii), 而在该点无论
多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图). 注2. 必须注意, 定理1是一个局部性的隐
函数存在定理. 例如, 从双纽线图形可以看 出, 除了 (0,0),(1,0),(1,0) 三点以外, 曲线上其 余各点处都存在局部隐函数 y f (x) (这不 难用定理1加以检验).
换句话说, 存在函数 y f (x), 定义在
(x0 , x0 ) 上, 当 x (x0 , x0 ) 时, 有
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, 且 y0 f (x0 ); (2) y f (x) 在 (x0 , x0 ) 上连续; (3) y f (x) 在 (x0 , x0 )上有连续的导
y f (x), x I, y J,
则成立恒等式 F(x, f (x)) 0, x I. 注1. 隐函数不一定能化为显函数, 也不一
定需要化为显函数. 上面把隐函数仍记为 y f (x), 这与它能否用显函数表示无关.
注2. 不是任一方程 F(x, y) 0都能确定隐 函数. 例如, x2 y 2 1 0.
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 x2 y2 1 可确定如下两个隐函数
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1],
y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方 程 F(x, y, z) 0 确定的隐函数 z f (x, y).
多元隐函数存在定理
定理2 设 F (x1, x2 , , xn , y)满足下列条件:
(i) 偏导数 Fxi (i 1,2, , n)和 Fy在
D :| xi xi(0) | ai (i 1,2, , n), | y y (0) | b
上连续, 其中 ai 0,b 0;
(ii)
(
x1(0)
隐函数的一般定义: 设有一方程
F(x, y) 0,
其中 F : X Y R, X R,Y R.若存在I R, J R, 对任一 x I, 有唯一确定的 y J 与之对应, 使得 (x, y)满足上述方程, 则称由上述方程确 定了一个定义在 I , 值域含于 J 的隐函数. 如 果把此隐函数记为
,
x
(0) 2
,
, xn(0) , y (0) )
0;
(iii)
Fy
(x1(0) ,
x(0) 2
,
,
x(0) n
,
y (0)
)
0.
则
(1) 存在 Q0 (x1(0) , x2(0) , , xn(0) )的一个邻域 U (Q0 ),
使得在点 P0 (x1(0) , x2(0) , , xn(0) , y (0) )的某邻域内,
(Fx (x0 , y0 ), Fy (x0 , y0 )) (0,0).
隐函数存在定理(单个方程情形)
定理1 设 F(x, y) 满足下列条件: (i) Fx , Fy 在 D :| x x0 | a,| y y0 | b 上连续; (ii) F (x0 , y0 ) 0; (iii) Fy (x0 , y0 ) 0. 则 (1) 0, 在 P0 的某邻域 U (P0 )内, 由方程 F(x, y) 0 唯一地确定了一个定义在 (x0 , x0 )上的隐函数 y f (x), 满足 y0 f (x0 ).
使得当 (x1, x2 , , xn ) U (Q0 )时, 有