高等数学不定积分综合测试题

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《高等数学》(上)题库第四章不定积分参考答案

某某学院《高等数学》（上）题库第四章不定积分参考答案一、选择题1. 在区间),(b a 内，如果)()(x x f ϕ'='，则一定有（ B ）. A.)()(x x f ϕ= B.)()(x x f ϕ=+ C C.[][]'='⎰⎰dx x dx x f )()(ϕ D.⎰⎰'=')()(x d x f d ϕ2. 设)(),(x G x F 都是)(x f 的原函数，则必有( B ).A. 0)()(=-x G x FB. C x G x F =-)()(C. 0)()(=+x G x FD. C x G x F =+)()(3. 若)(x f 为可导、可积函数，则（ A ）.A. [])(])(x f dx x f ='⎰B. []f(x)f(x)dx d =⎰C. ⎰=')()(x f dx x fD.)()(x f x df =⎰4. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).A. cos x +1B. -cos x + CC. cos x + CD. sin x +C5. 如果()f x =2x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为 (D ).A. 2xB. 2x +1C. 2x -1D. 2x +C6. 若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(（ C ）A ．C x +-1；B ．C x +-；C ．C x +；D ．C x +-2)1(217. 幂函数的原函数一定是（ D ）.A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.幂函数或对数函数8. 若⎰+=-C e dx x f x )(，则=')(x f （ D ）.A.x xe --B.x e x -2C.x eD.x e -9.（ D ）是函数x x f 21)(=的原函数A ．x x F 2ln )(=B ．221)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F ln 21)(= 10.若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ C ）A ．x 2sin 4B ．x 2cos 2C ．x 2sin 4-D ．x 2cos 2-11.下列等式中（ D ）是正确的A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()(C ．Cx f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+--=-'C x f dx x f x )1(21)1(22 12.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （ A ）A ．C x F +-)(cosB ．C x F +)(cosC ．C x f +-)(sinD ．C x F +)(sin13.下列函数中，（ B ）不是x 2sin 的原函数。

高数不定积分62道经典例题

高数不定积分62道经典例题有时，许多学生发现自己在学习不定积分时遇到了困难。

不定积分是高数中重要的内容，但它可能有些难懂。

为了让学生们能够更加深入地理解不定积分，本文将介绍62道典型的不定积分例题，以帮助大家了解不定积分的概念和方法。

首先，在进行不定积分复习之前，学生们需要了解关于积分的基本知识。

积分是用来计算曲线或其他函数下面积的一种数学技术。

它可以用来计算从一个曲线下面某一点到另一个曲线下面某一点之间的面积。

不定积分是求解不定积分的一种方法，它可以用来解决函数的极限问题。

其次，下面是向大家展示的62道不定积分的例题：（1）计算cosx dx（2）计算sinx dx（3）计算2x^2+3x+1dx（4）计算∫ex^2dx（5）计算∫tanxdx（6）计算∫secx dx（7）计算sin(2x)dx（8）计算∫cos2x dx（9）计算∫(x+1)^2dx（10）计算∫e^x dx（11）计算∫cos(2x+1) dx（13）计算∫e^(-x^2) dx （14）计算∫sin^3xdx（15）计算∫sin2x dx（16）计算∫cotxdx（17）计算∫tan2x dx（18）计算∫3x+2 dx（19）计算∫sin(3x+1)dx （20）计算∫tan^2(x) dx （21）计算∫sec^2x dx（22）计算∫2x+3 dx（23）计算∫3x^3+2x^2+5x+1dx （24）计算∫(x+1)^3 dx （25）计算∫cos^2x dx（26）计算∫cos(3x+1) dx （27）计算∫(x+1)(x+2)dx （28）计算∫e^(2x+3)dx （29）计算∫x^3+3x^2+1dx （30）计算∫sin^2(x)dx （31）计算∫cot^2x dx（32）计算∫tan(2x+1) dx （33）计算∫sec(2x+1) dx（35）计算∫sinx+cosx dx （36）计算∫(x+1)^4dx （37）计算∫e^(-x^2+3x+2)dx （38）计算∫cos^3x dx （39）计算∫sin^2(2x)dx （40）计算∫sec^3 xdx （41）计算∫cot^3x dx （42）计算∫tan(3x+1)dx （43）计算∫4x+3 dx（44）计算∫(x+2)^4 dx （45）计算∫x^4+1dx（46）计算∫e^(3x+1)dx （47）计算∫sin3x dx（48）计算∫cos^2(2x)dx （49）计算∫sec^2(2x) dx （50）计算∫cot^2(2x) dx （51）计算∫tan^3x dx （52）计算∫e^x(x+2) dx （53）计算∫cos(2x+1)dx （54）计算∫e^(-x^2+3x+2)dx （55）计算∫sin^3(2x) dx（57）计算∫x^5+x+2 dx（58）计算∫(x+1)^5dx（59）计算∫e^(2x+3)dx（60）计算∫sin^4x dx（61）计算∫cos^4x dx（62）计算∫e^(3x+1)dx最后，学习不定积分是需要时间和练习的，大家不要灰心。

