线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法

5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？

答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。

图5-1 问5-1图

称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为

系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。

稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。

5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。

证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。证明如下。

假设系统传递函数为：

输入时，

经拉氏反变换，有：

稳态后，则有：

其中：

将与写成指数形式：

则：

与输入比较得：

幅频特性相频特性

所以是频率特性函数。

5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。

答频率特性的几何表示一般有3种方法。

⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。它以频率为参变量，以复平面上

的矢量来表示的一种方法。由于与对称于实轴，所以一般仅画

出的频率特性即可。

⑵对数频率特性曲线（伯德图）。此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的

频率特性。横坐标为，但常用对数分度。对数幅频特性的纵坐标为

，单位为dB。对数相频特性的纵坐标为，单位为“。”（度）。

和都是线性分度。横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用

可给作图带来很大方便。

⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。这种方法以为参变量，为横坐标，

为纵坐标。

5-4 什么是典型环节？

答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为

典型环节。①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节；

⑤一阶微分环节

；⑥延迟环节；⑦振荡环节；⑧二

阶微分环节 ；⑨不稳定环节。

典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。 5-5 什么是最小相位系统及非最小相位系统？最小相位系统的主要特点是什么？

答 在s 平面上，开环零、极点均为负实部的系统称为最小相位系统；反之，开环零点或极点中具有正实部的系统称为非最小相位系统。

最小相位系统的主要特点是：相位滞后最小，并且幅频特性与相频特性有惟一的确定关系。如果知道最小相位系统的幅频特性，可惟一地确定系统的开环传递函数。

5-6 什么是频率特性的极坐标图？什么是奈奎斯特（Nyquist ）轨迹、

Nyquist 图？

答 在s 平面上，当s=0到

时，

变化的轨迹称为系统频率特性

的极坐标图

取根平面上的封闭围线包围全部右半 平面，此封闭围线由整个虚轴（从s=-∞ 到s=+∞ ）和右半平面上半径为无穷大的半圆轨迹组成。这一封闭围线称作奈奎斯特轨迹，如图5-2所示。

图5-2 Nyquist 轨迹

图5-3 Nyquist图

当s沿Nyquist轨迹变化时，即s=-∞j到变化时s=+∞j，在开环传递函数平面上对应的轨迹称为Nyquist图，如图5-3所示。

5-7 Nyquist稳定判据的主要内容是什么？简述频率稳定判据的主要特点。

答奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性曲线图，判定系统闭环稳定性的判据。具体如下。

反馈控制系统闭环极点在s的右半平面的个数（不稳定根的个数）：

Z=N+P

式中P为系统开环极点在s右半平面的个数；N为系统开环Nyquist图顺时针环绕(-1,j0)的次数。

这里，系统开环Nyquist图可根据系统开环极坐标图，然后做出它关于实轴的对称部分即可。

N=0，则系统稳定；N>0 ，系统不稳定。

主要特点：①应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。

②便于研究系统参数和结构变化对稳定性的影响。

③易于研究包含延迟环节系统的稳定性。

④奈氏判据稍加推广还可以用来分析某些非线性系统的稳定性。

5-8 什么是系统的幅稳定裕度、相稳定裕度？其各自的物理含义是什么？

答⑴幅值裕度GM 当系统开环相频特性为180du时，系统开环频率特性幅值的倒数

称为幅值裕度，所对应的频率称为相角交界频率。即

满足

相位裕计划经济PM 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与

180du的和称为相角裕度，所对应的频率称为系统截止频率（剪切频率）。即：

满足

PM>0 ，则系统稳定，反之为不稳定。

幅稳定裕度的分贝(dB)形式及相稳定裕度通常用R和r来表示。

⑵幅值裕度GM说明当系统的开环增益大为原来的GM倍时，闭环系统处于临界稳定（为维持闭环稳定K所能增大的最大倍数）。

相位裕度PM说明当系统对频率为的信号的相角滞后再增大PM度时，闭环系统处于临界稳定。

5-9 试简要叙述如何绘制极坐标图。

答⑴首先将系统的开环频率特性函数分解为下列两种标准形式：

PM>0

及

⑵确定幅相曲线的起始点与终止点和曲线的基本形状。

起始点为：

终止点为：

其中为系统开环根轨迹增益，和分别为开环传递函数具有正实部的极点和零点的个数。

对于最小相位系统：

由上可知，起始点位置与系统型号有关，终止点相角与分子和分母多项式次数的差值

有关。对实际系统总有。