2平稳随机过程
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平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
平稳随机过程的概念
具有相同旳分布函数, 则称随机过程{ X (t), t T } 具有平稳性, 并同步称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
第十二章-平稳随机过程
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
平稳随机过程及其遍历性
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
P59图2.6
(d ) : E[ X (t )] E[ A cos(t )]
E[ A] E[cos(t )]
X (t ) A cos(t )
cos( ) cos cos sin sin
E[cos(t ) cos sin(t ) sin ]
f X ( x, t ) f X ( x, t ) 令 t , 则有 : f X ( x, t ) f X ( x,0) f X ( x)
a[sin(0T ) sin( 0T )] lim 0 T 2T0
E[ X值具有各态历经性 .
17
1 T X (t ) X (t ) lim T X (t ) X (t )dt T 2T 1 T lim T a cos(0t ) a cos(0t 0 )dt T 2T a2 T lim T cos(0t ) cos(0t 0 )dt T 2T T a2 T lim [ cos(20t 0 2 )dt cos(0 )dt] T T T 4T a2 a2 lim 2T cos(0 ) cos(0 ) RX ( ) T 4T 2
平稳过程X (t )和Y (t )的互相关函数具有联合 各态 历经性的充要条件与上 式相似, 只是将相应的自 相关函数改为互相关函 数即可.
4、 对于均值为零的平稳高 斯过程X (t ), 若自相关函数 连续, 各态历经的充要条件是 :
0
RX ( ) d
21
严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关
2
2.2.1 严平稳过程
如果对于任意的 , 随机过程X (t )的任意n维概率密度满足 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 则称X (t )为严平稳过程 .
(d ) : E[ X (t )] E[ A cos(t )]
E[ A] E[cos(t )]
X (t ) A cos(t )
cos( ) cos cos sin sin
E[cos(t ) cos sin(t ) sin ]
f X ( x, t ) f X ( x, t ) 令 t , 则有 : f X ( x, t ) f X ( x,0) f X ( x)
a[sin(0T ) sin( 0T )] lim 0 T 2T0
E[ X值具有各态历经性 .
17
1 T X (t ) X (t ) lim T X (t ) X (t )dt T 2T 1 T lim T a cos(0t ) a cos(0t 0 )dt T 2T a2 T lim T cos(0t ) cos(0t 0 )dt T 2T T a2 T lim [ cos(20t 0 2 )dt cos(0 )dt] T T T 4T a2 a2 lim 2T cos(0 ) cos(0 ) RX ( ) T 4T 2
平稳过程X (t )和Y (t )的互相关函数具有联合 各态 历经性的充要条件与上 式相似, 只是将相应的自 相关函数改为互相关函 数即可.
4、 对于均值为零的平稳高 斯过程X (t ), 若自相关函数 连续, 各态历经的充要条件是 :
0
RX ( ) d
21
严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关
2
2.2.1 严平稳过程
如果对于任意的 , 随机过程X (t )的任意n维概率密度满足 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 则称X (t )为严平稳过程 .
