隐函数存在定理

wenku.baidu.com数, 且
f (x) Fx (x, y) . Fy (x, y)
注1. 一方面, 定理1中的条件仅是存在隐
函数的充分条件, 而非必要条件. 例如, 方程
F (x, y) y3 x 0,
1
显然 Fy (0,0) 0, 但仍能确定唯一隐函数 y x 3 . 另一方面, 定理1中的条件又是非常重要的.
(Fx (x0 , y0 ), Fy (x0 , y0 )) (0,0).
隐函数存在定理(单个方程情形)
定理1 设 F(x, y) 满足下列条件: (i) Fx , Fy 在 D :| x x0 | a,| y y0 | b 上连续; (ii) F (x0 , y0 ) 0; (iii) Fy (x0 , y0 ) 0. 则 (1) 0, 在 P0 的某邻域 U (P0 )内, 由方程 F(x, y) 0 唯一地确定了一个定义在 (x0 , x0 )上的隐函数 y f (x), 满足 y0 f (x0 ).
注3. 在方程 F(x, y) 0中, x 与 y 的地位是 平等的. 当条件(iii)改为 Fx (x0 , y0 ) 0 时, 将在 点 P0 (x0 , y0 )的局部由方程 F(x, y) 0确定唯一 的隐函数 x g(y), 定理1相应的全部结论均 成立.
例1 方程 cos y sin x exy 能否在原点的某 邻域内确定隐函数 y f (x) 或 x g( y)?
,
x
(0) 2
,
, xn(0) , y (0) )
0;
(iii)
Fy
(x1(0) ,
x(0) 2
,
,
x(0) n
,
y (0)
)
0.
则
(1) 存在 Q0 (x1(0) , x2(0) , , xn(0) )的一个邻域 U (Q0 ),
使得在点 P0 (x1(0) , x2(0) , , xn(0) , y (0) )的某邻域内,
使得当 (x1, x2 , , xn ) U (Q0 )时, 有
(b) 为使 y f (x) 在 x0 连续, 应要求 F(x, y) 在点 P0 连续.
(c) 为使 y f (x)在 x0可导, 即曲线 y f (x) 在点 P0 存在切线, 而此切线是曲面 z F(x, y) 在点 P0 的切平面与 z 0 的交线, 故应要求 F(x, y)在点 P0 可微, 且
隐函数存在性条件分析
当函数 F(x, y) 满足怎样一些条件时, 由方 程 F(x, y) 0 能确定一个隐函数 y f (x), 并使 该隐函数具有连续、可微等良好性质?
(a) 把上述隐函数y f (x)看作曲面 z F(x, y) 与坐标平面 z 0 的交线, 故至少要求该交集 非空, 即存在 P0 (x0 , y0 ), 满足 F (x0 , y0 ) 0.
例如, F (x, y) (x2 y 2 )2 x2 y 2 0 (双纽线),
在 (0,0) 同样不满足条件(iii), 而在该点无论
多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图). 注2. 必须注意, 定理1是一个局部性的隐
函数存在定理. 例如, 从双纽线图形可以看 出, 除了 (0,0),(1,0),(1,0) 三点以外, 曲线上其 余各点处都存在局部隐函数 y f (x) (这不 难用定理1加以检验).
多元隐函数存在定理
定理2 设 F (x1, x2 , , xn , y)满足下列条件:
(i) 偏导数 Fxi (i 1,2, , n)和 Fy在
D :| xi xi(0) | ai (i 1,2, , n), | y y (0) | b
上连续, 其中 ai 0,b 0;
(ii)
F
(
x1(0)
方程 F(x1, x2 , , xn , y) 0 唯一地确定一个定义
在U (Q0 )的 n元隐函数 y f (x1, x2 , , xn ), 满足
y (0)
f (x1(0) , x2(0) ,
,
x
(0) n
).
换句话说, 存在函数
y f (x1, x2 , , xn ), (x1, x2 , , xn ) U (Q0 ),
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 x2 y2 1 可确定如下两个隐函数
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1],
y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方 程 F(x, y, z) 0 确定的隐函数 z f (x, y).
换句话说, 存在函数 y f (x), 定义在
(x0 , x0 ) 上, 当 x (x0 , x0 ) 时, 有
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, 且 y0 f (x0 ); (2) y f (x) 在 (x0 , x0 ) 上连续; (3) y f (x) 在 (x0 , x0 )上有连续的导
隐函数的概念
显函数: 因变量可由自变量的某一表达式 来表示的函数. 例如,
y 1 sin 3 x, z x2 y2 .
隐函数: 自变量与因变量之间的对应关系 是由某一个方程式所确定的函数. 例如,
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 , x3 y 3 z 3 3xyz 0.
隐函数的一般定义: 设有一方程
F(x, y) 0,
其中 F : X Y R, X R,Y R.若存在I R, J R, 对任一 x I, 有唯一确定的 y J 与之对应, 使得 (x, y)满足上述方程, 则称由上述方程确 定了一个定义在 I , 值域含于 J 的隐函数. 如 果把此隐函数记为
y f (x), x I, y J,
则成立恒等式 F(x, f (x)) 0, x I. 注1. 隐函数不一定能化为显函数, 也不一
定需要化为显函数. 上面把隐函数仍记为 y f (x), 这与它能否用显函数表示无关.
注2. 不是任一方程 F(x, y) 0都能确定隐 函数. 例如, x2 y 2 1 0.