(完整版)高等数学不定积分综合测试题

第四章测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、函数2x 为的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰= 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()x xd e ⎰= 二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ](A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x +2、已知 ()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C +(C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++3、若函数ln x x为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x++ (C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数 ()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A) 1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题1、（7分）计算 22(1)dxx x +⎰.2、（7分）计算 1x dxe +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰.4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算 23x x e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.第四章测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分d =⎰ .2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ . 3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰. 二、选择题（25分）1、若2(),f x dx x C =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+(C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2ln 22x x C ++ (B) 2ln 21x + (C) 22ln 2x (D) 22ln 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） ln(1)x C -+（C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰（C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰ 5、若x e 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩ 三、计算题（48分）1、（7分）求积分2arccos x. 2、（7分）求⎰. 3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x++⎰. 6、（06，数二，11分）求arcsin x x e dx e ⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰第四章测试题A 卷答案一、填空题1、2ln 2x 2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+ 5、cos (cos 1)x e x C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B三、解答题1、1arctan x C x --+2、ln(1)x x e C -++3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++ 5、C 6、2221()2x x x e e C -+ 7、21()ln(1)2f x x x C =---+ 8、22(sin cos )ax e b bx a bx C a b +++第四章测试题B 卷答案一、填空题1、sin C2、2()2F x C + 3、x e C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C +3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++ 6、解: arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin xx x x x x e de e e e ---=-=-+⎰⎰arcsin xx x e e --=-+arcsin xx x e e --=-- sec x t e -=令sec tan arcsin tan x x t tdt e e t -=--⎰arcsin sec x x e e tdt -=--⎰ arcsin ln sec tan x x e e t t C -=--++arcsin ln x x x e e e C --=--+ 四、2ln sin sin x dx x ⎰cot lnsin cot x x x x C =-⋅--+.。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