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
第2章 平稳随机过程2
2.4平稳过程相关函数的性质 2.4.1平稳过程自相关函数的性质1． 0)]([)0(22>==X X t X E R α2．)()(ττ-=X X R R ，自相关函数是偶函数。
)()(ττ-=X X K K ，自协方差函数是偶函数。
证明：3．)()0(τX X R R ≥，即自相关函数在0=τ时具有最大值。
同样)()0(τX X K K ≥，即自协方差也在0=τ时具有最大值。
证明：4．若随机过程)(t X 满足)()(T t X t X +=，称)(t X 是周期平稳过程，其中T 为过程的周期。
周期过程的自相关函数)(τX R 必为周期函数，且与周期过程的周期相同。
证明：5．若)(t X 含有一个周期分量，则)(τX R 也含有一个相同的周期分量。
设)()()(21t X t X t X +=，)(1t X 为周期分量，)()(11T t X t X +=，)(1t X 与)(2t X 相互独立。
))]()())(()([()]()([)(2121T t X T t X t X t X E T t X t X E T R X ++++++=++=+ττττ))]()()(([)]()([()(212211T t X T t X t X E T t X t X E T R X ++++++++++=ττττ )()(11ττX X R T R =+是周期分量。
6．若平稳过程中不含有任何周期分量，则有2)()(lim 11X X X m R R =∞=∞→ττ，0)()(lim 11=∞=∞→X X K Kττ证明：当τ增大时，)(t X 与)(τ+t X 的相关性会减弱，当∞→τ时，有)(t X 与)(τ+t X 相互独立，2)]([)]([lim )]()([lim )(lim X X m t X E t X E t X t X E R =+=+=∞→∞→∞→ττττττ7．2)()(11X X X m K R +=ττ 证明：2)()])()()([()(X X X X X m R m t X m t X E K -=-+-=τττ8.平稳过程的自相关函数必须满足0)(≥⎰+∞∞--ττωτd eR j X2.4.2相关系数与相关时间1．相关系数：22)()0()()(XXX XX X m R KK r στττ-==2．相关时间：当τ很大时，)(t X 与)(τ+t X 不相关。
2-2 平稳随机过程和各态历经过程
18
1 lim T →∞ T
∫
2T
0
(1 −
τ1
2T
)[ B (τ 1 ) − R 2 (τ )]d τ 1 = 0 X
证：
E < X (t ) >= E [
l .i . m T →∞
1 2T
∫
T
−T
X (t ) dt ] =
l .i . m T →∞
1 2T
∫
T
−T
E [ X (t )]dt
=
l .i . m T →0
13
例题
的时间平均为： 解： X(t)的时间平均为： 的时间平均为
1 T /2 X (t ) = lim ∫ A cos(ωc t + θ )dt = 0 −T / 2 T →∞ T
X(t)的时间相关函数： 的时间相关函数： 的时间相关函数
1 T /2 R (τ ) = lim ∫ A cos(ω c t + θ ) ⋅ A cos[ω c (t + τ ) + θ ]dt −T / 2 T →∞ T T /2 A2 T / 2 = lim ∫−T / 2 cos ω cτ dt + ∫−T / 2 cos( 2ω c t + ω cτ + 2θ ) dt T → ∞ 2T
∀∈ f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) = f X ( x1, x2 ; t1 + λ, t2 + λ)
令λ =−t 1 → f X ( x1x2;0, t 2 − t1) = f X ( x1, x2;τ )
RX (t1, t2 ) = ∫
∞
−∞ −∞ 1
∫
∞
2.2平稳随机过程和各态历经过程
随机过程 X (t )的时间自相关函数定义 为 : 1 T X (t ) X (t + τ ) = lim ∫−T X (t ) X (t + τ ) dt T → ∞ 2T
3、 若 X (t )的均值和自相关函数都 具有各态历经性 , 且 X (t ) 是广义平稳过程 , 则称 X (t ) 是广义各态历经 过程 , 简称为各态历经过程 .
