求离心率范围的六种方法

求解离心率范围六法

山西阳城一中 茹阳龙

在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。

一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c 的不等式

例1 若椭圆()0122

22 b a b

y a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。

解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则

122

0220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以OA 为直径的圆经过点P ，所以

020020=+-y ax x . ②

联立①、②消去0y 并整理得

0)()(20222020=-+--x a a

b a x x 当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。 所以2

22

0b a ab x -= 又a x 00，所以a b

a a

b 222

0-， 即 ()22222c a b a -=

得2122 a

c ，即223e 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c 不等式

例2 已知双曲线()0,01x 22

22 b a b

y a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且22

1PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ， 所以12PF PF e =. ①

由又曲线第一定义得

a PF 2PF 12=- ②

由①-②得

.1

2,12PF 21-=-=e ea PF e a 在21PF F ∆中，

,2PF 21211c F F PF =≥+

所以

c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+1

1. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]

21,1+。

三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式

例3 设椭圆()0122

22 b a b y a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.

解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知

a PF PF 221=+.

在21PF F ∆中，由余弦定理得

=221F F 21212221cos 2PF F PF PF PF PF ∠-+ =21222

1PF PF PF PF ++

=（21221)PF PF PF PF -+ 所以22

212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=- 所以2

3,4322≥≤a c c a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c 的不等式

例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。

解：设椭圆的中心为A 10，并延长交y 轴于N ，则

A 10=.x NA 2,a 0==

因为01y 002≥-=x ，所以1x 0≥。 所以322202c

a a e 0

12≤+===x N 。 所以椭圆离心率e 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛320,。

五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c 的不等式

例5 如图2，已知椭圆()0122

22 b a b

y a x =+的两焦点为F 1、F 2，斜率为K 的直线ι过右焦点F 2，与椭圆交于A 、B ，与Y 轴交于C ，B 为CF 2的中点，若5

52≤

k ，求椭圆离心率e 的取值范围。

y

解：设F 2 (C,0),直线(),:c x k y -=ι则())2

,2(,,0ck c B ck c --，代入椭圆方程得1442

2

222=+b k c a c . 又,2

22c a b -=所以1)(44222

222=-+c a k c a c ， 所以1)

1(44122

22=-+e k e e ， 解得 222

454e e e k +-= 因为552≤k ，所以5

42≤k 解,5445224≤+-e e e 得15

42 e ≤， 所以15

52 e ≤ 六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c 的不等式

例6 若椭圆12222=+b

y a x ()0 b a 上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中O 为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。

解：设P （θθsin ,cos b a ），由︒=∠900PA ，

得1cos sin cos sin -=-⋅a

a b a b θθθθ， 即（0cos cos )22222=+--b a b a θθ ①

解得2

22

cos 1cos b a b -==θθ或