高等数学100题不定积分及答案

sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x

高等数学竞赛题库.不定积分与定积分

高等数学竞赛题库.不定积分与定积分高等数学竞赛不定积分不定积分的概念与性质 1、设)10(tan 2cos )(sin22<<+='x x x x f ，求)(x f2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分 1、求下列不定分;(1)⎰+dx x x x cos sin 12cos （2）⎰++dxx x5212（3）⎰+xx dx22cos 2sin（4）⎰+-dxx x xx 5)sin (cos cos sin2、求下列不定积分（1）⎰+++dxe x x e x x xx)13()(22（2）⎰+dxx x x )1(ln )ln (23（3）dxx x ⎰+211arctan （4）⎰+-dxxe x xx x )cos 1(cos sin cos sin 2 （5）⎰++dxx x x x x )ln 1(ln 2ln 2二、利用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分（1）⎰-+221)1(xx xdx （2）⎰+2323)1(x dx x （3）dx xx ⎰-229（4）⎰-+211xdx2、倒代换（即令t x 1=）求下列积分（1）)0(222>+⎰a x a x dx （2）⎰+)2(7x x dx3、指数代换（令,t a x=则tdt a dx ⋅=ln 1）（1）⎰++xx x dx4212 （2）⎰+++6321x x xee e dx4、利用分部积分法求不定积分（1）⎰+dxe x x 22)1( （2）⎰++xdxx x2cos )52(3（3）⎰xdx x arccos 2 （4）⎰dxx x 23)(ln（5）⎰xdxex cos5、建立下列不定积分的递推公式（1）⎰+=dx a xI nn)(122（2）⎰=xdxI nntan有理函数的积分 1、求下列不定积分（1）⎰+++dxx xx 3422（2）⎰-2)1(x x dx （3）⎰++)1)(21(2x x dx2、求下列不定积分（1）⎰+)2(10x x dx（2）⎰+-dxx x n n 112 （3）⎰-+dxx x 1003)1(12 （4）⎰+x x dx x 3811简单无理函数积分 1、dxxx ⎰+31 2、dxx x x x ⎰+++1)1(三角有理式积分 1、⎰+dxx sin 1 2、⎰dx x 3sin 13、⎰+dx xxsin 1sin 4、⎰++dx x x x cos 1sin 5、⎰xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、⎰xdx x 65cos sin含有反三角函数的不定积分 1、⎰+xdxx x arctan 1222、⎰-dxx x 32)1(arccos抽象函数的不定积分 1、⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dxx f x x f ⎰')(ln )(ln分段函数的不定积分例如：设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=1,2;10,1;0,1)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(.高等数学竞赛定积分比较定积分大小1、比较定积分⎰21ln xdx 和⎰212)(ln dxx 的大小2、比较定积分⎰+10)1ln(dx x 和⎰+11arctan dx xx的大小利用积分估值定理解题一、估值问题 1、试估计定积分⎰+4542)sin 1(ππdxx 的值2、试估计定积分⎰333arctan xdxx 的值二、不等式证明 1、证明不等式：edx ex ≤≤⎰10212、证明不等式：⎰-≤+≤1143812dx x三、求极限 1、⎰+∞>-21021lim dx x x nn 2、dxe e x x xn n ⎰+∞>-101lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题 1、求下列导数：（1）⎰+=3241)(x x tdt x F ；（2）由方程⎰⎰=+yx t dt tt dt e 0221sin 确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足⎰+=)1(02)(x x xdt t f ，求)2(f3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程⎰⎰+++=11816298)()(x x Cx x dt t f t dt t f ，求)(x f 及常数C .4、求下列极限：（1）xx t x ex tdt te 62sin lim ⎰>- （2）2520)cos 1(lim xdt t xx ⎰-+>-5、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，求)(x f .6、已知8)()(80='⎰dx x f x f 且0)0(=f ，求⎰2)(dxx f 及)(x f定积分的计算一、分段函数的定积分 1、设;,2,20,)(⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=l x l c l x kx x f 求⎰=Φxdtt f x 0)()(2、求定积分⎰-222),max (dxx x二、被积函数带有绝对值符号的积分 1、求下列定积分：（1）⎰eedx x 1ln （2）⎰-1dt x t t 2、求定积分⎰--223cos cos ππdxx x 的值三、对称区间上的积分 1、设)(x f 在],[a a -上连续，计算⎰-++1132)cos 1sin (dxx xx x2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对任何yx ,有)()()(y f x f y x f +=+，计算⎰-+112)()1(dx x f x3、计算积分⎰--+=4421sin ππdxe x I x4、设)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满足条件A x f x f =-+)()(（A 为常数）. （1）证明：⎰⎰-=aaadx x g A dx x g x f 0)()()((2) 利用（1）的结论计算定积分⎰-22arctan sin ππdxe x x四、换元积分法 1、求下列定积分：（1）⎰-2141)1(arcsin dxx x x （2）⎰--2ln 021dxex（3）dxxx xx ⎰---21010cos sin 4cos sin π五、分部积分1、设)(x f 有一个原函数为xx sin ，求⎰'ππ2)(dxx f x2、⎰+301arcsin dx xx x3、⎰-+102)2()1ln(dx x x 积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数)(x f 连续，证明：（1）⎰⎰=2023)(21)(a a dxx xf dx x f x（2）dxx a b a f a b dx x f ba⎰⎰-+-=10])([)()(（3）⎰⎰+=+x x dxx dx x 1121211112、设)(x f 连续，求证dxx f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin ，并计算⎰+π023cos 1sin dxxx x3、设)(x f 连续，且关于T x =对称，b T a <<，z 证明： ⎰⎰⎰-+=babTbT adx x f dx x f dx x f 2)()(2)(（提示：)(x f 关于T 对称，即)()(x T f x T f -=+）二、分部积分法（适用于被积函数中含有)(x f '或变上限积分的命题）例：设)(x f '连续，⎰-'=x dt t a f t f x F 0)2()()(，证明： )2()0()()(2)2(2a f f a f a F a F -=-三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或0x 使等式成立的命题）解题思路：（1）将ξ或0x 改成x ，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数)(x F 或)(x F '。