f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;0, t2 − t1), 令τ = t2 − t1 f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;τ )
R X (t1 , t 2 ) = ∫ =∫
∞ ∞ ∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2 −∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ;τ )dx1dx2 = RX (τ ) −∞
∞
严平稳过程X(t) 严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差 X(t)的自相关函数和协方差 的函数。 函数都只是时间间隔 τ = t 2 − t1 的函数。
2 C X (τ ) = RX (τ ) − m X
2 当 τ = 0时 , C X ( 0 ) = R X ( 0 ) − m 2 = σ X X
一阶平稳过程的概率密度满足f X ( x, t ) = f X ( x) 二阶平稳过程的概率密度同时满足上式和下式 f X ( x1, x2 ; t1, t 2 ) = f X ( x1, x2 ;τ )
如果两个随机过程 X (t )和Y (t )的任意 n + m维联合 概率密度满足 :
' ' f XY ( x1 , x2 , L , xn , y1 , y 2 , L , y m ; t1 , t 2 , L , t n , t1' , t 2 , L , t m ) =
第十二章 平稳随机过程
{ X t }是严平稳过程当且仅当 （）所有的X t同分布。 1 （2）对任意n ≥ 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布 仅与时间差t2 − t1,t3 − t2, ..., tn − tn −1有关， 而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程 { X ( t )} 是二阶矩过程，则 （1）µ X ( t ) = E X ( t ) = E X ( 0 ) ＝＝ µ X ( 常数 ) （2）RX ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) X ( t2 ) = E X ( 0 ) X ( t2 − t1 ) ＝＝ RX ( t2 − t1 )
解： X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值
X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T
∫
−T
acos (ω t + Θ ) dt
a sin (ωT + Θ ) − sin ( −ωT + Θ ) ＝＝＝＝ lim T →+∞ 2T ω
20
独立同分布平稳序列的均值遍历性
设X 1 ,K , X n， , 独立同分布，EX 1 = µ , DX 1 = σ 2 > 0, K 则大数定理成立：
1 p → ∑ X i µ n i =1
n
定理一： (均值各态历经定理 ) P{< X (t ) >= µ X } = 1 ⇔ 1 lim T →+∞ T
1 2 n
t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h，当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,
刘次华版 平稳随机过程(2)---各态历经性
2 A2 A E cos(2 t 2 ) cos cos 2 2
另一方面，对 的一个可能取值 [0,2 ] ，相 应便有过程的一个样本函数 x(t ) A cos( t ) ， 于是 1 1 lim 2T xt dt lim 2T A cost dt
T 1 2 T 0 1 1
B ( 1 ) E X t X t - X t - 1X t - - 1
第六章
平稳随机过程的 各态历经性
主讲人： 崔琳琳 WORD： 邱涵硕 信媛媛 PPT ： 李记梅
1120121099
1120120213 1120121136 1120121109
平稳随机过程
平稳过程的概念与例子 联合平稳过程及相关函数的性质 随机分析 平稳过程的各态历经性 习题
问题的提出
平稳过程的均值和自相关函数，当然在一般 情况下要做到这一点应当对平稳过程的每一 个样本函数按时间平均有相同结果才行。即 将x (t )换为 X (t ) 结果不变，当然此时的积分应当 为均方积分，即应有
1 x l.Tim 2T .
T
T
X t dt
1 RX ( ) l i m T 2T
各态历经过程
各态历经过程 非各态历经过程
两个图所示的都是平稳过程
随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各种 可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到 随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能 充分地代表整个随机过程的特性。
生活中举例
统计2012年大爷平均卖给每人的煎饼数？
大数定理表明，随时间n的无限增长，
另一方面，对 的一个可能取值 [0,2 ] ，相 应便有过程的一个样本函数 x(t ) A cos( t ) ， 于是 1 1 lim 2T xt dt lim 2T A cost dt
T 1 2 T 0 1 1
B ( 1 ) E X t X t - X t - 1X t - - 1
第六章
平稳随机过程的 各态历经性
主讲人： 崔琳琳 WORD： 邱涵硕 信媛媛 PPT ： 李记梅
1120121099
1120120213 1120121136 1120121109
平稳随机过程
平稳过程的概念与例子 联合平稳过程及相关函数的性质 随机分析 平稳过程的各态历经性 习题
问题的提出
平稳过程的均值和自相关函数，当然在一般 情况下要做到这一点应当对平稳过程的每一 个样本函数按时间平均有相同结果才行。即 将x (t )换为 X (t ) 结果不变，当然此时的积分应当 为均方积分，即应有
1 x l.Tim 2T .
