八年级数学下册第1章 直角三角形教案

第1章直角三角形

1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

第1课时直角三角形的性质和判定

1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)

2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)

一、情境导入

在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．

二、合作探究

探究点一：直角三角形两锐角互余

如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于()

A．110°B．100°C．80°D．70°

解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.

方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形

如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAF ＝∠F ，∠EDC ＝∠E ，求证：△EOF 是直角三角形．

解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，

本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝12(180°－∠BCD )，∠F ＝12

(180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证． 证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝12

(180°－∠ABF )．同理，∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12

(∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD ＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－12

×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形． 方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．

(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；

(2)求证：EF 垂直平分AD .

解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12

AB ，DF ＝AF ＝12

AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．

(1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12

×10＝5，DF ＝

AF ＝12AC ＝12

×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18； (2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD .

方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

探究点四：直角三角形性质的综合运用

【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，交BC 于F ，交AB 于点E .求证：FC ＝2BF .

解析：根据EF 是AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF ，得到△AFB 为等腰三角形．又可求得∠B ＝∠C ＝∠BAF ＝30°，进而求得∠F AC ＝90°.取CF 的中点M ，连接AM ，就可以利用直角三角形的性质进行证明．

证明：如图，取CF 的中点M ，连接AF 、AM .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF ＝BF .∴∠BAF

＝∠B .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠BAF ＝∠C ＝12

(180°－120°)＝30°.∴∠F AC ＝∠BAC －∠BAF ＝90°.在Rt △AFC 中，∠C ＝30°，M 为CF 的中点，∴∠AFM ＝60°，

AM ＝12FC ＝FM .∴△AFM 为等边三角形．∴AF ＝AM ＝12FC .又∵BF ＝AF ，∴BF ＝12

FC ，即FC ＝2BF .

方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题

如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A 、B 、C 、D 处，球放在EF 的中点O 处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．

解析：游戏是否公平就是判断点A 、B 、C 、D 到点O 的距离是否相等．四个直角三角

形有公共的斜边EF ，且O 为斜边EF 的中点．连接OA 、OB 、OC 、OD .根据“直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝12

EF ，即点A 、B 、C 、D 到O 的距离相等．由此可得出结论：游戏公平．

方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题

如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．

(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的数量关系；

(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM .请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．

解析：(1)由于△ABC 是直角三角形，O 是BC 的中点，得OA ＝OB ＝OC ＝12

BC ；(2)由于OA 是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO ＝∠B ＝∠45°，OA ＝OB ，又AN ＝MB ，所以△AON ≌△BOM ，所以ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，于是有∠NOM ＝∠AOB ＝90°，所以△OMN 是等腰直角三角形．

解：(1)连接AO .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，∴OA ＝12

BC ＝OB ＝OC ，即OA ＝OB ＝OC ；

(2)△OMN 是等腰直角三角形．理由如下：∵AC ＝BA ，OC ＝OB ，∠BAC ＝90°，∴OA

＝OB ，∠NAO ＝12

∠CAB ＝∠B ＝45°，AO ⊥BC ，又AN ＝BM ，∴△AON ≌△BOM ，∴ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，∴∠NOA ＋∠AOM ＝∠MOB ＋∠AOM ，∴∠NOM ＝∠AOB ＝90°，∴△MON 是等腰直角三角形．

方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．直角三角形的性质