专升本高等数学(二)-不定积分

专升本高等数学(二)-不定积分(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)1.在区间(a，b)内，如果f'(x)=g'(x)，则下列各式中一定成立的是______∙ A.f(x)=g(x)∙ B.f(x)=g(x)+1∙ C.(∫f(x)dx)'=(∫f(x)dx)'∙ D.∫f'(x)dx=∫g'(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析]由于f'(x)=g'(x)，则f(x)与g(x)之间相差任意常数。

2.如果等式成立，则f(x)等于______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的定义，有[*]，即 [*]，则[*]3.设cotx是f(x)的一个原函数，则f(x)等于______∙ A.csc2x∙ B.-csc2x∙ C.sec2x∙ D.-sec2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由原数的定义，有f(x)=(cotx)'=-csc2x。

4.下列等式中，成立的是______ A．d∫f(x)dx=f(x) B． C．d∫f(x)dx=f(x)dx （分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由不定积分的基本性制质可知，d∫f(x)dx=f(x)dx成立。

5.设f'(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=______A． B．C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f'(cos2x)=sin2x=1-cos2x，f'(x)=1-x，[*]。

由f(0)=0，得C=0，则[*]。

6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-x f(e-x)dx等于______∙ A.F(e-x)+C∙ B.-F(e-x)+C∙ C.F(e x)+C∙ D.-F(e x)+C（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 凑微分法，使用凑微分公式-e x dx=-d(e-x)，∫e-x f(e-x)dx=-∫(e-x)dx-x=-F(e-x)+C。

高数不定积分题目及答案

高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。

无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。

高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。

以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。

（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。

（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。

高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。

也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。

在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。

只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。

不定积分练习卷(含答案)

上海应用技术学院2007 —2008 学年第一学期《高等数学》不定积分练习试卷班级：姓名：学号：分数：我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、填空题（每题2分，共24分）1．已知()()(),(),()n f x dx x c x f x dx ϕϕ=+=⎰⎰任意阶可导则。

()ϕ''+x c2．221sin cos 1x dx x --⎰= 。

++ctgx x c3．()20,13x 过且切线斜率为的曲线是。

3()1=+f x x 4．21(1)sin _____sin d x x+=⎰csc sin -++x x c5．21x xedx e=+⎰。

+xarctge c6．(),(2)f x f x dx '=⎰设连续可导则 1(2)2+f x c 。

7．()(),()0,(1)()f x f x x f x f f x '⋅=>==设则。

8．sin sin cos x dx x x+⎰= 。

1(ln sin cos )2-++x x x c9．()ln ()cos ,_____()tf t f t t dt f t '==⎰设则cos sin -+t t t c10．2()sin ,()____f x x x f x dx ''=⎰设的一个原函数是则2sin 2cos 2sin --++x x x x x c11．3211sin____dx xx=⎰.211cos2+c x12.____=⎰2ln +c二、选择题（每题2分，共10分）1．如果()()df x dg x =⎰⎰,则下式不一定成立的是（ A ）（A ）()()f x g x = (B)()()f x g x ''=(C) ()()df x dg x = (D) ()()d f x dx d g x dx ''=⎰⎰ 2．已知11x xe dx e---=+⎰（ D ）。

不定积分习题(含答案)