T
T
X t dt
1 RX ( ) l i m T 2T
各态历经过程
各态历经过程 非各态历经过程
两个图所示的都是平稳过程
随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各种 可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到 随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能 充分地代表整个随机过程的特性。
生活中举例
统计2012年大爷平均卖给每人的煎饼数？
大数定理表明，随时间n的无限增长，
第2章 离散时间平稳随机过程[OK]
![第2章 离散时间平稳随机过程[OK]](https://img.taocdn.com/s3/m/7902a134fc4ffe473368ab91.png)
å rˆ1 (m)=
1 N
N- 1
uN
(n)u
* N
(n
-
n= 0
m)
有偏估计
å rˆ2 (m)=
1 N- m
N- 1
uN (n)uN* (n -
n= 0
m)
无偏估计
20
2.1.4
循环平稳性的概念
在通信和雷达等应用领域，会遇到一类介于平稳信 号和非平稳信号间的特殊信号，这类信号的数字特征 会随着时间呈周期性变化，被称为循环平稳信号。
å mˆ =
1 N
N- 1
uN (n)
n= 0
定义时间自相关函数为
å rˆ (m) =
1 N
N- 1
uN
n= 0
(n)uN* (n -
m)
考虑到仅N个观测值，当m ³ 0时，上式也可表示为
å rˆ (m) =
1 N
N- 1
uN
n= m
(n)uN*
(n -
m)
17
当 m < 0时的时间自相关函数值可利用共轭对称性 rˆ(m)= rˆ* (- m) 求得。
xˆ(n)= x(n)* h(n)= x(n)* 1- (- 1)n
np
5
每次对随机过程的处理都是针对一个样本函数进行 的，因此对随机过程的希尔伯特变换，实质是对样本函 数进行希尔伯特变换，并得到样本函数的复数表示，所 有这些复样本函数的集合便是复随机过程。
如果 x(n)是一个实的窄带随机过程，可用表达式为
11
2.1.2 离散时间平稳随机过程及其数字特征
1 平稳随机过程的概念 平稳是随机过程的一个重要概念，描述的是随机过 程的统计特性是否随时间变化，可分为严格平稳随机 过程和广义平稳随机过程。
随机过程-2-平稳过程
此时，
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
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平稳随机过程
一、定义回顾
1. 严、宽平稳随机过程(后者为主)
2. 数字特征。（二阶矩条件， x ，Rx()， Rx(m) ）
例 1. 设状态连续、时间离散的随机过程，
X n s2 inn , n 1 ,2 ,
其中 ~U(0,1) 是随机变量。讨论序列的平稳性。
解. 首先验证是否为二阶矩过程。然后考虑
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]} =E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()
可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
E(Xn)01si2 nndxx0
RX (n, n m) E( X n X nm )
1
0 sin 2nx sin 2 (n m)xdx
1
1
[cos 2mx cos2 (2n m)x]dx
20
1
/ 2, m 0 0, m 0
,
只依赖于m，所以是平稳序列。
例 2. 设随机过程，
不依赖于t？
依赖与Y的方差是否为零。
E [Y2]0 P (Y0)1 ,
与题设矛盾，故非平稳。
二、自相关函数的性质（平稳）
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0
性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx() 证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),B, ,
为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布， 证明: {X(t)},{Y(t)}是平稳相关的，并求RXY()。
解: 1.首先验证 X(t),Y(t)均为平稳过程.