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分基础测试题

不定积分测试题1．=⎰x d 2cos 。

2．已知x x f 2sin )(cos =，则=-⎰dx x f )1(。

3．31tan ln(1)d x dx dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰。

4．已知C x dx x f ++=⎰21)(，则=--→hh f h f h )()(lim。

5．已知⎰=xxe dx x xf )(2，则=)(x f 。

6．下列积分谁正确（） A ．()111aa x dx x C a a +=++⎰为常数 B ．222sinx cos x x dx C =-+⎰ C ．11ln 32322dx x C x =+++⎰ D ．1ln xdx C x=+⎰ 7．计算下列不定积分（1）⎰-dx x 331（22）a r c t a n322(1)x xe dx x +⎰（2）⎰+dx x x )1(1（23）()sin ln x dx ⎰（3）⎰+dx x x21arctan （24）22sin x e xdx ⎰（4） ⎰++dx x x 4211 （25）⎰dx e e xxarctan （5）⎰xdx3tan（26）⎰dx xx2cos （6）⎰+dx ex211（27）⎰+dx x xe x2)1( （7）⎰-dx x x )1(1（28）41sin cos dx x x ⎰（8）⎰+dx xx 2cos 2cos（29）()311+⎰（9）⎰+dx xx 12（30）33sin sin cos xdx x x +⎰（10）⎰++-dx x x x 2124 （31）（11）⎰dx x 4cos 1（32）()2ln 4x x dx +⎰（12）（33）()22arctan 1x dx x x +⎰（13）⎰+dx xxx ln 1ln（34）22(tan 1)xex dx +⎰（14）⎰-dx e xe xx 1（35）()22ln 1x xdx x +⎰（15）⎰-dx xa xx2（36）（16）⎰-dx xa x 222（37）()|1||1|x x dx +--⎰（17）⎰xdx x 2ln（38）()23max ,x x dx ⎰（18）⎰xdx x tan ln sin（39）1sin 1cos x xe dx x++⎰（19）⎰（40）()11x x dx x xe ++⎰（20）⎰dx x 2)(arcsin （41）dx ⎰ （21）⎰dx x x sin参考答案1．cos 2x 2.323x x c -++ 3.31tan ln 1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.25.xe Ｃ7.解：（１）原式=1(13)3x --=431(13)4x C --+（２）原式=2122arctan 1C =+⎰（３）原式=()21arctan arctan arctan 2xd x x C =+⎰ （４）原式=221x dx x x --++⎰()()1212d x x x x ---=-+⎰1C -=+ （５）3cos (tan tan )tan tan tan cos d xx x dx xdx xd x x+-=+⎰⎰⎰⎰20.5tan ln |cos |x x C =++（６）ln(x x e C --=-=-（７）原式=11()2arcsinarcsin(21)12d x x c x C --=+=-+（8）原式===3x C =+（9）原式=21(1)ln |1|12x x dx x x C x -+=-++++⎰ （10）原式=3243213123(236)613ln |2|2432x x x dx x x x x x C x -+-+=-+-++++⎰（11）原式=4231sec (1tan )tan tan tan 3xdx x d x x x C =+=++⎰⎰ （12）原式=123/23/2sin cos 2cos cos cos x d xdx x C x x -=-=+⎰⎰（13）原式=()ln ln (1)x u x d u ==+⎰=332222(1)(1ln )33u C x C +-=+-（14）原式=222=⎰22ln(1)2221t x t tt dt t=++⎰2124(1)21dt C t =-=+⎰（15）令u =，得222,22x u x au xu a x ==--, 2221au x u =+,224(1)audx du u -=+ 则原式=232222232481(1)(1)au au u u du a du u u u -=-+++⎰⎰3tan 224tan 8sec sec u tt a tdt t ==-⎰ 22423243sin 8cos 8sin cos 2sin cos t a tdt a t tdt a t C t=-=-=-+⎰⎰（代入略） (16) 原式 22222sin sin cos (1cos 2)sin 2cos 224a t a a a x a t a tdt t dt t t C a t ==-=-+⎰⎰2arcsin 2a x C a =- （17）原式⎰⎰⎰⎰-====tdt t t t dt tdt t tdt t t x t ln 316ln 38ln 38ln 82ln 223322222⎰⎰+-=-=dt t t t t t tdt t t 2323323916ln 916ln 38ln 916ln 38323381616ln ln 3927t t t t t C =-++ （18）解：原式⎰-=x xd cos tan ln =2cos ln tan cos cot sec x x x x xdx -+⋅⋅⎰⎰+-=dx x x x sin 1tan ln cos11cos cos ln tan ln ||21cos xx x C x+=--+-（19）原式⎰⋅==tdt t xt 2arctan 2arctan tdt =⎰222arctan 1t t t dt t=-+⎰2arctan arctan t t t t C =-++x C =（20）原式arcsin 222cos sin sin 2sin x tttdt t d t t t t tdt ==⋅==-⎰⎰⎰⎰+=t td t t cos 2sin 2⎰--=tdt t t t t cos 2cos 2sin 22sin 2cos 2sin t t t t t C =--+2arcsin 2x x x x C =--+（21）解：原式⎰⎰=⋅⋅==tdt t tdt t t tx sin 22sin 32332322cos 2cos 6cos 2cos 6sin t d t t t t tdt t t t d t =-=-+⋅=-+⎰⎰⎰ ⎰-+-=tdt t t t t t sin 12sin 6cos 223 ⎰++-=t td t t t t cos 12sin 6cos 223322cos 6sin 12cos 12sin t t t t t t t C =-++-+3226x x C =-（22）原式arctan tan tan sin cos sin sec cos t x t t tt xte t Idt t e dt e tdt t t ====⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==t t t t t tde t e tdt e t e tde cos sin cos sin sin --=--=⎰t e t e tdt e t e t e t t t t t cos sin sin cos sin Iarctan arctan 1111sin cos sin(tan )cos(tan )2222t t x x I e t e t C e x e x C =-+=⋅-⋅+（23）解：I ()sin(ln )sin(ln )cos ln x dx x x x dx ==-⎰⎰()()()sin(ln )cos ln sin ln sin ln cos ln x x x x x xdx x x x x C I =--=-+-⎰1(sin(ln )cos(ln ))2I x x x x C =-+ （24）原式,cos 21412cos 1222xdx e e dx x e x x x ⎰⎰-=-⋅=令2cos 2x I e xdx =⎰ I =xdx e x e xde x x x 2sin 2cos 212cos 21222⎰⎰+=xx de x x e 222sin 212cos 21⎰+=22211cos 2sin 2cos 222x x x e x x e C e xdx =+⋅+-⎰2211cos 2sin 222x x e x e x C I =++- 221cos 2sin 24x x I e x e x C =++原式c x e x e e xx x +--=2sin 812cos 8141222（25）原式dx e e ee e de e dx e e xx xx x x x x x ⎰⎰⎰++-=-==----21arctan arctan arctan c e x ee dx e e e e e x x x x x x x x ++-+-=+-++-=⎰)1ln(21arctan 11arctan 2222 （26）原式⎰⎰++=-==c x x x xdx x x x xd |cos |ln tan tan tan tan（27）原式2111()1(1)11x xxe e dx dx e d x x x x =-=+++++⎰⎰⎰111x x x e e e dx dx x x x =+-+++⎰⎰c x e x++=1（28）原式424241sin cos sin cos sin cos (1cos )cos x d xdx dx x x x x x x===--⎰⎰⎰ cos 24(1)u xdu u u ==--⎰()()du u u du u u u du u u ⎰⎰⎰---=-+--=22442221111)1(34221111111()ln ||1321u du du u c u u u u u-+=--+=+++--⎰⎰c xxx x +-+++=|cos 1cos 1|ln 21cos 1cos 1313（29）原式dt t t dt t t t tx tx ⎰⎰+=+===3332)1(44)1(14423211414()2(1)(1)1(1)dt C t t t t =-=-++++++⎰C =+（30）原式⎰⎰⎰+=+=+⋅==3tan 3321tan 1tan tan 1tan sec tan u udux d x x dx x x x x u()()()()()du u du u u u du u u u u u u u ⎰⎰⎰+-+-+=+-++--++=113111311111131222 2131122ln |1|331324u du u u -+=-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰21111ln(1)2ln |1|623u u u u C -=-++-++211ln(tan tan 1)ln |1tan |63x x x C =-++-++ （31）原式tdt t t d tdt t t t tx ⎰⎰⎰+-=⋅+==222sin csc 2sin cos cos cos sin 2sin11cos ln ||2cot()21cos tt C t+=--+- （32）原式du uu u u du u dx x x u ⎰⎰⎰+-+=+=+==4)4ln(21)4ln(21)4ln(21222 1ln(4)4ln(4)2u u u u C =+-+++ 22221ln(4)4ln(4)2x x x x C =+-+++ （33）原式=x x xd dx xx x 222arctan 211arctan )111(arctan ⎰⎰-=+-=x dx x x x x 22arctan 21111arctan -++-⎰ =()x dx xx x x x x 2222arctan 2111arctan -+-++-⎰ =()x dx xx dx x x x 22arctan 2111arctan -+-+-⎰⎰ =22arctan 11ln ||ln(1)arctan 22x x x x C x -+-+-+（34）原式=2222(tan 12tan )tan 2tan x x x e x x dx e d x e xdx ++=+⎰⎰⎰ =222tan 2tan 2tan xx x ex xe dx e xdx C -++⎰⎰=2tan x e x C +（35）原式=dx x x x x x xd ⎰⎰+++-=+-)1(1211ln 21)11(ln 21222=dx x xx x x )11(211ln 2122+-++-⎰=221ln 11ln ||ln(1)2124x x x C x -+-+++ （36）原式=c x x x xd x d x+++-=+-=+⎰⎰)cos 1ln(cos )(cos 1cos sin cos 114222224（37）令1(1)2,1()|1||1|1(1)2,111(1)2,1x x x f x x x x x x x x x x ----=-≤-⎧⎪=+--=+--=-≤≤⎨⎪+--=>⎩12232,1()(),112,1x c x F x f x dx x c x x c x -+≤-⎧⎪==+-<≤⎨⎪+>⎩⎰由连续特性知：122321,12c c c c +=++=+，213211,1c c c c c ∴=+=-+=故12112,1()1,112,1x c x F x x c x x c x -+≤-⎧⎪=++-<≤⎨⎪+>⎩（38）解：()()23max ,f x x x == ⎪⎩⎪⎨⎧<≥1,1,23x x x x原式=41311,1411,1312x c x x c x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩（39）原式=22sin cos 222cos 2x x x e dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰220.5(tan1)0.5(sec 2tan )222x x x x x e dx e dx =+=+⎰⎰tan tan tan tan tan 22222x x x x x x x x x x e d e dx e e dx e dx C ⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰tan2x xe C =+ （40）原式=()()11xx x x e dx xe xe ++⎰()11ln ln 11x x x x x d xe xe xe C xe xe ⎛⎫=-=-++⎪+⎝⎭⎰ （41）令u =，231x ux +=-，223xu u x -=+ 所以()222238,11u ux dx du u u +-==-- 原式=()()222222181188111u u u du du du u u u u --⎛⎫-=-=- ⎪-⎝⎭--⎰⎰⎰14ln4ln 1uC C u +=+=+-。