2.考虑相关函数
R X(Y ) E [X (t)Y (t)]
E [ A si t n ) B s(i t n ( )]
A 2 0 2 B si tn ) ( si tn ( )d
A2 B 1 [co ) s c(2 o t s (2 ) ]d 202
A 2 1 2 B c o s ) (2 A 2c B o s ) (
n
RX(ti tj)aiaj 0
i,j1
n
n
证R ： X (ti tj)a ia j E [X (ti)X (tj)a ]ia j
i,j 1
i,j 1
n
E X(ti)X(tj)aiaj
i,j1
E[ n X(ti)ai]20
i1
性质5.周期性. 若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+k)，则
X(t)tY ,t (, ) ,
其中Y是非零随机变量，E(Y2), 讨论过程的平稳性。
解. 1）首先验证是否为二阶矩过程。 2）然后考虑期望、相关函数。
E [X (t) ]E [tY ] tE (Y ),
E(X)是否与t有关？取决于E(Y)是否为零。
RX(t,t)E[tY(t)Y] t(t)E[Y2],
性 4 .R 质 X(0 Y ) R Y(X 0 )
证明：由性质1，2可得。
例1: 如图所示，将两个平稳过程X(t)，Y(t)同时输入
加法器中,加法器输出随机过程W(t)=X(t)+Y(t),若X(t)
与Y(t)平稳相关，则W(t)为平稳过程 x(t) w(t)
证 W ( t) ： E [ X ( t) ] E [ Y ( t) ]X Y 为 常数 y(t)
性质3.|Rx()| Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
|R X () | |E [ X ( t ) X ( t )| ]E [ X 2 ( t )E [ ] X 2 ( t )]
R X(0)R X(0)R X(0)
性质4.非负定性.即对任意n, 任意实数a1,a2,…,an,任
意t1,t2,…,tn∈T有
称它为周期过程，周期为k。周期平稳过程的自相关函 数必是以k为周期的函数。
证 R X(： k)E [X(t)X(tk)] E [X(t)X(t) ]R X().
性质6. 复平稳过程（略）。
三、联合平稳过程的平稳相关、互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},tT为两个平稳过程， 如果它们的互相关函数RXY(t,t+)只是 的函数,即 RXY(t,t+)=E[X(t)Y(t+)]= RXY(),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称
RXY()=E[X(t)Y(t+)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
(2) 互相关函数的性质
性 1 .|R X 质 (Y )|2 R X ( 0 ) R Y ( 0 ) 证 |R X( ： Y )|2 { E [X (t) Y (t)2 ]}
E [ X 2 ( t ) E [ Y ]2 ( t ) ] R X ( 0 ) R Y ( 0 )
或Xn L2X.
2．均方极限的性质
若 E [X n 2],E [Y n 2], 则
(1 )若 ln . iX .nm X ,则 E (X 2)
(2)ln. i.m Xn X,ln. i.m Xn Y,则 E[(XY)2]0.
(3)ln. i.X m nX,ln. i.Ym nY,则
ln. i.(m XnYn)XY,,是常 . 数
性 2 .R 质 X( Y) R Y(X ) 证 R X ( ) Y E [ X ： ( t ) Y ( t ) E [ ] Y ( t ) X ( t ) R Y ] ( ) X
自相关函数是奇函数，还是偶函数？
互相关函数的简单性质
性3.质 |R X(Y )|1 2[R X(0)R Y(0)].
所以，X(t), Y(t)为联合平稳的。 同样的方法可算得
RYX ()A 2B cos( )
随机分析
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有｛Xn,n=1,2,…｝和随机变
量X, 满足 E(|Xn|2)<+, E(|X|2)<+,若有
ln i m E[|XnX|2]0 则称｛Xn｝均方收敛于X,记作 lni mXn X
一、定义回顾
1. 严、宽平稳随机过程(后者为主)
2. 数字特征。（二阶矩条件， x ，Rx()， Rx(m) ）
例 1. 设状态连续、时间离散的随机过程，
X n s2 inn , n 1 ,2 ,
其中 ~U(0,1) 是随机变量。讨论序列的平稳性。
解. 首先验证是否为二阶矩过程。然后考虑
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]} =E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()
可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
E(Xn)01si2 nndxx0
RX (n, n m) E( X n X nm )
1
0 sin 2nx sin 2 (n m)xdx
1
1
[cos 2mx cos2 (2n m)x]dx
20
1
/ 2, m 0 0, m 0
,
只依赖于m，所以是平稳序列。
例 2. 设随机过程，
不依赖于t？
依赖与Y的方差是否为零。
E [Y2]0 P (Y0)1 ,
与题设矛盾，故非平稳。
二、自相关函数的性质（平稳）
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0
性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx() 证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),B, ,
为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布， 证明: {X(t)},{Y(t)}是平稳相关的，并求RXY()。
解: 1.首先验证 X(t),Y(t)均为平稳过程.