高等数学—不定积分练习题

第三章复习X.1 积分换元的几种形式1．利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求⎰-dx x x 229解令t x sec 3=，则tdt t dx tan sec 3⋅= 于是⎰-dx x x 229⎰⎰=⋅=dt tttdt t t t sec tan tan sec 3sec 9tan 322.9|9|ln 9|393|ln sin |tan sec |ln )cos (sec 221221C xx x x C xx x xC t t t dt t t +---++---+=+-+=-=⎰练习求⎰-+221)1(xxxdx2．倒代换（即令tx1=）设n m ,分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当1>-m n 时，可以考虑使用倒代换。

求⎰>+)0(222a xa xdx解令tx 1=，则dt t dx 21-=，于是原式⎰⎰⎰++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12)1(1111122222222222t a t a d a t a tdt dt t t a tC xa a x C a t a ++-=++-=2222221 练习⎰-+dx x xx 11223．指数代换（适用于被积函数)(x f 由x a 所构成的代数式）令t ax=，.ln 1tdt a dx ⋅=求⎰++xx x dx 4212解令t x=2，t dt dx ⋅=2ln 1 原式⎰⎰++=⋅⋅++=43)21(2ln 12ln 1122t dtt dt t t t CC t C t t t d x ++=++=++⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+⎰312arctan 2ln 32312arctan 2ln 322321arctan 322ln 123)21()21(2ln 1122练习求⎰+++6321x x xee e dxX.2 有理函数的积分一、有理函数的积分形为mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++++++++=----11101110)()( ，（1）其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a 。

（完整word版）高等数学第四章不定积分习题,DOC.docx

（完整word版）高等数学第四章不定积分习题,DOC.docx第四章不定积分§4–1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F ( x) f ( x)，则 F(x)叫做f ( x)在该区间上的一个 , f ( x)的所有原函数叫做 f ( x) 在该区间上的__________。

2．F(x)是f ( x)的一个原函数，则y=F(x) 的图形为? (x) 的一条_________.3．因为1,所以 arcsinx 是______的一个原函数。

d (arcsin x)dx1x24．若曲线 y=? (x)上点(x,y)的切线斜率与x3成正比例，并且通过点A(1,6) 和B(2,-该曲线方程为 __________ 。

二．是非判断题1．若 f x的某个原函数为常数，则 f x 0.[]2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数 .[]3． f x dx f x dx .[]4．若 f x在某一区间内不连续，则在这个区间内 f x必无原函数 .[]5. y ln ax 与 y ln x 是同一函数的原函数.[]三．单项选择题1．c 为任意常数，且 F ' (x) =f(x),下式成立的有。

（A） F '(x)dx f(x)+c; （B） f ( x)dx =F(x)+c;（C） F (x)dx F ' (x) +c;(D) f '(x)dx=F(x)+c.2.F(x) 和 G(x) 是函数 f(x) 的任意两个原函数， f(x)0，则下式成立的有。

（ A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)=G(x)+c;（C ）F(x)+G(x)=c;(D) F ( x) G( x) =c.3．下列各式中是 f ( x) sin | x |的原函数。

(A) y cos | x |;(B)y=-|cosx|;(c)y=cos x, x 0, (D)y= cos x c 1 ,x0,c 1 、 c 2 任意常数。

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第四章测试题A 卷
一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x 为的一个原函数.
2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰
，则(1)f '=
3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则
1
()
dx f x ⎰
= 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰
=
5、不定积分cos cos ()x xd e ⎰
=
二、选择题（每小题4分，共20分）
1、已知函数2
(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知
()sin x x e f x dx e x C =+⎰
，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数
ln x
x 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x ++
(C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x
++
4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数
()f x = [ ]
(A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x
5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ]
(A)
1x (B) 21
x
- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算
22(1)dx
x x +⎰. 2、（7分）计算
1x dx e +⎰.
3、（7分）计算 321
x dx x +⎰.
4、（7分）计算 254dx
x x ++⎰.
5、（8分）计算
.
6、（7分）计算
2
3x
x e dx ⎰.
7、（8分）已知2
2
2
(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x .
8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰
.
第四章测试题B 卷
一、填空题（20分）
1、不定积分d =⎰
.
2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ .
3、若
2
1(ln ),2
f x dx x C =
+⎰
则()f x dx =⎰ .
4、1)dx =⎰
. 5、2ln x dx =⎰
.
二、选择题（25分） 1、若
2(),f x dx x C =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ]
(A) 22
2(1)x C --+ (B) 22
2(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221
(1)2
x C -+ 2、设
()2
,x
f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ]
(A)
2ln 22
x x
C ++ (B) 2ln 21x + (C) 22ln 2x (D) 22ln 21x + 3、
1
1dx x =-⎰ [ ]
（A ）ln 1x C -+ （B ） ln(1)x C -+ （C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+ 4、存在常数A 、B 、C ，使得
21
(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]
（A ）2(
)12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx
dx x x +++⎰
（C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12
Ax B
dx x x +++⎰
5、若x
e 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ]
(A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0
()2,0
x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩
(C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0
(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩
三、计算题（48分） 1、（7
分）求积分
2arccos x . 2、
（7
分）求.
3、（7分）
2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8
分）求.
5、（8分）求积分1sin cos dx
x x
++⎰. 6、（06，数二，11分）求arcsin x x e dx e ⎰. 四、（7分）计算
2ln sin sin x
dx x ⎰
第四章测试题A 卷答案一、填空题
1、2ln 2x 2 3、2411
24
x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+ 5、cos (cos 1)x
e
x C -+
二、选择题
1、D
2、C
3、C
4、A
5、B 三、解答题 1、1arctan x C x -
-+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211
ln(1)22
x x C -++
4、11ln
3
4x C x +++ 5、C 6、2221
()2
x x x e e C -+ 7、2
1()ln(1)2
f x x x C =---+ 8、2
2
(sin cos )ax e b bx a bx C a b +++
第四章测试题B 卷答案一、填空题
1、C
2、
2()2F x C + 3、x
e C + 4、3
35222353x x x x C +--+ 5、2
ln 2x x x C -+
二、选择题
1、C
2、C
3、D
4、C
5、C 三、计算题
1、2arccos 1102ln10x
C -
+ 2
、1)C ++ 3、22
1ln .21x C x ++ 4
、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++ 6、解: arcsin x x e dx e
⎰arcsin arcsin x x x x x x
e de e e e ---=-=-+⎰⎰
arcsin x x
x
e
e --=-+
arcsin x
x x
e e --=-- sec x t e -=令sec tan arcsin tan x x t tdt e e t
-=--
⎰arcsin sec x x
e e tdt -=--⎰ arcsin ln sec tan x
x
e e t t C -=--+
+arcsin ln x x x e e e C --=--+ 四、 2ln sin sin x
dx x ⎰cot lnsin cot x x x x C =-⋅--+.。