2.考虑相关函数
R X(Y ) E [X (t)Y (t)]
E [ A si t n ) B s(i t n ( )]
A 2 0 2 B si tn ) ( si tn ( )d
A2 B 1 [co ) s c(2 o t s (2 ) ]d 202
A 2 1 2 B c o s ) (2 A 2c B o s ) (
n
RX(ti tj)aiaj 0
i,j1
n
n
证R ： X (ti tj)a ia j E [X (ti)X (tj)a ]ia j
i,j 1
i,j 1
n
E X(ti)X(tj)aiaj
i,j1
E[ n X(ti)ai]20
i1
性质5.周期性. 若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+k)，则
X(t)tY ,t (, ) ,
其中Y是非零随机变量，E(Y2), 讨论过程的平稳性。
解. 1）首先验证是否为二阶矩过程。 2）然后考虑期望、相关函数。
E [X (t) ]E [tY ] tE (Y ),
E(X)是否与t有关？取决于E(Y)是否为零。
RX(t,t)E[tY(t)Y] t(t)E[Y2],
性 4 .R 质 X(0 Y ) R Y(X 0 )
证明：由性质1，2可得。
例1: 如图所示，将两个平稳过程X(t)，Y(t)同时输入
加法器中,加法器输出随机过程W(t)=X(t)+Y(t),若X(t)
与Y(t)平稳相关，则W(t)为平稳过程 x(t) w(t)
证 W ( t) ： E [ X ( t) ] E [ Y ( t) ]X Y 为 常数 y(t)
性质3.|Rx()| Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
|R X () | |E [ X ( t ) X ( t )| ]E [ X 2 ( t )E [ ] X 2 ( t )]
R X(0)R X(0)R X(0)
性质4.非负定性.即对任意n, 任意实数a1,a2,…,an,任
意t1,t2,…,tn∈T有
称它为周期过程，周期为k。周期平稳过程的自相关函 数必是以k为周期的函数。
证 R X(： k)E [X(t)X(tk)] E [X(t)X(t) ]R X().
性质6. 复平稳过程（略）。
三、联合平稳过程的平稳相关、互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},tT为两个平稳过程， 如果它们的互相关函数RXY(t,t+)只是 的函数,即 RXY(t,t+)=E[X(t)Y(t+)]= RXY(),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称
RXY()=E[X(t)Y(t+)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
(2) 互相关函数的性质
性 1 .|R X 质 (Y )|2 R X ( 0 ) R Y ( 0 ) 证 |R X( ： Y )|2 { E [X (t) Y (t)2 ]}
E [ X 2 ( t ) E [ Y ]2 ( t ) ] R X ( 0 ) R Y ( 0 )
或Xn L2X.
2．均方极限的性质
若 E [X n 2],E [Y n 2], 则
(1 )若 ln . iX .nm X ,则 E (X 2)
(2)ln. i.m Xn X,ln. i.m Xn Y,则 E[(XY)2]0.
(3)ln. i.X m nX,ln. i.Ym nY,则
ln. i.(m XnYn)XY,,是常 . 数
性 2 .R 质 X( Y) R Y(X ) 证 R X ( ) Y E [ X ： ( t ) Y ( t ) E [ ] Y ( t ) X ( t ) R Y ] ( ) X
自相关函数是奇函数，还是偶函数？
互相关函数的简单性质
性3.质 |R X(Y )|1 2[R X(0)R Y(0)].
所以，X(t), Y(t)为联合平稳的。 同样的方法可算得
RYX ()A 2B cos( )
随机分析
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有｛Xn,n=1,2,…｝和随机变
量X, 满足 E(|Xn|2)<+, E(|X|2)<+,若有
ln i m E[|XnX|2]0 则称｛Xn｝均方收敛于X,记作 lni mXn X